概率論與數(shù)理分析：1-2節(jié) 隨機(jī)事件的概率（2）

1、一、等可能概型一、等可能概型 二、典型例題二、典型例題 三、幾何概率三、幾何概率 四、小結(jié)四、小結(jié) 第二節(jié)（續(xù)）第二節(jié)（續(xù)） 等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) ) . . )2( ; )1( 古古典典概概型型 驗(yàn)驗(yàn)稱稱為為等等可可能能概概型型或或具具有有以以上上兩兩個(gè)個(gè)特特點(diǎn)點(diǎn)的的試試 生生的的可可能能性性相相同同試試驗(yàn)驗(yàn)中中每每個(gè)個(gè)基基本本事事件件發(fā)發(fā) 有有限限個(gè)個(gè)元元素素試試驗(yàn)驗(yàn)的的樣樣本本空空間間只只包包含含 1. 定義定義 一、等可能概型一、等可能概型( (古典概型古典概型) ) 1812年，由法國數(shù)學(xué)家年，由法國數(shù)學(xué)家Laplace最早提出。最早提出。 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn) E

2、的樣本空間由的樣本空間由n 個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成， A 為為 E 的任意一個(gè)事件的任意一個(gè)事件，且包含且包含 m 個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn)，則事則事 件件 A 出現(xiàn)的概率記為出現(xiàn)的概率記為: 2. 古典概型中事件概率的計(jì)算公式古典概型中事件概率的計(jì)算公式 .)( 樣本點(diǎn)總數(shù)樣本點(diǎn)總數(shù) 所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)A n m AP 稱此為稱此為概率的古典定義概率的古典定義. 解解 .,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH 則則 ., 1 TTHTHTHTTA 而而.83)( 1 AP得得 .,)2( 2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA .87)( 2 AP因此因此

3、).(, )2().(, )1( . 2 21 1 AP AAP A 求求次次出出現(xiàn)現(xiàn)正正面面” “至至少少有有一一為為設(shè)設(shè)事事件件求求”次次出出現(xiàn)現(xiàn)正正面面 為為“恰恰有有一一設(shè)設(shè)事事件件將將一一枚枚硬硬幣幣拋拋擲擲三三次次 ., )1(為出現(xiàn)反面為出現(xiàn)反面為出現(xiàn)正面為出現(xiàn)正面設(shè)設(shè)TH 二、典型例題二、典型例題 1例例 例例2 將一顆勻稱的骰子拋擲兩次，將一顆勻稱的骰子拋擲兩次，(1)求兩次出現(xiàn)求兩次出現(xiàn) 的點(diǎn)的點(diǎn) 數(shù)之和等于數(shù)之和等于8的概率；的概率； (2)求兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同的概率求兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同的概率 解 用用 表示事件表示事件“第一次出現(xiàn)第一次出現(xiàn) 點(diǎn)，第二次出現(xiàn)點(diǎn)，第二次出現(xiàn)

4、 點(diǎn)點(diǎn)” 則該試驗(yàn)的基本空間為則該試驗(yàn)的基本空間為 ),(ji ij )6, 2, 1,(ji 6, 2, 1,| ),(jiji 共有共有 個(gè)基本事件個(gè)基本事件 設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于8”，B表表 示事件示事件“兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同”，則，則 36n A A5 A n =(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)， 事件事件 包含有包含有 =6 個(gè)基本事件個(gè)基本事件 (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)， 所以所以 B B n B 36 5 )( n n AP A

5、 6 1 36 6 )( n n BP B 例例3 設(shè)某城市共有設(shè)某城市共有 輛汽車，車牌號(hào)碼從輛汽車，車牌號(hào)碼從1到到 ， 有一個(gè)人將他所遇到的該城市的有一個(gè)人將他所遇到的該城市的 輛汽車的車牌號(hào)碼輛汽車的車牌號(hào)碼 (可能有重復(fù)的號(hào)碼可能有重復(fù)的號(hào)碼)全部抄下來，假設(shè)每輛汽車被遇到全部抄下來，假設(shè)每輛汽車被遇到 的機(jī)會(huì)相同，求抄到的最大號(hào)碼恰好為的機(jī)會(huì)相同，求抄到的最大號(hào)碼恰好為 (1 ) 的概率的概率 N N n k kN 解解 這種抄法可以看作是從這種抄法可以看作是從 個(gè)不同的號(hào)碼中允許重個(gè)不同的號(hào)碼中允許重 復(fù)地抽取復(fù)地抽取 個(gè)號(hào)碼的排列，共有個(gè)號(hào)碼的排列，共有 種可能的取法，這是種可

6、能的取法，這是 基本事件的總數(shù)基本事件的總數(shù) N 因?yàn)樽畲筌嚺铺?hào)碼不大于因?yàn)樽畲筌嚺铺?hào)碼不大于 的取法共有的取法共有 種，而最種，而最 大車牌號(hào)碼不大于大車牌號(hào)碼不大于 的取法共有的取法共有 種，因種，因 此最大車牌號(hào)碼正好是此最大車牌號(hào)碼正好是 的取法共有的取法共有 種種 k 1k n k) 1( k nn kk)1( n n k n N 設(shè)設(shè) 表示事件表示事件“抄到的最大車牌號(hào)碼正好抄到的最大車牌號(hào)碼正好 為為 ”，則有，則有 A k n nn N kk AP )1( )( 例例4 4 將將 15 名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級中名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級中 去去,這這15名新生中有名

