小學(xué)奧數(shù)09數(shù)的拆分

1、1.7 數(shù)的拆分1.7.1 整數(shù)的拆分整數(shù)的拆分，就是把一個(gè)自然數(shù)表示成為若干個(gè)自然數(shù)的和的形式，每一種表示方法，就是自然數(shù)的一個(gè)分拆。 整數(shù)的分拆是古老而又有趣的問(wèn)題， 其中最著名的是哥德巴赫猜想。在國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，整數(shù)分拆的問(wèn)題常常以各種形式出現(xiàn)，如，存在性問(wèn)題、計(jì)數(shù)問(wèn)題、最優(yōu)化問(wèn)題等。例 1 電視臺(tái)要播放一部 30 集電視連續(xù)劇，若要求每天安排播出的集數(shù)互不相等，則該電視連續(xù)劇最多可以播幾天？分析與解： 由于希望播出的天數(shù)盡可能地多，所以， 在每天播出的集數(shù)互不相等的條件下，每天播放的集數(shù)應(yīng)盡可能地少。我們知道， 1+2+3+4+5+6+7=28 。如果各天播出的集數(shù)分別為1，2，3，

2、4，5，6，7 時(shí)，那么七天共可播出28 集，還剩2 集未播出。由于已有過(guò)一天播出2 集的情形，因此，這余下的 2 集不能再單獨(dú)于一天播出，而只好把它們分到以前的日子，通過(guò)改動(dòng)某一天或某二天播出的集數(shù)，來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。例如，各天播出的集數(shù)安排為1， 2，3， 4，5， 7， 8 或 1，2， 3， 4， 5， 6， 9 都可以。所以最多可以播7 天。例 2 有面值為1 分、 2 分、 5 分的硬幣各4 枚，用它們?nèi)ブЦ? 角 3 分。問(wèn)：有多少種不同支付方法？分析與解： 要付 2 角 3 分錢，最多只能使用4 枚 5 分幣。 因?yàn)槿? 分和 2 分幣都用上時(shí)，共值12 分，所以最少要用3 枚

3、 5 分幣。當(dāng)使用 3 枚 5 分幣時(shí)， 5 3=15，23-15=8 ，所以使用2 分幣最多4 枚，最少 2 枚，可有23=15+（ 2+2+2+2 ），23=15+（ 2+2+2+1+1 ），23=15+（ 2+2+1+1+1+1 ），共 3 種支付方法。當(dāng)使用 4 枚 5 分幣時(shí)， 5 4=20，23-20=3 ，所以最多使用1 枚 2 分幣，或不使用，從而可有23=20+（ 2+1 ），23=20+（ 1+1+1 ），共 2 種支付方法?？偣灿?5 種不同的支付方法。例 3 把 37 拆成若干個(gè)不同的質(zhì)數(shù)之和，有多少種不同的拆法？將每一種拆法中所拆出的那些質(zhì)數(shù)相乘，得到的乘積中，哪個(gè)最

4、小？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17 ，共10 種不同拆法，其中3 5 29=435 最小。說(shuō)明：本題屬于迄今尚無(wú)普遍處理辦法的問(wèn)題，只是硬湊。比但 37-31=6 ，6 不能分拆為不同的質(zhì)數(shù)之和，故不??； 再下去比而 8=3+5 。其余的分拆考慮與此類似。37 小的最大質(zhì)數(shù)是31，37 小的質(zhì)數(shù)是29，37-29=8 ，例 4 求滿足下列條件的最小自然數(shù)：它既可以表示為9 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，又可以表示為 10 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，還可以表示為1

5、1 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和。解：9 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是其中第5 個(gè)數(shù)的 9 倍，10 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是其中第5 個(gè)數(shù)和第 6 個(gè)數(shù)之和的5 倍， 11 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是其中第6 個(gè)數(shù)的 11 倍。這樣，可以表示為9 個(gè)、 10 個(gè)、 11 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的數(shù)必是5， 9 和 11 的倍數(shù)，故最小的這樣的數(shù)是5，9， 11 =495 。對(duì) 495 進(jìn)行分拆可利用平均數(shù)，采取“以平均數(shù)為中心，向兩邊推進(jìn)的方法”。例如，495 10=49.5，則10 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)為45， 46， 47， 48， 49，（ 49.5）， 50， 51， 52，53， 54。于是495=45+46+54 。同理可得4

