測(cè)度論的知識(shí)要點(diǎn)與復(fù)習(xí)自測(cè)

1、章 測(cè)度論的知識(shí)要點(diǎn)與復(fù)習(xí)自測(cè)一、Lebesgue外測(cè)度的知識(shí)要點(diǎn)：熟練掌握Lebesgue外測(cè)度的定義和外測(cè)度的基本性質(zhì)（包括基本性質(zhì)：非負(fù) 性、單調(diào)性、次可數(shù)可加性；Lebesgue外測(cè)度的特有性質(zhì)：距離分離性）；會(huì)用定義或性質(zhì)求一些典型集合的外測(cè)度（例如：Rn中至多可數(shù)集，區(qū)間,Cantor （三分）集，黎曼可積函數(shù)（特別是連續(xù)函數(shù)）圖象等的外測(cè)度）；特別注意零測(cè)集的含義和性質(zhì)【如 Rn中的任何集合并上零測(cè)集或減去零測(cè)集 外側(cè)度不變；零測(cè)集的子集仍為零測(cè)集；至多可數(shù)個(gè)零測(cè)集的并集仍為零測(cè)集】。自測(cè)題：1、敘述只中Lebesgue外側(cè)度的定義及性質(zhì)，并用定義和性質(zhì)解決如下問(wèn) 題：）1）2）

2、3）Qn Rn為有理點(diǎn)集，計(jì)算m*QnE Rn為至多可數(shù)集，計(jì)算Rn，m*E 0，貝y m*設(shè)設(shè)設(shè)E, F2、據(jù)理說(shuō)明下面的結(jié)論是否成立：設(shè)）1）2）3）4）0 ；0 ；* *mF m F E。Rn，若E為有界集，則m*E 若 若若m*E ，則E為有界集； m*E ，則E為無(wú)界集； E為無(wú)界集，則m*E 。Rn為區(qū)間，證明：m*l3、設(shè)I和無(wú)界兩種情況來(lái)證明）；并利用此結(jié)論和外側(cè)度的性質(zhì)再解決如下問(wèn)題：）1）設(shè)P 0,1 R1為三分Can tor集，則m*P 0 ;（注意三分Ca ntor 的構(gòu)造）2）設(shè)f（x）為定義在a,b R1上的黎曼可積函數(shù)，Gp（f）（x,y）|y f（x）,x a,

3、b R2，f （x）在a,b的圖像，貝y m*Gp（f） 0 ;（注意黎曼可積的充要條件的使用）3）設(shè)E Rn有內(nèi)點(diǎn)，貝y m*E 0 ；）4）外側(cè)度的介值性）設(shè)E R1為有界集，m*E 0，則對(duì)任意0 c mE1 E，使得，m*E1 c ;（注意構(gòu)造適當(dāng)?shù)倪B續(xù)函數(shù)，利用連續(xù)函數(shù)的介值其中I表示I的體積（注意I分有界存在 性）（5）（外側(cè)度的介值性的一般形式）設(shè)E R1 ,m*E 0,則對(duì)任意0 c m Ei E，使得，m*Ei c。（注意：此結(jié)論要用到后面的等測(cè)包定理和單調(diào)遞存在增可測(cè)集列的測(cè)度性質(zhì)）二、Lebesgue可測(cè)集的知識(shí)要點(diǎn)：熟練掌握Lebesgue可測(cè)集的卡氏定義（即定義）及等

4、價(jià)條件（如：余集的可 測(cè)性；對(duì)任意的A E和B Ec，總有m* A B m*A m*B ）,會(huì)用定義或等價(jià)條 件來(lái)證明一些點(diǎn)集的可測(cè)性（例如：零測(cè)集，區(qū)間等）；熟練掌握可測(cè)集的并、交、差、余運(yùn)算性質(zhì)，并會(huì)熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)來(lái)判斷集合的可測(cè)性；記 E R E是可測(cè)集，則熟練掌握單調(diào)可測(cè)集列測(cè)度的極限性質(zhì)，加上條件“其中至少有一個(gè)的測(cè)度是有限數(shù)”才能保證結(jié)論成立，并弄清楚此條件在 證明中所起的作用；熟練掌握下面的常用測(cè)度等式或不等式（以下集合都是 Rn中的可測(cè)集） （1）=2cc，其中c為連續(xù)基數(shù)；理解對(duì)單調(diào)遞減的可測(cè)集列為什么要(2)設(shè)Ei,設(shè)Ei,E2，Em為互不相交的可測(cè)集，則mmm Eim