7、新生中有3名是優(yōu)秀生名是優(yōu)秀生.問問 (1) 每一個(gè)班每一個(gè)班 級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少? (2) 3 名優(yōu)名優(yōu) 秀生分配在同一個(gè)班級的概率是多少秀生分配在同一個(gè)班級的概率是多少? 解解: 15名新生平均分配到三個(gè)班級中的分法總數(shù)名新生平均分配到三個(gè)班級中的分法總數(shù): 5 5 5 10 5 15 . ! 5! 5! 5 !15 (1) 每一個(gè)班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有每一個(gè)班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有 .) ! 4! 4! 4() !12! 3(種種 因此所求概率為因此所求概率為 ! 5! 5! 5 !15 ! 4! 4! 4 !12! 3 1

8、 p. 91 25 (2)將將3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級的分法共有名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級的分法共有3種種, 對于每一種分法對于每一種分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有. ! 5! 5! 2 !12 種種 因此因此3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級的分法共有名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級的分法共有 ,) ! 5! 5! 2() !123(種種 因此所求概率為因此所求概率為 ! 5! 5! 5 !15 ! 5! 5! 2 !123 2 p. 91 6 例例 5 5（分房問題）（分房問題） 有有 n 個(gè)人，每個(gè)人都以同樣的個(gè)人，每個(gè)人都以同樣的 概率概率 1/N 被分配在被分配在 間房中的每一間中，

9、試間房中的每一間中，試 求下列各事件的概率：求下列各事件的概率： )(NnN n(1)(1)某指定某指定 間房中各有一人間房中各有一人 ; n (2)(2)恰有恰有 間房，其中各有一人；間房，其中各有一人； (3) (3) 某指定一間房中恰有某指定一間房中恰有 人。人。 )(nmm n N 解解: 先求樣本空間中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。首先，把先求樣本空間中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。首先，把 n 個(gè)人分到個(gè)人分到N間房中去共有間房中去共有 種分法，其次，求每種情種分法，其次，求每種情 形下事件所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。形下事件所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。 (2)(2)恰有恰有n n間房中各有一人，所有可能的分法間房中各有一人

10、，所有可能的分法 為為 !nC n N (1)(1)某指定某指定n n間房中各有一人，所含樣本點(diǎn)的個(gè)間房中各有一人，所含樣本點(diǎn)的個(gè) 數(shù)，即可能的的分法為數(shù)，即可能的的分法為 !n (3)(3)某指定一間房中恰有某指定一間房中恰有m m人，可能的分法為人，可能的分法為 .)1( mnm n NC 進(jìn)而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為進(jìn)而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為 : n Nn!（1） （2） nn N NnC! （3） .)1( nmnm n NNC 上述分房問題中，若令上述分房問題中，若令 則可演化為則可演化為 生日問題生日問題. .全班學(xué)生全班學(xué)生30人，人， 23

11、0,365, mnN (1) (1) 某指定某指定30天，每位學(xué)生生日各占一天的概率；天，每位學(xué)生生日各占一天的概率； (2) (2) 全班學(xué)生生日各不相同的概率；全班學(xué)生生日各不相同的概率； (3) (3) 全年某天，恰有二人在這一天同生日的概率。全年某天，恰有二人在這一天同生日的概率。 利用上述結(jié)論可得到概率分別為利用上述結(jié)論可得到概率分別為 : 由（由（2）立刻得出，全班）立刻得出，全班30人至少有人至少有2 人人 生日相同的概率等于生日相同的概率等于1 10.294=0.706, 0.294=0.706, 這個(gè)值這個(gè)值 大于大于70%。 （1）;365!30 30 （2）;294. 0

12、365/ !30 3030 365 C 302 30 (365) 28 )364(C （3） 例例6 某接待站在某一周曾接待過某接待站在某一周曾接待過 12次來訪次來訪,已知已知 所有這所有這 12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問是問是 否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的. 假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有 規(guī)定規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天且各來訪者在一周的任一天 中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的. 解解 .712種種 周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日 123412 77777 故一周內(nèi)接待故

13、一周內(nèi)接待 12 次來訪共有次來訪共有 .212種種 12 12 7 2 p.3000000.0 小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的 , 從從 而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的. 周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四 123412 22222 12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有 故故12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為 若若P(A) 0.01 , 則稱則稱A為小概率事件為小概率事件. 小概率事件小概率事件 一次試驗(yàn)中小概率事件一般是

