高一數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)46147

1、高中數(shù)學(xué)必修1 知識(shí)點(diǎn)第一章、集合綜合應(yīng)用題；單調(diào)性、奇偶性證明與應(yīng)用；第二章、指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算；指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；第三章、零點(diǎn)問(wèn)題，尤其是二次函數(shù)的零點(diǎn)、二次函數(shù)根的分布。第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念：1、集合的含義：2、集合的中元素的三個(gè)特性：（ 1）元素的確定性；（ 2）元素的互異性；3、集合的表示：（ 3）元素的無(wú)序性（）列舉法：（）描述法：4、常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）N ； 正整數(shù)集5、“屬于”的概念集合的元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如：a 不屬于集合A 記作 aAN*或 N+ ； 整數(shù)集 Z ；有理數(shù)集Q； 實(shí)數(shù)集a 是集合 A 的元素，就

2、說(shuō)a 屬于集合A 記作Ra A，相反，6、集合的分類：1有限集含有有限個(gè)元素的集合2無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合3空集不含任何元素的集合二、集合間的基本關(guān)系集合相等，子集，真子集，空集等定義規(guī)定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運(yùn)算1 交集、并集、全集與補(bǔ)集的定義2. 性質(zhì)： A A = A ，A = , A B = B A，A A = A ， A = A , A B = B A. CU(C UA)=A (C UA) A= (C UA) A=U(4)(C UA) (CUB)=C U(A B) (5)(CUA) (C UB)=C U(A B)二、函數(shù)的有關(guān)概念1函數(shù)

3、的概念： ( 看課本 )注意： 1、如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒(méi)有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；2、函數(shù)的定義域、值域要寫(xiě)成集合或區(qū)間 的形式定義域補(bǔ)充：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x 的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù) 是： (1)分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零；(3) 對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4) 指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的. 那么，它的定義域是使各部分都有意義的x 的值組成的集合 . （ 6）指數(shù)為零底不可以等于零(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)

4、的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義 .( 注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域相同函數(shù)的判斷方法：定義域一致；表達(dá)式相同( 兩點(diǎn)必須同時(shí)具備 )函數(shù)圖像A、描點(diǎn)法： 根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y 的一些對(duì)應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn) P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來(lái).B、圖象變換法：常用變換方法有三種，即平移變換、對(duì)稱變換和伸縮變換、對(duì)稱變換 :（ 1）將 y= f(x)在 x 軸下方的圖象向上翻得到y(tǒng)= f(x) 的圖象如：書(shū)上P21 例 5x（ 2） y= f(x)和 y= f(-x)的圖象關(guān)于

5、y 軸對(duì)稱。如 yax與y a x1a（ 3） y= f(x)和 y= -f(x)的圖象關(guān)于 x 軸對(duì)稱。如 ylog a x與 ylog a xlog 1xa、平移變換 :由 f(x)得到 f(x a)左加右減；由 f(x)得到 f(x)a上加下減(3) 作用： A、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；B、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路；C、提高解題的速度；發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。4區(qū)間的概念與表示5映射定義 ：（看課本）說(shuō)明 : 函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，集合A、B 及對(duì)應(yīng)法則f 是確定的；對(duì)應(yīng)法則有“方向性” ，即強(qiáng)調(diào)從集合A 到集合 B 的對(duì)應(yīng)，它與從B 到 A 的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的

6、；對(duì)于映射f ： A B 來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿足： （）集合A 中的每一個(gè)元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合A 中不同的元素，在集合B 中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；（）不要求集合B 中的每一個(gè)元素在集合 A 中都有原象。6、函數(shù)的表示法：解析法；圖象法；列表法注意：解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值* 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)； （ 2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集*如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(xA), 則 y=fg(x)=F(x)， (x A) 稱為 f是 g 的復(fù)合函數(shù)。7函數(shù)單調(diào)性

7、（定義）（ 1）增函數(shù)注意： 1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；2、必須是對(duì)于區(qū)間 D 內(nèi)的 任意兩個(gè)自變量 x ，x ；當(dāng) x x時(shí)，總有 f(x)f(x ) （或 f(x) f(x2) ）。1212121（ 2） 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù) y=f(x) 在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有( 嚴(yán)格的 ) 單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：u=g(xy=f(u)y=fg(x1 任取 x1，x2 D，且 x1 0 （ C 為常數(shù)）時(shí)，yf (

8、 x) 與 yC gf (x) 的單調(diào)性相同；當(dāng) C 0 （C 為常數(shù)）時(shí)， yf ( x) 與 yC gf ( x) 的單調(diào)性相反；函數(shù) f ( x) 、 g( x) 都是增（減）函數(shù)，則f ( x)g ( x) 仍是增（減）函數(shù)；若 f ( x)0, g( x)0 且 f (x) 與 g( x) 都是增（減）函數(shù)，則f ( x)gg( x) 也是增（減）函數(shù)；若 f (x)0, g( x)0且 f (x) 與 g(x) 都是增（減）函數(shù)，則f ( x)gg (x) 也是減（增）函數(shù)；8函數(shù)的奇偶性（定義）偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式

9、步驟：1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 2 確定 f( x) 與 f(x)的關(guān)系； 3作出相應(yīng)結(jié)論：若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) =0 ，則 f(x)是偶函數(shù)；若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) =0 ，則 f(x)是奇函數(shù)注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù). 若對(duì)稱， (1)再根據(jù)定義判定 ; (2) 有時(shí)判定 f(-x)= f(x)比較困難，可考慮根據(jù)是否有 f(-x) f(x)=0或 f(x)/f(-x)= 1 來(lái)判定 ; (3)利用定理

