從變換的角度賞析“兩角差的余弦公式”之推導(dǎo)

1、從變換的角度賞析“兩角差的余弦公式”之推導(dǎo) 近期觀看了科幻大片星際穿越 ，影片中出現(xiàn)了蟲(chóng) 洞、黑洞、第五維空間等一些星際概念，讓人感覺(jué)宇宙中充 滿(mǎn)了奇妙的變換 .宇宙的研究當(dāng)然離不開(kāi)數(shù)學(xué)， 數(shù)學(xué)是一切自 然科學(xué)之王，而數(shù)學(xué)中也充滿(mǎn)了各種奇妙的、令人著迷的變 換.三角變換就是其中之一，有些人認(rèn)為三角學(xué)是古老的數(shù) 學(xué)，應(yīng)該弱化 .但從現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材來(lái)看， 仍是對(duì)三角學(xué)比 較重視，確實(shí)三角學(xué)屬于經(jīng)典數(shù)學(xué)中的知識(shí)，之所以經(jīng)典有 其原因所在，三角學(xué)中的各種變換蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想， 是開(kāi)啟學(xué)生數(shù)學(xué)智慧之門(mén)，引起學(xué)生數(shù)學(xué)探究欲望的良好素 材. 數(shù)學(xué)變換方法有著深刻的哲學(xué)思想基礎(chǔ)，這是因?yàn)檗q證 法告訴我們

2、：任何事物都不是孤立、靜止和一成不變的，而 是在不斷地發(fā)展變化 1. 由于數(shù)學(xué)變換方法充分體現(xiàn)了聯(lián)系、 運(yùn)動(dòng)、轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，它對(duì)數(shù)學(xué)教育研究必然是有啟發(fā)性的 . 下面以“兩角差的余弦公式”推導(dǎo)為例，從變換的視角賞析 其生成方式 . 1 公式推導(dǎo)前奏兩銳角差的余弦公式 從學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的角度出發(fā)，從特殊到一般是比較符合 學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的 .所以一般可以考慮從兩銳角差的余弦著手， 比如 cos（45-30） =？有各種變換方法可以求出此三角 函數(shù)值. 1.1 數(shù)學(xué)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)中的變換 明代學(xué)者與軍事家王守仁說(shuō)： “知是行之始，行是知之 成.”而陶行知老先生說(shuō)： “行是知之始，知是行之成 .”“墨 辯”提出三

3、種知識(shí)：親知、聞知、說(shuō)知.親知是親身得來(lái)的， 就是從“行”中得來(lái)的，聞知是從旁人那兒得來(lái)的，或由師 友口傳，或由書(shū)本傳達(dá) .說(shuō)知是推想出來(lái)的知識(shí) .陶老先生拿 “行是知之始” 來(lái)說(shuō)明知識(shí)之來(lái)源， 并不是否認(rèn)聞知和說(shuō)知， 乃是承認(rèn)親知為獲取一切知識(shí)之根本.聞知與說(shuō)知必須安根 于親知里面方能發(fā)生效力 .古今中外第一流的真知灼見(jiàn)無(wú)一 不是從“做”中得來(lái)，也就是說(shuō)“教學(xué)”要以“做”為主 . 浙江省高中數(shù)學(xué)特級(jí)教師馮寅老師也曾經(jīng)強(qiáng)調(diào) “動(dòng)手”與“動(dòng) 腦”圖 1 并重的觀點(diǎn) .我們可以嘗試讓學(xué)生在動(dòng)手操作數(shù)學(xué)實(shí) 驗(yàn)的過(guò)程中推導(dǎo)出兩銳角差的余弦公式 . （ 1）你能用這兩塊三角板（如圖 1）拼出哪些角度呢？

4、 （ 2）你能用它們拼出 15的角嗎？ （3）你能否利用所拼出的圖形（如圖2 或如圖 3）求出 cos15的值呢？ （4）若將上面的45。和30角分別改成銳角a和B, 那么會(huì)有怎樣的結(jié)論？cos （a - P） = ? 1.2 物理學(xué)做功中的變換 正如文首提及的影片星際穿越中諸多的數(shù)學(xué)變換， 物理學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)變換 .我們可以探尋高中學(xué)生熟 知的物理知識(shí)，挖掘其中“兩銳角差余弦公式”.下面以物理 學(xué)中“做功”為例嘗試讓學(xué)生挖掘出其中“兩銳角差余弦公 式”的模型 . 如圖 4 所示，一個(gè)坡度為 30的斜坡 .已知作用在物體 上的力F與水平方向之間的夾角為 45,且大小為10N ,在 力 F