14、不一次試驗(yàn)中小概率事件一般是不 會(huì)發(fā)生的會(huì)發(fā)生的. 若在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了若在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了, 則可懷疑該事件并非小概率事件則可懷疑該事件并非小概率事件. 小概率原理小概率原理 ( 即實(shí)際推斷原理即實(shí)際推斷原理 ) 對有的問題，直接求解可能非常繁瑣，對有的問題，直接求解可能非常繁瑣， 若能求出逆事件的概率，再利用概率的若能求出逆事件的概率，再利用概率的 有關(guān)性質(zhì)來計(jì)算就會(huì)容易得多。有關(guān)性質(zhì)來計(jì)算就會(huì)容易得多。 例例7 在在12000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問取到問取到 的整數(shù)既不能被的整數(shù)既不能被6整除整除, 又不能被又不能被8整除的概率是整除的概率是 多少多少

15、? 設(shè)設(shè) A 為事件為事件“取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被6整除整除”, B為事為事 件件 “取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被8整除整除”，則所求概率為，則所求概率為 ).(BAP )()(BAPBAP )(1BAP ).()()(1ABPBPAP 解：解： ,334 6 2000 333 因因?yàn)闉? 2000 333 )( AP所所以以 ,84 24 2000 83 由于由于 . 2000 83 )( ABP得得 于是所于是所求求概率為概率為 )(BAP 2000 83 2000 250 2000 333 1 )()()(1ABPBPAP . 4 3 . 2000 250 )( BP故得故得,250 8

16、2000 由于由于 2121 AAAAA 解解 n n9 設(shè)設(shè) A 表示事件表示事件 “n 次取到的數(shù)字的乘積次取到的數(shù)字的乘積 能被能被10整除整除” 設(shè)設(shè) A1 表示事件表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有偶次取到的數(shù)字中有偶 數(shù)數(shù)” A2表示事件表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有次取到的數(shù)字中有5” A = A1 A2 例例8 8 在在1,2,3, , 9中重復(fù)地任取中重復(fù)地任取 n ( )個(gè)數(shù)個(gè)數(shù), 求求 n 個(gè)數(shù)字的乘積能被個(gè)數(shù)字的乘積能被10整除的概率整除的概率. 2 (習(xí)題課教程習(xí)題課教程P8例例11） n n AP 9 5 1 n n AP 9 8 2 n n AAP 9 4 21

17、n nnn AAPAPAP AAPAP 9 485 2121 21 . 9 485 1 n nnn AP 早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到， 只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不 夠的夠的. 把等可能推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)場合把等可能推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)場合,人們?nèi)藗?引入了引入了幾何概型幾何概型. 由此形成了確定概率的另由此形成了確定概率的另 一方法一方法幾何方法幾何方法. 定義定義 當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域，并且并且 任意一點(diǎn)落在度量任意一點(diǎn)落在度量 (長度長度、 面積面積、體積體積)

18、相同的相同的 子區(qū)域是等可能的子區(qū)域是等可能的，則事件則事件 A 的概率可定義為的概率可定義為 .)( S S AP A 說明說明 當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí)當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí), 就歸結(jié)為幾何概型就歸結(jié)為幾何概型. 三、幾何概型三、幾何概型 . .) ,( 幾幾何何概概型型定定的的概概率率稱稱為為 量量來來合合理理規(guī)規(guī)這這樣樣借借助助于于幾幾何何上上的的度度區(qū)區(qū)域域的的度度量量 的的子子是是構(gòu)構(gòu)成成事事件件是是樣樣本本空空間間的的度度量量其其中中ASS A 那么那么.0,0TyTx 兩人會(huì)面的充要條件為兩人會(huì)面的充要條件為, tyx 例例9 甲、乙兩人相約在甲、乙兩

19、人相約在 0 到到 T 這段時(shí)間內(nèi)這段時(shí)間內(nèi), 在預(yù)在預(yù) 定地點(diǎn)會(huì)面定地點(diǎn)會(huì)面. 先到的人等候另一個(gè)人先到的人等候另一個(gè)人, 經(jīng)過時(shí)間經(jīng)過時(shí)間 t ( t0)的一些平行直的一些平行直 線線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b( ba )的針的針,試求試求 針與某一平行直線相交的概率針與某一平行直線相交的概率. 解解 , , 直線的距離直線的距離 到最近的一條平行到最近的一條平行針的中點(diǎn)針的中點(diǎn) 表示針投到平面上時(shí)表示針投到平面上時(shí)以以 M x a x M .夾角夾角表示針與該平行直線的表示針與該平行直線的 .),(完全確定完全確定置可由置可由那么針落在平面上的位那么針落在平

20、面上的位 x （教材（教材P17例例2.12） a x M 矩形區(qū)域矩形區(qū)域 果與果與投針試驗(yàn)的所有可能結(jié)投針試驗(yàn)的所有可能結(jié) 0 , 2 0),( a xx .中的所有點(diǎn)一一對應(yīng)中的所有點(diǎn)一一對應(yīng) 由投擲的任意性可知由投擲的任意性可知, 這是一個(gè)幾何概型問題這是一個(gè)幾何概型問題. 中中的的點(diǎn)點(diǎn)滿滿足足發(fā)發(fā)生生的的充充分分必必要要條條件件為為 針針與與某某一一平平行行直直線線相相交交 所所關(guān)關(guān)心心的的事事件件 A .0,sin 2 0 b x o 的面積的面積 的面積的面積 G AP)( 2 dsin 2 0 a b . 2 2 a b a b o 蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義 2