高中數(shù)學(xué)必修4平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題歸納

1、_平面向量【基本概念與公式】【任何時(shí)候?qū)懴蛄繒r(shí)都要帶箭頭】1. 向量 ：既有大小又有方向的量。記作：uuur rAB 或 a 。uuurr2. 向量的模 ：向量的大?。ɑ蜷L(zhǎng)度） ，記作： | AB |或 | a |。rr3. 單位向量 ：長(zhǎng)度為 1 的向量。若e是單位向量，則| e|1。r r4. 零向量 ：長(zhǎng)度為 0 的向量。記作： 0 。【 0 方向是任意的，且與任意向量平行】5. 平行向量（共線向量） ：方向相同或相反的向量。6. 相等向量 ：長(zhǎng)度和方向都相同的向量。7. 相反向量 ：長(zhǎng)度相等，方向相反的向量。8. 三角形法則：uuuruuurABBA。uuuruuuruuur uuur

2、uuuruuuruuuruuur uuuruuuruuurABBCAC ； ABBCCDDEAE ； ABACCB （指向被減數(shù)）9. 平行四邊形法則 ：r rrr rr以 a, b 為臨邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為ab ， ab 。rrr rrrr r10. 共線定理 ： aba / /b 。當(dāng)0 時(shí)， a與 b 同向；當(dāng)0 時(shí)， a與b 反向。11. 基底 ：任意不共線的兩個(gè)向量稱為一組基底。12.rrx2y 2r 2rrrrr2向量的模： 若 a(x, y) ，則 | a |， a| a |2， | ab |( ab)r rrrrrcosra br13.數(shù)量積與夾角公式：a b| a

3、 | | b | cos；| a | b |rrrrrrrr14.平行與垂直： a / / babx1 y2x2 y1 ； aba b0x1 x2y1 y2 0題型 1. 基本概念判斷正誤：（ 1）共線向量就是在同一條直線上的向量。（ 2）若兩個(gè)向量不相等，則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)。（ 3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。（ 4）四邊形 ABCD是平行四邊形的條件是uuuruuurABCD 。uuuruuur（ 5）若 ABCD ，則 A、B、 C、 D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。r rr rrrrrrr（ 6）若 a 與 b 共線， b 與 c 共線，則 a 與 c 共線。（ 7）若 mamb

4、，則 ab 。精品資料_rrn 。rrrr（ 8）若 mana ，則 m（9）若 a 與 b 不共線，則 a 與 b 都不是零向量。r rrrrrr rrrrr（ 10）若 a b| a | |b | ，則 a / /b 。（ 11）若 | a b | | ab |，則 ab 。題型 2. 向量的加減運(yùn)算1.rrrr設(shè) a 表示“向東走8km”, b 表示“向北走6km” , 則 | ab |。uuuruuuruuuruuuruuuur2.化簡(jiǎn) ( ABMB ) ( BO BC )OM。3.uuur5 ,uuuruuur已知 | OA |OB | 3 , 則 | AB | 的最大值和最小值分別

5、為、。4.uuur uuuruuuruuurruuurruuuruuur已知 AC為 AB與 AD 的和向量，且 ACa, BDb ，則AB， AD。5.uuur3 uuuruuuruuuruuuruuur已知點(diǎn) C 在線段 AB 上，且 ACAB , 則 ACBC ， ABBC 。題型 3. 向量的數(shù)乘運(yùn)算51.rrr3(rrr計(jì)算： 2(2a5b3c)2a3b2c)2.rr( 3,8) ，則r1r。已知 a (1,4), b3a2b題型 4 根據(jù)圖形由已知向量求未知向量已知在 ABC 中， D 是 BC 的中點(diǎn)，請(qǐng)用向量uuur uuuruuur1.AB，AC 表示 AD 。2. 在平行四

6、邊形uuurr uuurruuur uuurABCD 中，已知 ACa, BDb ，求 AB和 AD 。題型 5. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算uuur(4,5) ， A(2,3) ，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)是1.已知 AB。2.uuur( 3, 5) ， P(3,7)，則點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是已知 PQ。3.rr(2,3)r(1, 4), 則合力的坐標(biāo)為若物體受三個(gè)力 F(1,2) , F2, F。134.rrrrrrrr已知 a (3,4) ， b(5, 2) ，求 ab ， ab， 3a2b 。5. 已知 A(1,2), B(3,2)ruuur, 向量 a( x 2, x 3 y 2) 與 AB 相等，求 x, y

7、 的值。精品資料_6.uuuruuuruuur( 1,4)uuur已知 AB(2,3) ， BC(m, n) ， CD，則 DA。7.已知 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)， A(2, 1),B( 4,8)uuuruuurruuur，且 AB3BC0 ，求 OC 的坐標(biāo)。題型 6. 判斷兩個(gè)向量能否作為一組基底u(yù)r uur1. 已知 e1, e2 是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底：uruur uruururuuruurururuur uururuur uururA. e1e2和e1e2B. 3e12e2和4e26e1 C.e1 3e2和e23e1D. e2和e2e1rr）2. 已知 a (

