聚焦2008年高考數(shù)學(xué)交匯試題的五大命題角度

1、聚焦2008年高考數(shù)學(xué)“交匯”試題的五大命題角度田彥武 寧夏銀川市第九中學(xué) 750001（Email：tywzshtomcom Tel“以能力立意”是新高考數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想隨著學(xué)習(xí)的深入，知識(shí)積累的增多，數(shù)學(xué)各部分知識(shí)在各自發(fā)展中的縱向聯(lián)系以及部分知識(shí)之間的橫向聯(lián)系日益密切，不失時(shí)機(jī)地構(gòu)筑知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并在各個(gè)階段逐步擴(kuò)充與完善因此，高考在考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，從而在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的“交匯點(diǎn)”處設(shè)計(jì)試題，這些試題運(yùn)用知識(shí)之間的交叉、滲透和組合，是基礎(chǔ)性與綜合性的最佳表現(xiàn)形式這在近兩年高考中表現(xiàn)的尤為突出。2008年高考數(shù)學(xué)中將可能從如

2、下五種角度命制“交匯”性試題： 命題角度1：以函數(shù)作平臺(tái)，以導(dǎo)數(shù)為工具，考查方程、數(shù)列、不等式等知識(shí)例1 已知 (I)若k2，求方程的解； (II)若關(guān)于x的方程在(0，2)上有兩個(gè)解x1，x2，求k的取值范圍，并證明解：（）當(dāng)k2時(shí)，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，方程化為，解得，因?yàn)?，故舍去，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，方程化為，解得由得當(dāng)k2時(shí)，方程的解所以或 (II)不妨設(shè)0x1x22，因?yàn)椋栽冢?,1上是單調(diào)函數(shù)，故在（0,1上至多一個(gè)解若1x1x22，則x1x20，故不符題意，因此0x11x22由得，所以；由得，所以；故當(dāng)時(shí)，方程在(0，2)上有兩個(gè)解當(dāng)0x11x22時(shí)，由此兩式消去k 得，即，因?yàn)閤22，

3、所以點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、分類討論等思想方法分析和解決問(wèn)題的能力需要考生有較扎實(shí)的理論知識(shí)及較強(qiáng)的分析問(wèn)題的能力，同時(shí)要具備良好的運(yùn)算能力本題以函數(shù)作為主線，與方程聯(lián)袂，以求參數(shù)的取值范圍和證明不等式為最終歸宿，充分體現(xiàn)了主干知識(shí)在高考中的地位和要求，考查考生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)和各種能力例2 已知函數(shù),是方程的兩個(gè)根(),是的導(dǎo)數(shù),設(shè) (1)求的值；(2)已知對(duì)任意的正整數(shù)有,記,求數(shù)列的前項(xiàng)和解：(1)由已知條件及求根公式得, (2)， 數(shù)列是首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列， 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、一元二次方程、對(duì)數(shù)、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)

4、，考查合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法以及抽象概括能力、邏輯推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)等本題以考生熟悉的一元二次方程作為基礎(chǔ)，聯(lián)系函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和數(shù)列知識(shí)，使問(wèn)題的綜合性得到進(jìn)一步加強(qiáng)，真正體現(xiàn)優(yōu)秀考題的選拔功能命題角度2：以幾何為舞臺(tái)，考查函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識(shí)例3如圖1所示，等腰三角形ABC的底邊AB=，高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于B、D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EFAB，現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE，記BE，表示四棱錐P-ACEF的體積 （1）求的表達(dá)式； （2）當(dāng)為何值時(shí)，V(x)取得最大值？ 圖1 （3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求異面直線AC與PF