6、95=51+52+59=40+41+50。例 5 若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42 個(gè)同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每只盒子里取出一個(gè)小球，然后把這些小球再放到小球數(shù)最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。 小聰回來(lái)， 仔細(xì)查看， 沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過(guò)小球和盒子。問(wèn)：一共有多少只盒子？分析與解： 設(shè)原來(lái)小球數(shù)最少的盒子里裝有a 只小球， 現(xiàn)在增加到了b 只，由于小明沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過(guò)小球和盒子，這說(shuō)明現(xiàn)在又有了一只裝有a 個(gè)小球的盒子， 這只盒子里原來(lái)裝有（ a+1）個(gè)小球。同理，現(xiàn)在另有一個(gè)盒子里裝有（a+1）個(gè)小球，這只盒子里原來(lái)裝有（a+2）個(gè)小球。依此類推，原來(lái)還有一只盒子裝有（a

7、+3）個(gè)小球，（ a+4）個(gè)小球等等，故原來(lái)那些盒子中裝有的小球數(shù)是一些連續(xù)整數(shù)?，F(xiàn)在這個(gè)問(wèn)題就變成了：將42 分拆成若干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個(gè)加數(shù)？因?yàn)?42=6 7，故可將42 看成 7 個(gè) 6 的和，又（ 7+5） +（ 8+4）+（ 9+3）是 6 個(gè) 6，從而 42=3+4+5+6+7+8+9 ，一共有7 個(gè)加數(shù)。又因 42=14 3，故可將42 寫成 13+14+15，一共有3 個(gè)加數(shù)。又因 42=21 2，故可將42 寫成 9+10+11+12 ，一共有4 個(gè)加數(shù)。于是原題有三個(gè)解：一共有7 只盒子、 4 只盒子或3 只盒子。例 6 機(jī)器人從自然數(shù)

8、1 開始由小到大按如下規(guī)則進(jìn)行染色：凡能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不符合上述要求的自然數(shù)染成黃色（比如 23 可表示為兩個(gè)不同合數(shù)15 和 8 之和， 23 要染紅色； 1 不能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和， 1 染黃色）。問(wèn)：被染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，第2000 個(gè)數(shù)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由。解：顯然 1 要染黃色， 2=1+1 也要染黃色，3=1+2，4=1+3=2+2 ，5=1+4=2+3 ，6=1+5=2+4=3+3 ，7=1+6=2+5=3+4 ，8=1+7=2+6=3+5=4+4 ，9=1+8=2+7=3+6=4+5 ，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6 。可見(jiàn)

9、， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7， 8，9， 11 均應(yīng)染黃色。下面說(shuō)明其它自然數(shù)n 都要染紅色。（ 1）當(dāng) n 為大于等于10 的偶數(shù)時(shí)， n=2k=4+2（ k-2 ）。由于 n 10，所以 k5，k-2 3，2（ k-2 ）與 4 均為合數(shù)，且不相等。也就是說(shuō)，大于等于10 的偶數(shù)均能表示為兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅色。 （ 1）當(dāng) n 為大于等于13 的奇數(shù)時(shí)，n=2k+1=9+2 （ k-4）。由于 n 13，所以 k 6， k-4 2，2（ k-4）與 9 均為合數(shù)，且不相等。也就是說(shuō)，大于等于13 的奇數(shù)均能表示為兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅色。綜上所述，除了1，2， 3，

10、 4， 5， 6，7， 8， 9，11 這 10 個(gè)數(shù)染黃色外，其余自然數(shù)均染紅色，第k 個(gè)染為紅色的數(shù)是第（k+10）個(gè)自然數(shù)（k2）。所以第 2000 個(gè)染為紅色的數(shù)是2000+10=2010 。例 7 把 12 分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，再求出這兩個(gè)自然數(shù)的積，要使這個(gè)積最大，應(yīng)該如何分拆？分析與解： 把 12 分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和， 當(dāng)不考慮加數(shù)的順序時(shí)， 有 1+11，2+10，3+9 ，4+8，5+7 ，6+6 六種方法。它們的乘積分別是1 11=11，2 10=20，3 9=27， 48=32，5 7=35 ， 66=36。顯然，把 12 分拆成 6+6 時(shí)，有最大的積66=36。例

11、 8 把 11 分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，再求出這兩個(gè)自然數(shù)的積，要使這個(gè)積最大，應(yīng)該如何分拆？分析與解： 把 11 分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和， 當(dāng)不考慮加數(shù)的順序時(shí)， 有 1+10，2+9，3+8 ，4+7，5+6 五種方法。 它們的乘積分別是 1 10=10，2 9=18，3 8=24， 4 7=28，5 6=30。顯然，把 11 分拆成 5+6 時(shí)，有最大的積5 6=30。說(shuō)明：由上面的兩個(gè)例子可以看出，在自然數(shù)n 的所有二項(xiàng)分拆中，當(dāng) n 是偶數(shù) 2m 時(shí)，以分成 m+m 時(shí)乘積最大； 當(dāng) n 是奇數(shù) 2m+1 時(shí)，以分成 m+（ m+1）時(shí)乘積最大。 換句話說(shuō)，把自然數(shù) S（ S1）分拆為兩