5、Ei （有限可加性）；i 1 i 1E2，Em為可測(cè)集（注意沒(méi)有互不相交的要求），則 mm Eii 1 immEi （次有限可加性）。i 1設(shè)Ei,E2，Ek，為互不相交的可測(cè)集，則mk1Ek設(shè)Ei,E2，Ek ,mEk （可數(shù)可加性）；k 1為可測(cè)集列（注意沒(méi)有互不相交的要求），則(3)mEk （次可數(shù)可加性）。k 1mk1Ek差集測(cè)度的關(guān)系（注意思考：條件“ mE ”的作用） 設(shè)E和G都是可測(cè)集，且E G，貝U mG m（G E） mE ； 當(dāng) mE時(shí)，m（G E） mG mE。設(shè)E和G都是可測(cè)集，則 mG m（G E） mE ； 當(dāng) mE時(shí)，m（G E） mG mE。單調(diào)可測(cè)集列測(cè)度的極

6、限性 （注意思考成立的條件）設(shè)Ek為單調(diào)遞增的可測(cè)集列，則m lim Ek m Ek lim mEk ；kk 1k設(shè)Ek為單調(diào)遞減的可測(cè)集列，且存在Ek0，使得mEk0，則m lim Ekk一般可測(cè)集列測(cè)度的極限性 設(shè)Ek為可測(cè)集列，則m Ek lim mEk。k 1k m lim Eklim m(Ek)ki klim mEk （關(guān)于測(cè)度的Fatou定理【入不敷出】）; k若存在k0，使得mik0Eimlim Ek lim m( Ek) lim mEk ；kki kk若lim Ek E存在，且存在k0,使得mE ，則lim mEk存在，且lim mEk mE。kk（6）【可測(cè)集的直積的可測(cè)性及

7、測(cè)度的計(jì)算公式】設(shè)A rp為可測(cè)集，B Rq為可測(cè)集，則A B為RP+q上的可測(cè)集，且m（A B） = mA mB。自測(cè)題：mE”的1、證明下面的差集測(cè)度或外側(cè)度的關(guān)系（注意思考：條件“ 作用）2、設(shè) E,G Rn（1）若E和G都是可測(cè)集，且E G,則 mG m（G E） mE ； 當(dāng) mE時(shí)，m（G E） mG mE。（2）若E和G都是可測(cè)集，則 mG m（G E） mE ； 當(dāng)mE時(shí)，（3）若E和G不是可測(cè)集， m G m （G E） 當(dāng)m*E時(shí)，利用1和可測(cè)集的性質(zhì)證明：m(G E) mG mE。 則mE ；(G E) m*G m* E。（1）設(shè)E,G Rn都是可測(cè)集，【注意:|,2n1

8、 )為Cantor集的構(gòu)造過(guò)程中第n步去掉的長(zhǎng)度均為（2）對(duì)于任意給定正數(shù)0 aCan tor集的構(gòu)造過(guò)程中每一1 a 1 a 1 a m 1 a3 , 32 , 333n扌的開(kāi)區(qū)間】Cantor集的構(gòu)造思想，只是將在1,不改變步去掉的幵區(qū)間分別換為長(zhǎng)度分別為 I的幵區(qū)間（比如第n步換為去掉2n 1個(gè)長(zhǎng)度都為 守 的則m G E m G E mG + mE ；m G E G E G E 】（2）利用（1）和等側(cè)包定理證明：設(shè) E,G Rn （不必為可測(cè)集），則 m* G E m* G E m*G + m*E3、試?yán)貌罴臏y(cè)度關(guān)系以及區(qū)間的測(cè)度再證明：（1）設(shè) P 0,1 R1 為三分 Can

9、tor 集，則 mP 0 ;【注意：三分Can tor集的構(gòu)造P 0,1 口,），其中（ i 1,2,互不相交的幵區(qū)間），并記這樣得到的集為 P0 （稱為類Cantor集或一般Cantor 集，它是閉集也是完全集還是疏朗集），證明：mP, a。4、證明一般可測(cè)集列測(cè)度的極限性：設(shè)Ek為可測(cè)集列，則mlim Ek lim m( Ek) lim mEk (關(guān)于測(cè)度的 Fatou定理【入不敷 kk i kk若存在ko,使得mik0Ei，則若lim Eklim m(jmlim EkkE存在，且存在 ko，使得mEk,Ek) lim mEk ；kk，則lim mEk存在，且klim mEk mE o,則

