人教版高中數(shù)學(xué)必修一第一章知識(shí)點(diǎn)

1、第一章集合與函數(shù)概念 1.1 集合【 1.1.1 】集合的含義與表示（1）集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.（ 2）常用數(shù)集及其記法N 表示自然數(shù)集，N或 N 表示正整數(shù)集， Z 表示整數(shù)集， Q 表示有理數(shù)集， R 表示實(shí)數(shù)集 .（ 3）集合與元素間的關(guān)系對(duì)象 a 與集合 M 的關(guān)系是 aM ，或者 aM ，兩者必居其一 .（ 4）集合的表示法自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合 . 描述法： x | x 具有的性質(zhì) ，其中 x 為集合的代表元素 .圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.（ 5）集合的分類含有有限個(gè)元素的

2、集合叫做有限集. 含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 ().【 1.1.2 】集合間的基本關(guān)系（ 6）子集、真子集、集合相等名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖AB（或子集BA)AB真子集（或BA）集合相等A BA 中的任一元素都屬于 BA B，且 B 中至少有一元素不屬于 AA 中的任一元素都屬于 B ，B 中的任一元素都屬于 A(1)A A(2)AA(B)BA(3)若 AB 且 BC，則AC(4)若 AB 且 BA，則 AB或（1）A （ A 為非空子集）BA(2)若 AB 且 BC，則 AC(1)ABA(B)(2)BA（ 7）已知集合 A 有 n(n1) 個(gè)元素，則它有2n

3、 個(gè)子集，它有 2n1個(gè)真子集，它有 2n1個(gè)非空子集，它有 2n2非空真子集 .（ 8）交集、并集、補(bǔ)集1名稱交集并集補(bǔ)集【 1.1.3】集合的基本運(yùn)算記號(hào)意義性質(zhì)示意圖 x | xA, 且（1） AIAAA I（2） AIBAB（3） AIBAxBA IBB x | xA, 或（1） AU AA（2） AUAA U BABxB（3） AU BAA U BBU1U2 A U (eU A)A I (e A)e A x | x U , 且xA痧( AI B)( UA) U (?U B)UU痧(A U B)(UA)I (?B)UU【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法（ 1）含絕對(duì)值的

4、不等式的解法不等式解集| x | a( a 0) x | a x a| x | a(a 0)x | xa 或 x a把 axb 看 成 一 個(gè) 整 體 ， 化 成 | x |a ，| axb |c,| ax b |c(c0)| x | a(a 0) 型不等式來(lái)求解（ 2）一元二次不等式的解法判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象O一元二次方程2bb4ac2x1,22ax1 x2baxbxc0( a0)無(wú)實(shí)根2a（其中 x1x2 )的根ax2bxc0(a0) x | x x1 或 xx2 x | xb R的解集2a2ax2bx c 0( a 0) x | x1x x2的解集

5、1.2 函數(shù)及其表示【 1.2.1 】函數(shù)的概念（ 1）函數(shù)的概念設(shè) A、 B 是兩個(gè)非空的數(shù)集， 如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f ，對(duì)于集合 A 中任何一個(gè)數(shù)x ，在集合 B中都有唯一確定的數(shù)f ( x) 和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng) （包括集合 A ，B 以及 A 到 B 的對(duì)應(yīng)法則f ）叫做集合 A到 B 的一個(gè)函數(shù)，記作f : AB 函數(shù)的三要素: 定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)（ 2）區(qū)間的概念及表示法設(shè) a, b 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且ab ，滿足 ax b 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做閉區(qū)間，記做a,b ；滿足a x b 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做開區(qū)間，記做(a

6、,b) ；滿足 axb ，或 a xb 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做 a,b) ， (a,b ；滿足 xa, xa, x b, xb 的實(shí)數(shù) x 的集合分別記做 a, ),( a,),(, b,(, b) 注意： 對(duì)于集合 x | axb 與區(qū)間 (a, b) ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必須a b （ 3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則： f ( x) 是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù) f ( x) 是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù) f ( x) 是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)

7、，底數(shù)須大于零且不等于1 ytan x 中， xk(kZ ) 2零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零若 f ( x) 是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)3的定義域的交集對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是： 若已知 f (x) 的定義域?yàn)?a, b ，其復(fù)合函數(shù)f g( x)的定義域應(yīng)由不等式ag ( x)b 解出對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義（ 4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中

8、存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲狄虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法：觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值判別式法：若函數(shù)yf ( x) 可以化成一個(gè)系數(shù)含有y 的關(guān)于 x 的二次方程a( y) x2b( y) xc( y)0 ，則在 a( y)0 時(shí)，由于 x, y 為實(shí)數(shù)，故必須有b2 ( y) 4a( y)c( y)0 ，從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值換元法：通過(guò)變