5、 的作用下，物體沿斜坡運(yùn)動(dòng)了2m ，求力 F 作用在物體 上的功 W. 學(xué)生很快就分析出 W=10cos15 ?s=20cos( 45 -30) =？學(xué)生由此做功問(wèn)題提煉出圖5 所示的“兩銳角差余弦公 式”的模型，其中/ BCD=90 , / ABC=30 , / DBC=45 , AH丄BD.不妨設(shè) AC=1 ,則可以迅速求出 cos15 =6+24.將特 殊角替換成一般角便可以得到兩銳角差的余弦公式cos (a - B) =cos a cos p +sin a sin B .其間也涉及到一些學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò) 的三角變換，在推導(dǎo)新公式的同時(shí)，也是對(duì)之前三角變換知 識(shí)的回顧與應(yīng)用 .因此，這種推導(dǎo)

6、方式可以讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題 情境中提煉出兩銳角差的余弦公式的模型，感知數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái) 源于實(shí)際，運(yùn)用于實(shí)際，自然界萬(wàn)事萬(wàn)物中都蘊(yùn)含著豐富的 數(shù)學(xué)變換 . 1.3 三角起源弦圖中的變換 公元 3 世紀(jì)末，亞歷山大數(shù)學(xué)家帕普斯在數(shù)學(xué)匯編 中給出命題 2 ：如圖 6，設(shè) H 是以 AB 為直徑的半圓上的一 點(diǎn)，CE是半圓在點(diǎn) H處的切線(xiàn)，CH=HE.CD和EF為AB 的垂線(xiàn)， D、F 是垂足，則( CD+EF)?CE=AB?DF. 認(rèn)識(shí)“弦 圖”，從平面幾何中發(fā)現(xiàn)兩銳角差的余弦公式 . 可以為學(xué)生搭建腳手架：(1)如圖7所示，設(shè)/ HOF= a,Z COH= B,試用a、B表示/ EOF; (2)不妨設(shè)

7、OC=OE=1，試用線(xiàn)段(比)分別表示 sin a、cos a、sin B、 cos B以及 cos (a - B) ； (3)試探究 cos (a - B)與 sin a、 cos a、sin B、cos B的關(guān)系. 以上的推導(dǎo)過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是一種文化，在教學(xué)過(guò)程中 適當(dāng)?shù)娜谌霐?shù)學(xué)史知識(shí)，讓學(xué)生尋求數(shù)學(xué)進(jìn)步的歷史軌跡， 領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值， 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng) .三角學(xué)的歷 史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，起源于天文觀測(cè)和歷法推算，是幾何問(wèn)題代數(shù) 化的典例 .在教學(xué)過(guò)程中， 如果融入三角學(xué)的歷史知識(shí)， 引導(dǎo) 學(xué)生了解三角學(xué)的發(fā)生發(fā)展歷程，使學(xué)生在探究活動(dòng)中不僅 知其“源”，而且知其所原，則既能使教學(xué)充滿(mǎn)濃郁

8、的文化 氣息，又能隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而與時(shí)俱進(jìn) . 此外，古埃及天文學(xué)家托勒密利用兩角和、差的三角關(guān) 系繪制了現(xiàn)存最早的三角函數(shù)弦表，在天文學(xué)和測(cè)量計(jì)算中 有很重要的應(yīng)用 .制作弦表的原理如圖 8所示 .此原理與人教 A 版上的方法(如圖 9 所示)有異曲同工之妙 . 1.4 面積中隱含的變換 數(shù)學(xué)的魅力在于他能讓人驚嘆于數(shù)學(xué)的各種奇妙的變 換，一個(gè)普通的圖形當(dāng)中竟然也能蘊(yùn)藏著“兩銳角差的余弦 公式”，如圖 10 所示.通過(guò)簡(jiǎn)單的三角形等積就可以非常簡(jiǎn)單 的得到“兩銳角差的余弦公式” 3. 此種變換還有很多， 在此不一一舉例 .這是讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù) 學(xué)魅力的良好素材，新課程改革大力提倡選修課程的開(kāi)發(fā)與

9、開(kāi)設(shè)，而一線(xiàn)的很多數(shù)學(xué)教師卻苦于沒(méi)有好的素材，其實(shí)， 好的素材“遠(yuǎn)在天邊近在眼前” ，我們的教材中就蘊(yùn)含著豐 富的素材 .就以“兩角差的余弦公式”為例，我們可以將其推 導(dǎo)過(guò)程開(kāi)發(fā)成一堂或是一系列選修課程，作為必修課程的選 修化，既能拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，也能激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的 熱情 .也可以將這些素材開(kāi)發(fā)制作成微課， 通過(guò)翻轉(zhuǎn)課堂的形 式讓學(xué)生進(jìn)行自主探究或合作探究，撰寫(xiě)有關(guān)“兩銳角差的 余弦公式”的數(shù)學(xué)小論文，用足教材中的內(nèi)容，也迎合高考 “源于教材，高于教材”的精神.2角度范圍推廣一一 兩任意角差的余弦公式 在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的初始，學(xué)生首先遇到的問(wèn)題就是將初 中里的特殊角推廣到任意角，如何推廣