10、，或借助函數(shù)的圖象判定.函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱 .若 f ( x) 為偶函數(shù)，則f (x)f (x)f (| x |) .若奇函數(shù)f (x) 定義域中含有0，則必有 f (0)0 .定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成 “一個(gè)奇函數(shù)F (x) 與一個(gè)偶函數(shù) G ( x) 的和（或差）” . 如設(shè) f (x) 是定義域?yàn)镽 的任一函數(shù)，f ( x)f ( x)， G( x)f ( x) f (x) .則 F ( x

11、)2“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外” .2復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)（f (x)0 ，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集）.9、函數(shù)的解析表達(dá)式（ 1）函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（ 2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，A、如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法；B、已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式時(shí)，可用換元法，這時(shí)要注意元的取值范圍；當(dāng)已知表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí)，也可用湊配法；C、若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)10函數(shù)最大（?。┲担ǘx見(jiàn)課本p

12、30 頁(yè)）（ 1） 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；（ 2） 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?；（ 3） 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間 a ，b 上單調(diào)遞增， 在區(qū)間 b ，c 上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在 x=b 處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 a ， b 上單調(diào)遞減，在區(qū)間b ， c 上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在 x=b 處有最小值f(b)；第二章基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（這部分初中接觸過(guò)，要注意分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算）（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)0a1圖像定義域 R ,值域（ 0， +）（ 1）過(guò)定點(diǎn)（

13、0， 1）, 即 x=0 時(shí)， y=1(2) 在 R上是減函數(shù)(2) 在 R上是增函數(shù)性質(zhì)（ 3）當(dāng) x0 時(shí) ,0y0 時(shí) ,y1;當(dāng) x1當(dāng) x0 時(shí) ,0y 0 ， a 1 1 ，M 0 ， N 0有：1、Mlog a Mlog a N2、 log aN3 、 log a M nn log a M（ nR）注意：換底公式log a blog c blg ba 0, a 1,c0, c1,b0log c alg a log a b1 log a b ?log b c ? log c dlog a d log am bnn log a blog b am（二）對(duì)數(shù)函數(shù)（概念）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與

14、性質(zhì)：對(duì)數(shù)函數(shù)y log a x(a0 ，且 a 1)0 a 1log （ M ? N ） logMaalog a Na 1yy圖像0(1,0)x0(1,0)x定義域：（ 0，）值域： R過(guò)點(diǎn) (1 ,0),即當(dāng) x 1 時(shí) ,y 0性在(0,+ ) 上是減函數(shù)在(0,+ ) 上是增函數(shù)質(zhì)當(dāng) x1 時(shí)， y1 時(shí)， y0當(dāng) x=1 時(shí)， y=0當(dāng) x=1 時(shí)， y=0當(dāng) 0x0當(dāng) 0x1 時(shí)， y0;a當(dāng) a,b 不同在 (0,1)內(nèi)，或不同在 (1,+ )內(nèi)時(shí) , 有 logb0 ；當(dāng) a,b在 1 的異側(cè)時(shí) , logb 0，值域求法用單調(diào)性。、分辨不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象利用1=log aa

15、 ，用 y=1 去截圖象得到對(duì)應(yīng)的底數(shù)。xa且 a 1) 互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x 對(duì)稱。、 y=a (a0 且 a 1) 與 y=logx(a0（三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如yx的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x 是自變量，為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（ 1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）；（ 2） 0 時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在0,+）上是增函數(shù)特別地，當(dāng)1 時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0 1 時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（ 3） 0 時(shí)，冪函數(shù)的圖象在（0， +）上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng) x 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)， 圖象在 y 軸右方無(wú)限地逼近 y 軸正半軸，當(dāng) x

16、趨于 +時(shí)，圖象在x 軸上方無(wú)限地逼近 x 軸正半軸3、比較大?。?(1)利用函數(shù)單調(diào)性 ( 同底數(shù) ) ； (2)利用中間值（如 :0,1. ）； (3)變形后比較；(4)作差比較第三章 函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn) 的概念：對(duì)于函數(shù)y=f(x),使 f(x)=0的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù)的零點(diǎn)。 （實(shí)質(zhì)上是函數(shù)y=f(x)與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：方程 f(x)=0有實(shí)數(shù)根 ? 函數(shù) y=f(x)的圖象與 x 軸有交點(diǎn) ?函數(shù) y=f(x)有零點(diǎn)3、零點(diǎn)定理 ：函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 a,b上的圖象是連續(xù)不斷的，并且有 f(a)f(b)0,那么函數(shù) y=f(x

17、)在區(qū)間（ a,b ）至少有一個(gè)零點(diǎn)c，使得 f( c)=0, 此時(shí) c 也是方程 f(x)=0的根。4、函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù) y=f(x) 的零點(diǎn)：（ 1） （代數(shù)法）求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根；（ 2） （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=f(x) 的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)5、二次函數(shù)的零點(diǎn)： 二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(a 0) 1） 0，方程 f(x)=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)2） 0，方程 f(x)=0有兩相等實(shí)根（二重根） ，二次函數(shù)的圖象與x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)3） 0，方程 f(x)=0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)二、二分法1、概念 ：對(duì)于在區(qū)間 a,b上連續(xù)不斷且 f(a)f(b)0的函數(shù) y=f(x),通過(guò)不斷地把函數(shù) f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二 , 使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn), 進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。2、用二分法求方程近似解的步驟:確定區(qū)間 a,b,驗(yàn)證 f(a)f(b)0，給定精確度；求區(qū)間 (a,b)計(jì)算 f(c),的中點(diǎn)c;(4)若 f(c)=0,