12、個(gè)自然數(shù)m 與 n 的和，使其積 mn 最大的條件是： m=n，或m=n+1 。在具體分拆時(shí)， 當(dāng) S 為偶數(shù)時(shí)， mnS ; 當(dāng) S 為奇數(shù)時(shí)， m、n 分別為 S1和S 1。222例 9 試把 1999 分拆為8 個(gè)自然數(shù)的和，使其乘積最大。分析：反復(fù)使用上述結(jié)論， 可知要使分拆成的 8 個(gè)自然數(shù)的乘積最大，必須使這 8 個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)相等或差數(shù)為1。解：因?yàn)?1999=8 249+7，由上述分析， 拆法應(yīng)是 1 個(gè) 249，7 個(gè) 250，其乘積 2492507為最大。說(shuō)明：一般地，把自然數(shù)S=pq+r （0 r p，p 與 q 是自然數(shù)）分拆為p 個(gè)自然數(shù)的和，使其乘積 M 為最大，

13、則 M為 qp-r（ q+1 ）r。例 10 把 14 分拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的積，要使得到的積最大，應(yīng)該把 14 如何分拆？這個(gè)最大的乘積是多少？分析與解：我們先考慮分成哪些數(shù)時(shí)乘積才能盡可能地大。首先，分成的數(shù)中不能有 1，這是顯然的。其次，分成的數(shù)中不能有大于4 的數(shù)，否則可以將這個(gè)數(shù)再分拆成2 與另外一個(gè)數(shù)的和，這兩個(gè)數(shù)的乘積一定比原數(shù)大，例如7 就比它分拆成的2 和 5 的乘積小。再次，因?yàn)?=2 2，故我們可以只考慮將數(shù)分拆成2 和 3。注意到 2+2+2=6 ，22 2=8 ；3+3=6 ，3 3=9 ，因此分成的數(shù)中若有三個(gè)2，則不如換成兩個(gè) 3，換句話說(shuō)，分成的

14、數(shù)中至多只能有兩個(gè)2，其余都是3。根據(jù)上面的討論，我們應(yīng)該把14 分拆成四個(gè)3 與一個(gè) 2 之和，即14=3+3+3+3+2 ，這五數(shù)的積有最大值3 3 33 2=162。說(shuō)明：一般地，把自然數(shù)S（ S 1）分拆為若干個(gè)自然數(shù)的和：S=a1+a2+an，則當(dāng)a1， a2， ， an 中至多有兩個(gè)2，其余都是3 時(shí)，其連乘積m=a1a2an 有最大值。例 11 把 1993 分拆成若干個(gè)互不相等的自然數(shù)的和，且使這些自然數(shù)的乘積最大，該乘積是多少？解：由于把 1993 分拆成若干個(gè)互不相等的自然數(shù)的和的分法只有有限種，因而一定存在一種分法，使得這些自然數(shù)的乘積最大。若1 作因數(shù)，則顯然乘積不會(huì)最

15、大。把1993 分拆成若干個(gè)互不相等的自然數(shù)的和，因數(shù)個(gè)數(shù)越多， 乘積越大。 為了使因數(shù)個(gè)數(shù)盡可能地多，我們把 1993 分成 2+3 +n 直到和大于等于1993。若和比 1993 大 1，則因數(shù)個(gè)數(shù)至少減少 1個(gè)，為了使乘積最大，應(yīng)去掉最小的2，并將最后一個(gè)數(shù)（最大）加上1。若和比1993 大 k（k 1），則去掉等于 k 的那個(gè)數(shù)，便可使乘積最大。所以 n=63。因?yàn)?2015-1993=22 ，所以應(yīng)去掉22，把 1993 分成（ 2+3+21 ）+（ 23+24+63）這一形式時(shí)，這些數(shù)的乘積最大，其積為2 3 21 2324 63。例 12 將 1995 表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自

16、然數(shù)的和，共有多少種不同的方法？分析與解：為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們?cè)O(shè)1995可以表示為以 a 為首項(xiàng)的 k(k 1）個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和。首項(xiàng)是a，項(xiàng)數(shù)為k ，末項(xiàng)就是a+k-1 ，由等差數(shù)列求和公式，得到 a (a k 1) k1995, 化簡(jiǎn)為 (2a+k-1 ） k=3990 。22a+k-1 大于第二個(gè)因數(shù) k，并且兩個(gè)注意，上式等號(hào)左邊的兩個(gè)因數(shù)中，第一個(gè)因數(shù)因數(shù)必為一奇一偶。因此，3990 有多少個(gè)大于1 的奇約數(shù)， 3990 就有多少種形如（ * ）式的分解式，也就是說(shuō)， 1995就有多少種表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法。因?yàn)?995 與 3990 的奇約數(shù)完全相同， 所以上

