高三圓錐曲線知識點總結(jié)

1、第八章圓錐曲線專題復(fù)習(xí)一、橢圓方程 .1. 橢圓的第一定義：PF1PF22aF F2方程為橢圓 ,1PF1PF22aF F2無軌跡 ,1PF1PF 22aF1F2 以F1,F 2為端點的線段2橢圓的方程形式：橢圓的標準方程：i.中心在原點，焦點在x 軸上： x2y21(a b 0) . ii. 中心在原點，焦點在y 軸上：b2a2y2x21(a b 0) .a 2b 2 一 般 方 程 ： Ax 2By 2 1( A 0, B0) . 橢 圓 的 參 數(shù) 方 程 ： x 2y 21 的 參 數(shù) 方 程 為a 2b2 yxa cos （一象限應(yīng)是屬于 0） .( bcos , bsin )N x

2、( acos ,asin )yb sin2注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得N (a cos , b sin)3橢圓的性質(zhì)：頂點： ( a,0)(0, b) 或 ( 0, a)( b,0) .軸：對稱軸：焦 點 ： ( c,0)(c,0) 或 ( 0, c)(0, c) . 焦 距 ： F 1F 22acy.離心率：e(0e1) .焦半徑：ca方程的軌跡為橢圓.N 的軌跡是橢圓x 軸， y 軸；長軸長 2a ，短軸長 2b .2c, ca2 b 2 . 準 線 ： xa 2或ci. 設(shè) P( x0 ,y 0 ) 為橢圓 x2y 21(a b 0) 上的一點， F 1,F 2 為左、右焦點，則：a2b

3、 2PF 1 a ex0 , PF 2aex0a2 )(a2證明：由橢圓第二定義可知：pF(aex(x0),pFx)ex(0)e xcea x歸結(jié)起10002c000來為 “左加右減 ”.ii. 設(shè) P( x0 ,y 0 ) 為橢圓 x 2y 21(ab 0)上的一點， F 1,F 2 為上、下焦點，則：b2a 2PF1 a ey0 , PF 2aey0通徑：垂直于 x 軸且過焦點的弦叫做通徑：2b 2b 2b2da 2；坐標： ( c,a ),(c,a )4共離心率的橢圓系的方程：橢圓x 2y 21(ab 0) 的離心率是 ec (ca2b2 ) ，方a 2b2a程x2y 20 的參數(shù)， a

4、b0) 的離心率也是ca2t(t 是大于e我們稱此方程為共離心率的b 2a橢圓系方程 .5若 P 是橢圓： x 2y21 上的點 . F,F2為焦點，若FPF2，則 PF F2的面積為a 2b 2111b 2 tan（用余弦定理與PF 1PF 22a 可得） . 若是雙曲線，則面積為b2cot2 .2二、雙曲線方程 .1. 雙曲線的第一定義：PF 1PF 22aF 1F 2方程為雙曲線PF 1PF 22aF 1F 2無軌跡PF 1PF 22aF 1F 2 以 F 1 ,F 2的一個端點的一條射線2雙曲線的方程： 雙 曲 線 標 準 方 程 ：x 2y21(a, b 0),y 2x21(a, b

5、 0) .一 般 方 程 ：a 2b2a 2b 2Ax 2Cy 21( AC0) .3雙曲線的性質(zhì)：i. 焦點在 x 軸上：頂點： (a,0), (a,0)焦點： (c,0), (c,0)a2準線方程 x漸近線c方程： xy0 或 x 2y 20 ii. 焦點在 y 軸上：頂點： (0, a), (0, a) .焦點： (0, c), (0, c) . 準aba 2b 2a2yx0 或 y2x2xa sec線方程：y.漸近線方程：0，參數(shù)方程：或caba 2b 2yb tanxb tan.ya sec軸 x, y 為對稱軸， 實軸長為 2a, 虛軸長為2b，焦距 2c.離心率 ec .準線距

6、2a 2ac（兩準線的距離） ；通徑 2b 2.參數(shù)關(guān)系 c2 a 2b 2 , ec .焦半徑公式：對于雙曲線aa方程 x 2y 21（ F1,F 2 分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）a 2b 2“長加短減”原則：MF 1ex0 aMF 22aM F 1ex0aMF 2構(gòu)成滿足 MF 1M F 2（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半ex0 aex0 a徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）yyMF 1ey0 aMMF 1MF 2 ey0aMxxF 1F2M F 1ey0aM F 2ey0aMF 24 等軸雙曲線：雙曲線 x 2 y 2a 2 稱為等軸雙曲線， 其漸近線方程為 yx ，離