8、3,4) ，能與 a 構(gòu)成基底的是（A. ( 3, 4) B.( 4 , 3) C.( 3,4) D. ( 1,4)5555553題型 7. 結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)uuur2 ，xOAuuur1. 已知 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 在第二象限， |OA |150o ，求 OA 的坐標(biāo)。uuur4 3 ， xOA60ouuur2. 已知 O 是原點(diǎn)，點(diǎn) A 在第一象限， | OA |，求 OA 的坐標(biāo)。題型 8. 求數(shù)量積rr4rr的夾角為 60or rr rr1. 已知 | a |3,| b |，且 a 與 b，求（ 1） a b ，（ 2） a (ab ) ，r1r rrrrr（ 3） (a2b

9、 ) b ，（ 4） (2 a b) ( a 3b ) 。r(2,r( 8,10)rrrrrrr2. 已知 a6), b，求（ 1） | a |,| b | ，（ 2） ab ，（ 3） a(2ab) ，rrrr（ 4） (2 a b ) (a 3b) 。精品資料_題型 9. 求向量的夾角rr3r r12rr1. 已知 | a |8,| b |， a b，求 a 與 b 的夾角。rr( 2 3, 2)rr2. 已知 a( 3,1), b，求 a 與 b 的夾角。3. 已知 A(1,0) ， B(0,1) ， C (2,5) ，求 cosBAC 。題型 10. 求向量的模rr4rrorrrr|。

10、1. 已知 | a |3,| b |，且 a 與 b 的夾角為 60，求（ 1） | ab |，（ 2） | 2a3brr( 8,10)rrrrr1r2. 已知 a(2, 6), b，求（ 1） | a |,| b | ，（ 5） | ab |，（6） | a2b |。rr2rr|3rr3. 已知 | a |1，|b |， | 3a2b，求 |3ab |。rrr題型 11.求單位向量a】【與 a 平行的單位向量：er| a |r(12,5) 平行的單位向量是r1平行的單位向量是。1. 與 a2.與 m ( 1,)2題型 12.向量的平行與垂直rr3,2) ，（1） krrrr1. 已知 a(1

11、,2) ， b (為何值時(shí)，向量 kab 與 a3b 垂直？（ 2） k 為何值時(shí)rrrr向量 kab 與 a3b 平行？精品資料_rr rr rrrrrr2. 已知 a 是非零向量，a ba c ，且 bc ，求證： a(bc ) 。題型 13. 三點(diǎn)共線問(wèn)題1. 已知 A(0,2) ， B(2, 2) ， C (3, 4) ，求證： A, B, C 三點(diǎn)共線。uuur2 rr uuurrr uuurrr2. 設(shè) AB(a 5b), BC2a8b, CD3(ab) ，求證： A、B、D 三點(diǎn)共線。23.uuurrr uuurrr uuurrr已知 ABa2b, BC5a6b,CD7a2b ，

12、則一定共線的三點(diǎn)是。4.已知 A(1,3) ， B(8,1) ，若點(diǎn) C (2 a1,a2) 在直線 AB 上，求 a 的值。O (0,0) ，A(3, 4) ，B(uuuruuuruuur5. 已知四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)1,2) ，C (1,1)，是否存在常數(shù) t ，使 OAtOBOC成立？題型 14.判斷多邊形的形狀1.uuurruuurruuur uuur若 AB3e， CD5e，且 | AD | | BC |, 則四邊形的形狀是。2.已知 A(1,0) ， B(4,3)， C (2, 4) ， D (0,2) ，證明四邊形ABCD 是梯形。3. 已知 A( 2,1) ， B(6,3) ， C (

13、0,5) ，求證：ABC 是直角三角形。精品資料_uuuruuuruuurABC 是等腰直角三角形。4. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)， OA( 1,8),OB( 4,1),OC (1,3), 求證：題型 15.平面向量的綜合應(yīng)用rr(2,1)rrrr1. 已知 a(1,0) ， b，當(dāng) k 為何值時(shí)，向量 kab 與 a3b 平行？r( 3, 5)rrrr2. 已知 a，且 ab ， | b |2 ，求 b 的坐標(biāo)。r rrr rr3. 已知 a與b 同向， b(1,2) ，則 a b10 ，求 a 的坐標(biāo)。rr(3,1)r(5,4)rrr4. 已知 a(1,2) ， b， c，則 cab 。rrrrm 的范圍；5. 已知 a(m,3) ， b (2, 1)，（ 1）若 a 與 b 的夾角為鈍角，求rrm 的范圍。（ 2）若 a 與 b 的夾角為銳角，求rr( 3,m)rrrr6. 已知 a(6,2) ， b，當(dāng) m 為何值時(shí)