5、所成角的余弦值 解：（1）由折起的過(guò)程可知，PE平面ABC，易得：，V(x)=（）（2），所以時(shí)， ，V(x)單調(diào)遞增；時(shí) ，單調(diào)遞減；因此時(shí)，取得最大值（3）過(guò)F作MF/AC交AD與M,則，PM=，在PFM中， ，異面直線AC與PF所成角的余弦值為點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、函數(shù)極值、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、幾何體體積計(jì)算、空間兩異面直線所成角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想以及空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力本題以立體幾何搭建平臺(tái)，首先建立函數(shù)關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵，然后以導(dǎo)數(shù)作為工具求最值，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和應(yīng)用，思維跨度比較大，但順利自然，貼切而又生動(dòng)，真正實(shí)現(xiàn)了知識(shí)之間的融合與交匯，考查了

6、學(xué)生的綜合思維品質(zhì)和駕馭數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力另外，第（3）問(wèn)還可以用向量方法去解決，此處略例4如圖2，有一塊半橢圓形鋼板，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值 圖2 圖3解：（I）依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖3），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程，解得，其定義域?yàn)椋↖I）記，則令，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以是的最大值因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為，即梯形面積的最大值為點(diǎn)評(píng)：本題是一道靚題，以解析幾何為原材料，考查函數(shù)的基礎(chǔ)知

7、識(shí)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查最值的求法，將函數(shù)與解析幾何兩塊主體內(nèi)容有機(jī)地滲透和聯(lián)系在一起這種在交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)的試題，注重內(nèi)容的聯(lián)系性和知識(shí)的綜合性，既能增加知識(shí)的考查點(diǎn)，又能從學(xué)科整體的高度和思維價(jià)值的高度考慮問(wèn)題，能對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)考查達(dá)到必要深度，可謂視角獨(dú)特、回味無(wú)窮命題角度3：以平面向量為袈裟，考查三角、平面幾何和解析幾何等知識(shí)平面向量是高中數(shù)學(xué)教材中的新增內(nèi)容它的引入，不僅給高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)了無(wú)限生機(jī)，而且給高考數(shù)學(xué)命題也注入了新的活力，這是因?yàn)橄蛄烤哂写鷶?shù)與幾何形式的雙重身份，它能將數(shù)學(xué)的很多知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，成為數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，故為近年來(lái)高考數(shù)學(xué)命題者所青睞例5已知向量，求函數(shù)的最大值，最小正

8、周期，并寫出f(x)在0，上的單調(diào)區(qū)間.解：=.所以，最小正周期為上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角函數(shù)公式的變形使用以及三角函數(shù)的性質(zhì)這是以向量為背景和依托，考查三角知識(shí)的題目這種將三角函數(shù)與平面向量聯(lián)袂上演的題目會(huì)成為未來(lái)高考中的一個(gè)極大亮點(diǎn)，這樣命題不僅會(huì)使問(wèn)題的綜合性得到進(jìn)一步的加強(qiáng)，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和綜合解決問(wèn)題的能力例6、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)已知與共線，與共線，且求四邊形的面積的最小值和最大值解： QPNMFO如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0,1)，且PQMN，直線PQ、NM中至少有一條存

9、在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過(guò)點(diǎn)F(0,1)，故PQ的方程為=+1，將此式代入橢圓方程得(2+)+21=0設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則從而，亦即(1)當(dāng)0時(shí)，MN的斜率為，同上可推得，故四邊形的面積，令=得=2，當(dāng)=1時(shí)=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)，；（）當(dāng)=0時(shí)，MN為橢圓長(zhǎng)軸，|MN|=2，|PQ|=，S=|PQ|MN|=2綜合（）、（）知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為點(diǎn)評(píng)：本題將向量嵌入橢圓中，使問(wèn)題情景生動(dòng)而新穎，自然而貼切主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，向量共線與垂直的條件，均值不等式及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有