10、？那便是引進(jìn)直角坐 標(biāo)系 . 2.1 誘導(dǎo)公式的化角變換 筆者覺(jué)得在三角的教學(xué)中，有些教師往往忽視“誘導(dǎo)公 式”的強(qiáng)大功能，只是單純讓學(xué)生記住“奇變偶不變，符號(hào) 看象限”，會(huì)熟練的運(yùn)用誘導(dǎo)公式解題就可以了.殊不知蘊(yùn)含 于誘導(dǎo)公式中的數(shù)學(xué)本質(zhì)是“化角變換” ，將任意角通過(guò)誘 導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為02n之間的角，再進(jìn)一步將n 22n之間的 角轉(zhuǎn)化到0n 2之間的角，所以“兩任意角差的余弦”肯 定可以通過(guò)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為“兩銳角差的余弦” (軸線(xiàn)角可 以單獨(dú)驗(yàn)證) .因此，從誘導(dǎo)公式化角變換的角度來(lái)看，問(wèn)題 可以得到合理的解釋 . 2.2 旋轉(zhuǎn)中的變換 人教 A 版選修 42矩陣與變換介紹了旋轉(zhuǎn)變換 .如圖

11、11所示，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，作單位圓0,設(shè)a、B角的 始邊都為Ox、終邊分別圖11交圓于A、B.這時(shí)，得到兩點(diǎn) 間的坐標(biāo)分別為 A (cos a, sin a) , B (cosp, sin B).由兩 點(diǎn)間的距離公式，并整理得 |AB|2=2-2 (cos a cos p +sin a sin B).再以O(shè)B為橫軸，建立新的直角坐標(biāo)系x O y， 使其單位長(zhǎng)與原坐標(biāo)系相同 .在新坐標(biāo)系中兩點(diǎn)坐標(biāo)為 A(cos (a -B), sin(a -B), B(1, 0) .同樣,由兩點(diǎn)間的距離 公式，并整理得|AB|2=2-2cos (a -B ，由便可得兩 任意角差的余弦公式 4. 有心的老師

12、一定還記得人教社全日制普通高中教材中 也是運(yùn)用類(lèi)似的變換來(lái)推導(dǎo)“兩任意角差的余弦公式”的 . 只不過(guò)不是旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸,而是旋轉(zhuǎn)點(diǎn)(在此不累述,詳見(jiàn)人 教社全日制普通高中教材).旋轉(zhuǎn)變換是相對(duì)的, 數(shù)學(xué)中很多 問(wèn)題通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可以得到快速解決，比如可以用旋轉(zhuǎn)變換 求12+22+33+n2，運(yùn)用如圖12所示的旋轉(zhuǎn)變換可以很快 得到結(jié)果 . 2.3 向量中的變換 向量是聯(lián)系代數(shù)、幾何、三角的橋梁，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中必 不可少的工具，它可以使一些復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，因?yàn)樗迳?了數(shù)形結(jié)合的翅膀 .人教 A 版教材有意識(shí)地將三角恒等變 換置于平面向量之后，并且運(yùn)用向量數(shù)量積運(yùn)算簡(jiǎn)潔 證明了“兩任意角差的余弦公式”

13、，讓人耳目一新 .此證明過(guò) 程中的敘述看起來(lái)很淺顯， 論述也不深?yuàn)W， 但它是以運(yùn)動(dòng)的、 變化的觀點(diǎn)來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題 .這種證明方法不但能促進(jìn)學(xué)生 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，而且能夠幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用辯證法 的觀點(diǎn)來(lái)思考問(wèn)題、 分析問(wèn)題和解決問(wèn)題 .因此， 教師可以好 好利用向量變換引出來(lái)的結(jié)果（兩任意角差的余弦公式）幫 助學(xué)生形成更高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu) . 3 結(jié)束語(yǔ) 有些教師認(rèn)為兩角差余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程不重要，重要 的是公式的運(yùn)用 .但我們從上面各種變換的角度賞析兩角差 的余弦公式，發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的各種變換中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué) 思想 .若是在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)， 教師舍得不吝嗇時(shí)間， 濃墨重彩 的畫(huà)上靚麗的一筆，想必會(huì)給學(xué)生留下“數(shù)學(xué)是有趣的、是 美麗的、是有用的”這樣美好而又深刻的印象 . 參考文獻(xiàn) 1 張維忠，宋秀紅 .略論數(shù)學(xué)變換方法對(duì)數(shù)學(xué)教育研究的 啟示J.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，1993 (8). 2