2019高中數(shù)學(xué) 第三章 圓錐曲線與方程 橢圓方程及性質(zhì)的綜合應(yīng)用（習(xí)題課）課件 北師大版選修2-1

1、習(xí)題課習(xí)題課橢圓方程及性質(zhì)的綜合應(yīng)用橢圓方程及性質(zhì)的綜合應(yīng)用 一二 一、焦點(diǎn)三角形問題 3.求解焦點(diǎn)三角形問題時(shí),通常要利用橢圓的定義并結(jié)合正弦定 理、余弦定理等知識(shí)進(jìn)行求解. 一二 二、直線與橢圓的位置關(guān)系 1.直線與橢圓一共有三種位置關(guān)系:相交、相切、相離. 2.判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法:將直線方程ax+by+c=0與橢 圓方程 (ab0)聯(lián)立,消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二 次方程,記該方程的判別式為.那么:若0,則直線與橢圓相交;若 =0,則直線與橢圓相切;若|F1F2|,點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓, 這里c=1,a=2,故軌跡方程為 =1. 答案:C 一二

2、【做一做3】 直線y=3x-1與橢圓 =1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( ) A.0B.1 C.2D.無數(shù)個(gè) 得11x2-6x-7=0,所以0,故直線與橢圓相交,有2個(gè)公共點(diǎn). 答案:C 一二 【做一做4】 已知斜率為1的直線l過橢圓 +y2=1的右焦點(diǎn),交 橢圓于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長度等于. 探究一探究二思想方法 與橢圓有關(guān)的軌跡問題與橢圓有關(guān)的軌跡問題 【例1】 已知兩圓C1:(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169,動(dòng)圓P與C1 外切,與C2內(nèi)切,求圓心P的軌跡. 思維點(diǎn)撥:根據(jù)動(dòng)圓與圓C1,C2的位置關(guān)系,得到動(dòng)圓圓心P滿足的 條件,即P與圓C1,C2的圓心的距離的和等于常數(shù),

3、從而結(jié)合橢圓的定 義得出軌跡為橢圓,進(jìn)而求出軌跡方程. 探究一探究二思想方法 解:由條件,兩圓半徑分別是3和13, 消去r,得|PC1|+|PC2|=16, 即點(diǎn)P到兩定點(diǎn)C1,C2的距離之和為定值16. 又16|C1C2|=8, 所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓. 探究一探究二思想方法 反思感悟解決軌跡問題時(shí),如果在題目的條件中,出現(xiàn)了定點(diǎn) (m,0),(-m,0)或(0,m),(0,-m)(當(dāng)然也可以是某定圓的圓心)時(shí),就要重 點(diǎn)考察動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件,特別是考察動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和 是否是一個(gè)定值,如果是一個(gè)定值,并且這個(gè)定值大于兩個(gè)定點(diǎn)之 間的距離,那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是橢圓(或橢圓的一部分). 探

4、究一探究二思想方法 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1設(shè)A(-2,0),B(2,0),ABC的周長為10,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方 程為. 解析:由ABC的周長為10,|AB|=4知,|CB|+|CA|=6|AB|=4. 根據(jù)橢圓的定義知,頂點(diǎn)C是在以A,B為焦點(diǎn)的橢圓上,且 2a=6,c=2, 所以b2=a2-c2=5. 又因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)構(gòu)成三角形, 所以點(diǎn)C不能在x軸上, 探究一探究二思想方法 直線與橢圓的位置關(guān)系問題直線與橢圓的位置關(guān)系問題 【例2】 已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m. (1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程. 思維點(diǎn)撥:(1)將

5、直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)判別式的符號(hào),建 立關(guān)于m的不等式求解;(2)利用弦長公式建立關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式, 通過函數(shù)的最值求得m的值,從而得到直線方程. 探究一探究二思想方法 (2)設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2). 由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0. 當(dāng)m=0時(shí),d最大,此時(shí)直線方程為y=x. 探究一探究二思想方法 反思感悟解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題,一般采用代數(shù)法,即 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,通過判別式的符號(hào)決定位置關(guān)系.同 時(shí)涉及弦長問題時(shí),往往采用設(shè)而不求的辦法,即設(shè)出弦端點(diǎn)的坐 標(biāo),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合弦長公式進(jìn)行求解. 探究一探究

6、二思想方法 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1(-2 ,0),F2(2 ,0),長軸 長為6,設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A,B兩點(diǎn). (1)求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo); (2)求OAB的面積. 因?yàn)樵撘辉畏匠痰?,所以點(diǎn)A,B不同, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 探究一探究二思想方法 探究一探究二思想方法 函數(shù)與方程思想橢圓中的最值問題 【典例】 如圖,點(diǎn)A,B分別是橢圓 =1長軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F 是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且位于x軸上方,PAPF. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo); (2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn),M到直線AP的距離等于|MB|,求橢 圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的

7、最小值. 分析:(1)設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo),然后根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上以及PAPF,建立方 程組求解;(2)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,將橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d 表示為點(diǎn)的坐標(biāo)的函數(shù),借助函數(shù)方法求得最值. 探究一探究二思想方法 解:(1)由已知可得A(-6,0),F(4,0),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y), 探究一探究二思想方法 又-6m6,解得m=2. 設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)M的距離為d, 探究一探究二思想方法 方法點(diǎn)睛與橢圓有關(guān)的最值問題均具有較強(qiáng)的綜合性,涉及數(shù)學(xué) 知識(shí)的多種知識(shí)點(diǎn),如幾何、三角、函數(shù)等,亦與橢圓的定義、方 程緊密聯(lián)系,解決此類問題可利用函數(shù)最值的探求方法,將其轉(zhuǎn)化 為函數(shù)的最值問題來處

8、理,另外應(yīng)充分注意橢圓中x,y的范圍,?？?化為閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值來求解. 探究一探究二思想方法 (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; 探究一探究二思想方法 1 2 3 4 5 答案:C 1 2 3 4 5 答案:B 1 2 3 4 5 3.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓 +y2=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上 的任意一點(diǎn),則|OP|2+|PF|2的最小值為() A.1B.2C.3D.4 解析:依題意可得F(-1,0),設(shè)P(x,y), 則|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2. 因?yàn)?+y2=1, 所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2, 故當(dāng)x=-1時(shí),|OP|2+|PF|2的最小值等于2. 答案:B 1 2 3 4 5 的內(nèi)切圓周長為,A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則|y1-y2|的值 為. 1 2 3 4 5 (1)求E的方程; (2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P