17、述說(shuō)法可以簡(jiǎn)化為，1995 有多少個(gè)大于 1 的奇約數(shù)，1995 就有多少種表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法。1995=3 5 7 19，共有15 個(gè)大于 1 的奇約數(shù)，所以本題的答案是15 種。說(shuō)明：一般地，若自然數(shù)N 有 k 個(gè)大于1 的奇約數(shù)，則N 共有 k 種表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法。知道了有多少種表示方法后，很自然就會(huì)想到， 如何找出這些不同的表示方法呢？從上面的結(jié)論可以看出，每一個(gè)大于 1 的奇約數(shù)對(duì)應(yīng)一種表示方法， 我們就從 1995 的大于 1 的奇約數(shù)開始。1995 的大于 1 的奇約數(shù)有 3，5，7，15，19，21，35，57， 95， 105，

18、133，285， 399， 665，1995 。例如，對(duì)于奇約數(shù)35，由 (2a+k-1 ） k=3990 ，得 3990=35114，因?yàn)?11435，所以 k=35，2a+k-1=114 ，解得 a=40。推知 35 對(duì)應(yīng)的表示方法是首項(xiàng)為40 的連續(xù) 35 個(gè)自然數(shù)之和，即1995=40+41+42+ +73+74 。再如，對(duì)于奇約數(shù)399，由 (2a+k-1 ） k=3990，得 3990=399 10，因?yàn)?399 10，所以k=10 ， 2a+k-1=399 ，解得 a=195。推知399 對(duì)應(yīng)的表示方法是首項(xiàng)為195 的連續(xù) 10 個(gè)自然數(shù)之和，即 1995=195+196+19

19、7+ +204。對(duì)于 1995 的 15 個(gè)大于 1 的奇約數(shù)，依次利用 (2a+k-1 ） k=3990 ，即可求出 15 種不同的表示方法。1.7.2 分?jǐn)?shù)的拆分1.7.2.1 將一個(gè)單位分?jǐn)?shù)1 分解為兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和的方法A分解：將單位分?jǐn)?shù) 1的分母 A 分成質(zhì)因數(shù)的積， 從中求出這分母的任意兩個(gè)約數(shù)aA1，a ；2擴(kuò)分：將單位分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘以兩約數(shù)的和（1a1a2;a1+a2），得A(a1a2 )A拆分： 將擴(kuò)分后所得的分?jǐn)?shù)，按照同分母分?jǐn)?shù)相加的法則反過(guò)來(lái)用，拆成兩個(gè)同分母的分?jǐn)?shù)相加，得1a1a2;A A(a1a2 ) A(a1a2 )約分：將拆開后的兩個(gè)分?jǐn)?shù)約分，便得到兩個(gè)單位

20、分?jǐn)?shù)。例如，將 1拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和。151113131115 3 5 15（13） 15 （13） 15 （13） 60 20注意：（1）因大于1 的自然數(shù)的約數(shù)有時(shí)不止2 個(gè)，有多個(gè)， 從中任取兩個(gè)約數(shù)的取法也有多種， 只要每次取出的兩個(gè)約數(shù)之間不成比例，則將一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和的結(jié)果也各不相同。例如， 15 的約數(shù)有1， 3， 5， 15 四個(gè)，從中任取兩個(gè)的取法有（1， 3）、（ 1， 5）、（ 1，15）、（ 3， 5）、（ 3，15）、（ 5，15）六種，而?。?，3）和（ 5，15）、（ 1， 5）和（ 3，15）是成比例的，所以1 的不同拆法只有四種。15（ 1）

21、若要將單位分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)相等的單位分?jǐn)?shù)之和，那只要在擴(kuò)分時(shí)，分子、分母同乘以分母的任何一個(gè)約數(shù)的2 倍或乘以 2 即可。例如： 115333)3361115(3156153030或 1211111515215215230301.7.2.2 將一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆成n 個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和的方法將一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆成n 個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和的方法和步驟與拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的方法和步驟相同，不同點(diǎn)只在擴(kuò)分時(shí)，分子、分母同乘以分母A 的 n 個(gè)約數(shù)的和（ a1+a2+an）。例 1將 1 拆成四個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和。15解 15=3 5 15 的約數(shù)有1， 3， 5，15。1135151351511111515(13515)15241524152415243601207224注意：如果要求拆分的分母必須互不相同，那么1最多能拆分的分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)n 等于 A 的A約數(shù)的個(gè)