10、“數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶而解析幾何也具有數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的特征，所以在向量與解析幾何知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)試題，已逐漸成為高考命題的一個(gè)新亮點(diǎn)通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問(wèn)題的處理，目標(biāo)是將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算 命題角度4：以概率為最終歸宿，考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、向量、幾何等知識(shí)例7已知一組拋物線，其中為2，4，6，8中任取的一個(gè)數(shù)，為1，3，5，7中任取的一個(gè)數(shù)，從這些拋物線中任意抽取兩條，它們?cè)谂c直線交點(diǎn)處的切線相互平行的概率是（ ）ABCD解：由已知條件可知組成條拋物線，從中任取2條的方法數(shù)為種，當(dāng)時(shí)，而的值為13，11，9，

11、7，5的拋物線的條數(shù)分別為2，3，4，3，2，所以任取2條在處切線平行的有種，所以所求的概率為，選B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)、排列組合知識(shí)、概率知識(shí)及綜合應(yīng)用能力本題將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、排列組合與概率等知識(shí)內(nèi)容交叉滲透，充分考查了學(xué)生在新情景中采集信息、處理信息的能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力這自然也是今后高考命題的一個(gè)新方向例8將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（）解：連續(xù)擲三次骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的方法數(shù)為種，其中公差為0的等差數(shù)列有6個(gè)；公差為1或的等差數(shù)列有個(gè)；公差為2或的等差數(shù)列有個(gè)所以滿足題中條件的概率為，故選B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查概率知識(shí)、排列組合知識(shí)及

12、等差數(shù)列的性質(zhì)這種多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的“交匯”，不僅使問(wèn)題本身具有新意，而且能較好地考查學(xué)生的綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)例9連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（ ）ABCD解：由于 ，所以與不共線，若滿足條件，則只須，其概率為，選C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查概率、向量的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力該題用向量形式給出概率問(wèn)題，將兩個(gè)“新”知識(shí)有機(jī)地柔和在一起，充分體現(xiàn)出明顯的區(qū)分度，拉開了檔次，讓人拍案叫絕！例10在正方體上任意選擇兩條棱，則這兩條棱相互平行的概率為 解：從正方體的12條棱任選2條的方法數(shù)為，從12條棱中選2條平行的棱的方法數(shù)為，所以所求概率為點(diǎn)

13、評(píng)：本題主要考查立體幾何與概率基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力本題以立體圖形為依托，巧妙地將概率與立體幾何結(jié)合在一起，情景新穎而又別致，題目雖小，但知識(shí)含量不凡這也是今后概率命題的一個(gè)新趨勢(shì)命題角度5：以空間向量作為工具，考查立體幾何中線、面位置關(guān)系及角度和距離計(jì)算例11在四棱錐PABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，DAB60，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60PABCDOE（1）求四棱錐PABCD的體積；（2）若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值解：（1）在四棱錐P-ABCD中，由PO平面ABCD，得PBO是PB與平面ABCD所成的角

14、， PBO=60在RtAOB中BO=ABsin30=1， 由POBO，于是，PO=BOtg60=，而底面菱形的面積為2四棱錐P-ABCD的體積V=2=2（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系在RtAOB中OA=，于是，點(diǎn)A、B、D、P的坐標(biāo)分別是A(0，0)，B (1，0，0)， D (1，0，0)， P (0，0， )E是PB的中點(diǎn)，則E(，0，) 于是=(，0， )，=(0， ，)設(shè)的夾角為，有cos=異面直線DE與PA所成角的余弦值是點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面關(guān)系，直線與平面所成的角、異面直線所成的角以及四棱錐的體積考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，考查用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力第（2）小題也可用傳統(tǒng)方法解，此處略。例12如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且，是的中點(diǎn)（1）求點(diǎn)到面的距離；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求二面角的大?。ㄓ谜抑当硎荆┙猓海?）以為原點(diǎn)，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系則有，設(shè)平面的法向量為，則由知：；由知：取，則點(diǎn)到面的距離為zyx（2），所以異面直線與所成角的余弦值為（3）設(shè)平面的法向量為，則由知：；由知：取由