7、心率 e2 .5共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛 雙 曲 線 . x 2y 2與 x 2y2互 為 共 軛 雙 曲 線 ， 它 們 具 有 共 同 的 漸 近 線 ：a 2b 2a 2b 2x2y 20 .a2b 26共漸近線的雙曲線系方程：x2y 2(0)的漸近線方程為x 2y 2a 2b 2a0 如果雙曲線的2b 2漸近線為 xyx2y2(0) .0 時，它的雙曲線方程可設(shè)為b 2aba2例如：若雙曲線一條漸近線為y1 x 且過 p(3,1 ) ，求雙曲線的方程？y22x2y 21 ) 得 x2y2432解：令雙曲線的方程為：(0) ，代入 (

8、3,1.428217直線與雙曲線的位置關(guān)系：5 3xF1F2區(qū)域：無切線， 2 條與漸近線平行的直線，合計2 條；區(qū)域：即定點在雙曲線上，1 條切線， 2 條與漸近線平行的直線，合計3 條；3區(qū)域： 2 條切線， 2 條與漸近線平行的直線，合計4 條；區(qū)域：即定點在漸近線上且非原點，1 條切線， 1 條與漸近線平行的直線，合計2 條；區(qū)域：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.注意：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、 2、3、4 條 .若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時， 求確定直線的斜率可用代入法與“ ”漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.若 P 在雙曲

9、線 x 2y 21 ，則常用結(jié)論1：P 到焦點的距離為m 與 n，則 P 到兩準a 2b2PF 1線的距離比為m n. 簡證：d 1emd 2=.PF 2ne：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.三、拋物線方程 .設(shè) p0 ，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì)：y 2 2 pxy 2 2 pxx 2 2 pyx 2 2 py圖形 yyy yxxxxOOOO焦點F (pF (pF (0,pF (0,p,0),0)2222準線xpxpypyp2222范圍x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0對稱軸x 軸y 軸頂點（0， 0）離心率e 1焦點PFpPFpPFpPFp

10、x1x1y1y12222注意： ay 2by cx 頂點 ( 4acb 2b ) .4a2a y22 px ( p0) 則焦點半徑 PFxP ;x 22py( p 0) 則焦點半徑為 PF yP .22通徑為 2p，這是過焦點的所有弦中最短的.x2pt2x2 pt y22px （或 x 22 py ）的參數(shù)方程為（或）（ t 為參數(shù)） .y2 pt 2y2pt關(guān)于拋物線焦點弦的幾個結(jié)論：設(shè)AB為過拋物線 y2=2px (p0 )焦點的弦， A(x 1， y1) 、B (x 2 ,y 2 ) , 直線 AB的傾斜角為，則：p22; |AB|=2 p；x 1x2=， y 1y2= psin24以

11、AB 為直徑的圓與準線相切；焦點F 對 A、 B 在準線上射影的張角為900 ；112| FA | FB |.P四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義.1. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點F 和定直線 l 的距離之比為常數(shù) e 的點的軌跡 .當(dāng) 0 e 1 時，軌跡為橢圓；當(dāng) e 1 時，軌跡為拋物線；當(dāng) e 1 時，軌跡為雙曲線；當(dāng) e0 時，軌跡為圓（ ec ，當(dāng) c0, a b 時） .a2. 圓錐曲線方程具有對稱性 . 例如：橢圓的標準方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關(guān)于原點對稱的 .因為具有對稱性，所以欲證AB=CD,即證 AD 與 BC 的中點重合即可.3.當(dāng)橢圓的焦點位置不明確，而無法確定

12、其標準方程時，可設(shè)方程為x2y2m=1 （ m0，nn0 且 mn），這樣可以避免討論和繁雜的運算，橢圓與雙曲線的標準方程均可用簡單形式22且 m n ；若mx +ny =1（ mn 0）來表示， 所不同的是： 若方程表示橢圓， 則要求 m0，n0方程表示雙曲線，則要求mn0，利用待定系數(shù)法求標準方程時，應(yīng)注意此方法的合理使用，以避免討論。4. 雙曲線是具有漸近線的曲線，復(fù)習(xí)中要注意以下兩個問題：x2y21中的常（1）已知雙曲線方程，求它的漸近線方程，將雙曲線的標準方程2b2a數(shù)“ 1”換成“ 0”，即得x2y2xya2b2 =0，然后分解因式即可得到其漸近線方程a=0；若b求中心不在原點，對

13、稱軸平行于坐標軸的雙曲線的漸近線方程，只需將雙曲線方程x， y 分別配方，然后將常數(shù)“1”換成“ 0 ”，再分解因式，則可得漸近線方程，例如雙曲線( x 2)2y2(x 2)2y22 =1 的漸近線方程為32 =0，即 y 3（ x+2），因此，如果雙曲線的方3程已經(jīng)確定，那么它的漸近線方程也就確定了。（2）求已知漸近線的雙曲線方程，已知漸近線方程為axby =0 時，可設(shè)雙曲線方程為a2 x2b2 y2(0) ，再利用其他條件確定的值，求法的實質(zhì)是待定系數(shù)法，如果已知雙曲線的漸近線，雙曲線方程卻不是惟一確定的。5、在建立拋物線的標準方程的坐標系時，以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為一條坐標軸