10、l Ek和Um Ek都是零測(cè)集。 kk若 mk 1、可測(cè)集的結(jié)構(gòu)的知識(shí)要點(diǎn)： Rn中的幾種常見(jiàn)的具體的可測(cè)集：零測(cè)集，任何區(qū)間，開(kāi)集，閉集，F(xiàn)G型集，Borel集。熟練掌握并熟記下面的幾種關(guān)系(可測(cè)集的結(jié)構(gòu))：(1) 對(duì)任意E Rn , E與G型集的關(guān)系(等測(cè)包定理);(2) 可測(cè)集與開(kāi)集的關(guān)系，可測(cè)集與 G型集的關(guān)系；(3) 可測(cè)集與閉集的關(guān)系，可測(cè)集與 F型集的關(guān)系。自測(cè)題：1、仔細(xì)體會(huì)等測(cè)包定理的證明思想，解決下面的問(wèn)題：(1) 如何將一個(gè)G型集表示成一列單調(diào)遞減的開(kāi)集的交集(2) 設(shè)E Rn，則存在一列單調(diào)遞減的開(kāi)集列Gk ,使得，對(duì)每一個(gè)*1Qm E mGk m E ，且 m lim

11、 Gk mkkk kRn有界，則存在一列單調(diào)遞減的有界開(kāi)集列Ek型集,E Gk ,1Gk(3)設(shè) E 一個(gè) k 1 ,Gk ,使得注:EkE Gk ,*1cm E mGk m E ，且 m lim Gkm為等測(cè)包定理的更為細(xì)致的形式。klGk(2)和(3)2、試?yán)玫葴y(cè)包定理和單調(diào)遞增可測(cè)集列測(cè)度的極限性質(zhì)證明： Rn ( k 1,2，川)為一列單調(diào)遞增的集列，每個(gè)Ek不必為可測(cè)集,設(shè)Ek(1) 存在一列單調(diào)遞增的Gk，且 m Ek mGk ；(2) kim m*Ek m* G型集Gk ( k 1,2,川),使得，對(duì)每一個(gè)k 1 ,iEkm* lim Ek (單調(diào)遞增集列的外側(cè)度的極限性 k質(zhì)

12、)。3、試證明可測(cè)集與幵集和閉集的下面的關(guān)系(可測(cè)集與幵集和閉集的更細(xì)致的關(guān)系)：設(shè)E Rn是可測(cè)集，則(1) 對(duì)任意的0,存在幵集m G(2) 存在一列單調(diào)遞減的幵集口1E Gk，且 m Gk E ；k(3) 存存在一列單調(diào)遞增的閉集E，且 m E Fk 1 o k4、試?yán)每蓽y(cè)集的結(jié)構(gòu)和幵集的結(jié)構(gòu)證明 的計(jì)算公式”即，設(shè)A Rp為可測(cè)集，B 測(cè)集，且FkG，使得E G，且E ；Gk( k 1,2,),使得，對(duì)每一個(gè)k 1 ,Fk ( k 1,2,|),使得，對(duì)每一個(gè)k 1 ,“可測(cè)集的直積的可測(cè)性及測(cè)度Rq為可測(cè)集，則A B為Rp+q上的可mB oR1為可測(cè)集，記y f(x)R2，上的一元

13、非負(fù)函數(shù)所構(gòu)成的曲邊梯形) 定義2 :設(shè)E R1為可測(cè)集，且EjEi，其中 Ei ( i 1,2,I , m )都是R1中的可測(cè)集,定義f : E且互不相交(Ei稱為可測(cè)集E的一個(gè)有限不交的可測(cè)分解)，現(xiàn)f(x)0,)如下:G, xC2, xIE1E2C1E1A m(x) C2 E2(x) M, Cm Em (x) C Ei (x)， x E，i 1Cm, X(i 1,2,Em,m )都為常數(shù)，Ei(x)為E為全集時(shí)Ei的示性(特征)函數(shù),其中c 0則稱f在可測(cè)集E上的一個(gè)非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)。試?yán)? “可測(cè)集的直積的可測(cè)性及測(cè)度的計(jì)算公式”解決下面的問(wèn)題：設(shè)f是按定義2定義的可測(cè)集E上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，Gp f,E的含義如定義1,則(1) Gp f,E(2) Gp f,E(3) mGp f,EjEi 0,Ci)，其中 Ei 0,Ci) ( i 1,2,iF是R2上的可測(cè)集；mC mEi oi 1,m )互不相交;m(A B) = mA5*、定義1:設(shè)f :E 0,)，其