常微分方程練習(xí)題及答案(復(fù)習(xí)題)

1、常微分方程練習(xí)試卷 填空題。 (線性、非線性)微分方程. 3 d2x 1.方程X 一2 dt2 2.方程冬gy y dx f(xy) 經(jīng)變換 ，可以化為變量分離方程 d3y 3.微分方程 乂 dx3 0滿足條件y(0) i,y(0) 2的解有 4.設(shè)常系數(shù)方程y X e的一個(gè)特解 y (x) 2x e X xe ，則此方程的系數(shù) 5. 朗斯基行列式 W(t) 0是函數(shù)組 b上線性相關(guān)的 6. 7. 條件. 2 2 方程 xydx (2x 3y 20)dy0 的只與y有關(guān)的積分因子為 已知X A(t)X 的基解矩陣為 (t)的，則 A(t) 8. 方程組X 9. 可用變換 將伯努利方程 空7宀

2、日疋化為線性方程. 10 . y = 1是滿足方程y 2y 5y y 1 和初始條件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式： 12.三階常系數(shù)齊線性方程y 2y y 0的特征根是 0 X的基解矩陣為 5 計(jì)算題 1.求平面上過原點(diǎn)的曲線方程， 該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn)(1,0)的連線相互垂直. dy 2.求解方程 dx d2x 3.求解方程X dt2 4.用比較系數(shù)法解方程.X+4k二也-2 5.求方程y y sin X 的通解. 2 2 6.驗(yàn)證微分方程(cos XS in X xy )dx y(1 x )dy 0是恰當(dāng)方程，并求出它的通解. 7. 8. dy 求方程 dx

3、 9. 10.若 三、證明題 2x 1 (%3 dx 1.若(t), 2.設(shè)(X)( 3y2 4xydy dx (t)是 X Xo,X y(x) yo dX ，試求方程組 1dt AX 的一個(gè)基解基解矩陣 通過點(diǎn) (1,0) 的第二次近似解. 8y2 的通解 (t) dt AX 滿足初始條件 x(0) 試求方程組X Ax的解(t), (0) 并求expAt A(t)X 的基解矩陣，求證：存在一個(gè)非奇異的常數(shù)矩陣 )是積分方程 x 2 2y( ) d , x0 Xo,X C，使得 (t) (t)C. 的皮卡逐步逼近函數(shù)序列 n(x) 在,上一致收斂所得的解，而 (x) 是這積分方程在, 上的連續(xù)

4、解，試用逐步逼近法證明：在 ,上(x) (x). 3.設(shè)歹衛(wèi)都是區(qū)間(一叫他)上的連續(xù)函數(shù)，且是二階線性方程尸0的一個(gè)基本解組.試證明: (i) 和訐(X)都只能有簡單零點(diǎn)(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零); (ii) 和疔(對(duì)沒有共同的零點(diǎn)； (iii) 0和0沒有共同的零點(diǎn). 4.試證：如果 (t)是必 AX 滿足初始條件 答案 一.填空題。 1. 二，非線性 2. 5.必要 6. dt 7. (to) 的解，那么 (t) e申 A(t t0) xy， u(f(u) 1)du Idx 3. x 無窮多 4. 3, 2, (t) 1(t) 1 (4y2)3 代入（*）得 試求方程組 A

5、x的解 3 x 27 也是方程的解 (t),(0) ，解得12 并求expAt ，此時(shí) k=1, n12 v (t) 1 ti FA 3E)i 由公式expAt= exp At 三、證明題 1.若(t), n 1 xi E)i e3t t( t( 2) 2) e3t E t(A 3E) e3t (t)是 X 證： (t) 是基解矩陣，故 e3t A(t)X 的基解矩陣，求證：存在一個(gè)非奇異的常數(shù)矩陣 C，使得 (t) (t)C. 1(t) 存在，令X(t) 1(t) (t)， 則 X(t) 可微且 detX(t) o，易知(t) (t)X(t). 所以(t) (t)X(t) (t)X (t)

6、A(t) (t)X(t) (t)X (t) A(t) (t) (t)X (t) (t) A(t) (t)，所以 (t)X (t)0， X (t) o, X(t) C (常數(shù)矩陣)，故 (t) (t)C . 2.設(shè)(X)( XoX )是積分方程 y(x) yo X 2 x 2y( ) d , Xo,X 的皮卡逐步逼近函數(shù)序列 n(x) 在,上一致收斂所得的解，而 (X) 是這積分方程在 ,上的連續(xù)解，試用逐步逼近法證明：在,上(X) (X). 證明：由題設(shè)，有 (x) yo X xo 2 ( ) d , o(x)yo, yo X Xo n1() d , Xo,X 1,2,). 下面只就區(qū)間xo

7、上討論，對(duì)于 Xo的討論完全一樣。 因?yàn)閨(x) X (2| )| 1|)d M (xXo), 其中M 所以 |(X)1(x)1( Xo X0 2| () o( X )l)d L M( Xo Xo)d 匹(X 2! Xm?aXX2 1 (X)I |X|， x。)2. 2 其中 L maxx2 , 設(shè)對(duì)正整數(shù) X , n 有 I （X） i(x)| na.n1 ML n! （X Xo）n，則有 I（X） n(X)| (2| nl( )I)d LXMLn1 故由歸納法，對(duì)一切正整數(shù) I（X） ki(X)| X0 MLk1 k! (X Xo)k MLk1 k! )k 而上不等式的右邊是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)

8、的通項(xiàng)，故當(dāng) 時(shí)，它 0, 因而函數(shù)序列 n（X）在 XoX 上一致收斂于 （X） .根據(jù)極限的唯一性，即得 3. （X） (X)，XoX n!( xo n I X0)d -M(x (n 1)! Xo)n1 設(shè)囚衛(wèi)都是區(qū)間d皿）上的連續(xù)函數(shù)，且耐）臚是二階線性方程X+PWy知尸0的一個(gè)基本解組. 試證明： (i) 0盂和評(píng)（X）都只能有簡單零點(diǎn)（即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零）； (ii) (iii) 0和0沒有共同的零點(diǎn). 證明： 卩（R和財(cái)（X）的伏朗斯基行列式為 etc 皿) 因卩w和附w是基本解組，故 硏（X）匯 0 （X 巴（一00,+00） 若存在心巨Z冋，使得畑=畑=0 ,則由行列式性質(zhì)可得 叫）=0 ,矛盾.即 密（X）最多只能有簡單零點(diǎn).同理對(duì)叭兀）有同樣的性質(zhì),故（i）得證. 若存在心便（Yog,使得夙坯=帆心）=0，則由行列式性質(zhì)可得叭坯）=0,矛盾.即卩W嚴(yán)W無共同零點(diǎn).故（ii）得證. 若存在Eg使得0仇）W（疝=0，則同樣由行列式性質(zhì)可得琢（小0,矛盾. 即B與0無共同零點(diǎn).故（iii）得證. 4.試證：如果（t） dX dt AX滿足初始條件（t0） 的解，那么（t） e申A（tt0） .證明：因?yàn)?t) exp At是