14、建立坐標系，這樣不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數(shù)項，形式更為簡單，便于應(yīng)用。五直線和圓錐曲線的位置關(guān)系: 相交，相切，相離。1直線與圓錐曲線C 位置關(guān)系的判斷:判斷直線與圓錐曲線C 的位置關(guān)系時， 將直線的方程代入曲線C 的方程， 消去 y（也可消去 x）得一個關(guān)于變量x（或 y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。當(dāng) a 0 時，若 0，則與 C 相交；若 =0，則 與 C相切；若 0，則有 與 C 相離。當(dāng) a=0 時，即得到一個一次方程，若方程有解，則直線與 C 相交，此時只有一個公共點若 C為雙曲線，則 平行于雙曲線的漸近線；若 C為拋物線，則 平行于拋物線的對稱軸。注意：

15、 當(dāng)直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時，直線和雙曲線、拋物線可能相切，也可能相交。2直線被圓錐曲線截得的弦長公式：斜率為 k 的直線被圓錐曲線截得弦AB，設(shè)，則弦長公式：當(dāng)時 ,弦長公式還可以寫成：注意： 利用這個公式求弦長時，應(yīng)注意應(yīng)用韋達定理。六 . 求曲線的方程 .1坐標法的定義：在直角坐標系中，用坐標表示點， 把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的坐標（x， y）所滿足的方程表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì) . 這就是坐標法 .2坐標法求曲線方程的步驟：建系設(shè)點點滿足的幾何條件坐標化整理化簡成最簡形式證明刪去增加的或者補上丟失的解）（可省略， 但必須3

16、求軌跡方程的常用方法：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法等。七 . 規(guī)律方法指導(dǎo) .1三種圓錐曲線定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì)的對比:橢圓雙曲線拋物線1到兩定點F1、 F2 的距離之和1到兩定點F1、 F2 的距離之差定義為定值軌跡2a（2a |F 1F2| ）的點的的絕對值的為定值|F 1F2| ）的點的軌跡2a（0 2a2與定點和定直線的距離之比 2與定點和定直線的距離之比為定值 e 的點的軌跡（ 0 e 1）為定值 e 的點的軌跡（ e 1）與定點和定直線的距離相等的點的軌跡圖形標準方方程程參數(shù)（參數(shù)為離心方（參數(shù)為離心角）（ t 為參數(shù)）程角）范圍，中心原點 O（0， 0）原點 O（ 0，

17、 0）頂點（ a， 0）（ a，0），（ a， 0），（ a， 0）（ 0， 0）（ 0， b），（0， b）對稱軸x 軸， y 軸；長軸長 2a，短軸長2bx 軸， y實軸長軸；2a，虛軸長2bx 軸焦點F1（ c， 0）， F2（ c， 0）F1（ c， 0）， F2（ c， 0）焦距離心率e=1準線漸近線2有關(guān)圓錐曲線綜合題類型:(1) 求圓錐曲線方程一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟：定形指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置， 如果位置不確定時， 考慮是否多解。此時注意數(shù)形結(jié)合， 在圖形上標出已知條件， 檢查軸上的點、 垂直于軸的直線的位置是否準

18、確等。定式根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設(shè)方程為22mx+ny =1( m0, n 0)定量由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系， 通過解方程得到量的大小。此處注意 n 個未知數(shù)，列夠n 個獨立的方程，并注意“點在線上”條件及韋達定理的使用。注意： 求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查學(xué)生識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求同學(xué)們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外， 命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定

19、義法和待定系數(shù)法(2) 求取值范圍或最值函數(shù)方法 -將待求范圍參數(shù)表示為另一個變量的函數(shù)，注意求函數(shù)的定義域。方程與不等式組-n個未知數(shù)，列夠n 個獨立方程或不等式，注意歸納總結(jié)列不等式的方法：利用幾何性質(zhì)求參數(shù)范圍；利用不等式性質(zhì)( 結(jié)合幾何性質(zhì) ) 求參數(shù)范同3解析幾何問題中，解決運算問題的幾點措施：解析幾何圖形結(jié)構(gòu)、 問題結(jié)構(gòu)多，且易于發(fā)散，一旦形成為圖形或知識點的綜合， 往往最具運算量、最為繁難復(fù)雜因此， 有時即便是明確了解法甚至較細的步驟，解題過程當(dāng)中也常常被卡住，算不到底、算不出正確結(jié)果也是常有的事。因此，如何解決運算量問題，對于解題成功與否至關(guān)重要解決運算問題，可以有以下措施：(1) 不斷提高運算和恒等變形能力。注意培養(yǎng)觀察問題、分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的能力，避免 思維定勢，提高思維靈活性；具體審題中多收集些信息，綜觀全局，權(quán)衡