9、量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法【 1.2.2 】函數(shù)的表示法（ 5）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（ 6）映射的概念設(shè) A、 B 是兩個(gè)集合， 如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f ，對(duì)于集合 A 中任何一個(gè)元素， 在集合 B 中都有唯

10、一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng) （包括集合A ， B 以及 A 到 B 的對(duì)應(yīng)法則f ）叫做集合 A 到B 的映射，記作f : A B 給定一個(gè)集合A 到集合 B 的映射，且 a A, bB 如果元素 a 和元素 b 對(duì)應(yīng)，那么我們把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象4 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)【 1.3.1 】單調(diào)性與最大（小）值（ 1）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的定義圖象性 質(zhì)如果對(duì)于屬于定義域I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量yy=f(X)的值 x1、x2 , 當(dāng) x1 x 2時(shí)，都f(x2 )有 f(x1)f(x2 ) ， 那 么 就說(shuō)f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是

11、 增函數(shù) 1f(x )ox1x2x函數(shù)的單調(diào)性如果對(duì)于屬于定義域I 內(nèi)某yy=f(X)個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量f(x )的值 x 1、 x2 ，當(dāng) x1 f(x2 ) ， 那 么 就說(shuō)2f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是 減函數(shù) ox 1x 2x判定方法（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（ 3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象上升為增）（ 4）利用復(fù)合函數(shù)（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（ 3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象下降為減）（ 4）利用復(fù)合函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù) 對(duì) 于 復(fù)

12、合 函 數(shù) yf g( x) ， 令 ug( x) ， 若 yf (u) 為 增 ， ug( x) 為 增 ， 則y f g (x) 為增；若 yf (u) 為減， ug( x) 為減，則 yf g (x) 為增；若 yf (u) 為增， ug( x) 為 減， 則 yf g( x) 為 減； 若 yf (u) 為減， ug( x) 為增 ，則 yyf g (x) 為減（ 2）打“”函數(shù)f ( x)xa (a 0) 的圖象與性質(zhì)xf (x) 分別在 (,a 、 a ,) 上為增函數(shù)，分別在oxa, 0) 、 (0,a 上為減函數(shù)（ 3）最大（?。┲刀x一般地，設(shè)函數(shù)yf (x) 的定義域?yàn)?I

13、 ，如果存在實(shí)數(shù)M 滿足：（1）對(duì)于任意的 xI ，都有 f ( x)M ；（ 2）存在 x0I ，使得f (x0 )M 那么，我們稱M 是函數(shù)f ( x)的最大值，記作fmax ( x)M 5一般地，設(shè)函數(shù)yf ( x) 的定義域?yàn)?I ，如果存在實(shí)數(shù)m 滿足：（ 1）對(duì)于任意的xI ，都有f (x)m ；（ 2）存在 x0I ，使得 f ( x0 )m 那么，我們稱 m 是函數(shù) f (x) 的最小值，記作fmax (x)m 【 1.3.2 】奇偶性（ 4）函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的定義圖象判定方法性 質(zhì)如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)（ 1）利用定義（要先任意一個(gè) x，都有 f( x)=

14、 判斷定義域是否關(guān)于f(x) ,那么函數(shù) f(x)叫做奇函原點(diǎn)對(duì)稱）數(shù)（ 2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）函數(shù)的奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)（ 1）利用定義（要先任意一個(gè) x，都有 f( x)= f(x) ,判斷定義域是否關(guān)于那么函數(shù) f(x)叫做偶函數(shù) 原點(diǎn)對(duì)稱）（ 2）利用圖象（圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱）若函數(shù) f ( x) 為奇函數(shù)，且在 x 0 處有定義，則 f (0)0奇函數(shù)在 y 軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y 軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一

15、個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)補(bǔ)充知識(shí)函數(shù)的圖象（ 1）作圖利用描點(diǎn)法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；畫出函數(shù)的圖象利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象平移變換yf ( x)h 0,左移 h個(gè)單位h0,右移 | h|個(gè)單位yf ( x)k 0,上移 k 個(gè)單位k0,下移 | k|個(gè)單位伸縮變換y f (x h) y f (x) ky f ( x)01,伸y f ( x)1,縮60A1,縮yf ( x)A 1,伸yAf ( x)對(duì)稱變換yf ( x)y f ( x) y f ( x)y f ( x)（ 2）識(shí)圖x軸f (x)yf (x)y軸f (x)yy原點(diǎn)f ( x)yf