正余弦定理的應(yīng)用_三角形面積公式公開課一等獎(jiǎng)

1、正余弦定理的應(yīng)用三角形面積公式一、教學(xué)容解析本課教學(xué)容出自人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修數(shù)學(xué)5第一章1.2 節(jié)。1. 教材容本節(jié)容是正弦定理與余弦定理知識(shí)的延續(xù)， 借助正弦定理和余弦定理， 進(jìn)一步解決一些有關(guān)三角形面積的計(jì)算。 教材中先結(jié)合已知三角形面積公式推導(dǎo)新的三角形面積公式， 然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面積， 最后給出三角形面積實(shí)際問題的求解過程。2. 教學(xué)容的知識(shí)類型在本課教學(xué)容中， 包含了四種知識(shí)類型。 三角形面積公式的相關(guān)概念屬于概念性知識(shí)，三角形面積公式的符號(hào)語(yǔ)言表述屬于事實(shí)性知識(shí)， 利用正弦定理和余弦定理求解三角形面積的步驟屬于程序性知識(shí)， 發(fā)現(xiàn)問題提出問題解決問

2、題的研究模式，以及從直觀到抽象的研究問題的一般方法，屬于元認(rèn)知知識(shí)。3. 思維教學(xué)資源與價(jià)值觀教育資源已知三角形兩邊及其夾角求三角形面積的探索過程能引發(fā)提出問題分析問題解決問題的研究思維； 生活實(shí)際問題求解三角形面積， 是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想的好契機(jī)；引出海倫公式和秦九韶“三斜求積”公式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，探究數(shù)學(xué)史材料，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的喜愛。二、學(xué)生學(xué)情分析主要從學(xué)生已有基礎(chǔ)進(jìn)行分析。1. 認(rèn)知基礎(chǔ) ：從學(xué)生知識(shí)最近發(fā)展區(qū)來(lái)看，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過用底和高表示的三角形面積公式， 并且掌握直角三角形中邊和角的關(guān)系。 現(xiàn)在進(jìn)一步探究?jī)蛇吋捌鋳A角表示的面積公式符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。 此外在前面兩節(jié)

3、的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)掌握了正余弦定理，這為求解三角形的邊和角打下了堅(jiān)持基礎(chǔ)。2. 非認(rèn)知基礎(chǔ)： 通過小學(xué)、初中和高中階段三角函數(shù)和應(yīng)用題的學(xué)習(xí)， 學(xué)生具有一定的分析問題、類比歸納、符號(hào)表示的能力。具備相當(dāng)?shù)娜粘Ｉ罱?jīng)驗(yàn)，能夠從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題并建立數(shù)學(xué)模型解決問題。三、教學(xué)策略選擇普通髙中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版 ) 強(qiáng)調(diào)基于核心素養(yǎng)的教學(xué), 特別重視情境的創(chuàng)設(shè)和問題的提出。史寧中教授曾指出 : “設(shè)計(jì)情境和提出問題的目的是啟發(fā)學(xué)生思考 , 設(shè)計(jì)情境和提出問題的根基是數(shù)學(xué)容的本質(zhì)”?；诖耍竟?jié)課我的設(shè)計(jì)理念是：以問題為載體，以學(xué)生為主體，創(chuàng)設(shè)有效問題情境，努力營(yíng)造開放、民主、和諧的學(xué)習(xí)

4、氛圍，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣與積極性。讓學(xué)生在經(jīng)歷“自主、探究、合作”的過程中，分析問題、解決問題，收獲數(shù)學(xué)自信。1、教學(xué)方法的選擇本課結(jié)合幻燈片、 實(shí)物投影等多媒體技術(shù)的教學(xué)手段， 選擇觀察發(fā)現(xiàn)式、 問題啟發(fā)式、合作討論式的教學(xué)方法。依據(jù)的學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，創(chuàng)設(shè)具體問題，用問題串起教學(xué)，這樣的設(shè)計(jì)也體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)問題提出問題解決問題的研究模式，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立了學(xué)生的自信，激發(fā)探索欲望。在師生互動(dòng)、生生互動(dòng)中，體驗(yàn)知識(shí)與方法的生成過程，形成學(xué)生主動(dòng)參與，自主與合作探究的課堂氣氛，為不同認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)和適當(dāng)幫助。2、學(xué)習(xí)反饋的分析通過課堂小結(jié)反饋學(xué)生的知識(shí)、方法、思想、學(xué)

5、法上的收獲。通過三道當(dāng)堂小測(cè)題目反饋學(xué)生對(duì)運(yùn)用正弦定理和余弦定理求三角形面積掌握程度。四、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置本課教學(xué)以普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2017 年版）為基本依據(jù)，以“數(shù)學(xué)育人”作為根本目標(biāo)設(shè)置。1. 主題目標(biāo) 突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解。2. 單元目標(biāo) 能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。3. 細(xì)化目標(biāo)為了達(dá)到以上要求，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，本課課堂教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下：（一）能通過分析問題、 解決問題推導(dǎo)出三角形兩邊及其夾角面積公式， 會(huì)運(yùn)用正弦定理、余弦定理節(jié)求三角形面積。（二）經(jīng)歷從生活實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型并求解的過

6、程， 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，收獲數(shù)學(xué)自信。（三）體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣；通過數(shù)學(xué)史知識(shí)擴(kuò)展，領(lǐng)略數(shù)學(xué)魅力。五、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)及突出重點(diǎn)本節(jié)重點(diǎn)在于運(yùn)用正弦定理和余弦定理求三角形面積。為了突出重點(diǎn)設(shè)置了三個(gè)層次的題目：首先是推導(dǎo)出三角形面積公式后的跟蹤訓(xùn)練，熟練三角形面積公式； 其次是通過例一及例一練習(xí)題來(lái)重點(diǎn)加強(qiáng)用正弦定理求三角形面積公式； 最后通過生活實(shí)際問題探究強(qiáng)化余弦定理求三角形面積公式知識(shí)。此外，在課堂小測(cè)中再次突出重點(diǎn)準(zhǔn)備了三道題強(qiáng)化重點(diǎn)。2. 教學(xué)難點(diǎn)及難點(diǎn)突破難點(diǎn) 1：例一中如何靈活選用正弦定理和余弦定理求解三角形面積。難點(diǎn) 1突破設(shè)置為例題，注重分析過

7、程，剖析思路并詳細(xì)板書過程，幫助學(xué)生理解。從問題出發(fā)，抓住面積公式， 要計(jì)算面積就要知道三角形的兩邊及其夾角，明確要求的元素；聯(lián)系題目，已知兩角和其中一角的對(duì)邊，屬于正弦定理問題；代數(shù)求解，代入具體數(shù)值求值。 數(shù)學(xué)題的解題過程其實(shí)就是運(yùn)用所學(xué)知識(shí)把已知條件和所求聯(lián)系起來(lái)的過程，這中間注意培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“聯(lián)系”的思想方法。難點(diǎn) 2：生活實(shí)際問題的解決能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。難點(diǎn) 2突破合作探究把本該是例題的題作為探究題目，在例一認(rèn)真講解的基礎(chǔ)上，放心大膽交由學(xué)生合作探究解題，引導(dǎo)學(xué)生在探究中解決問題，加深印象，最終收獲數(shù)學(xué)自信。六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1、教學(xué)流程教創(chuàng)設(shè)情境提升難度生活實(shí)

8、際課堂小結(jié)師提出問題例題分析深入探究當(dāng)堂檢測(cè)師生活問題驅(qū)動(dòng)詳細(xì)板書數(shù)海拾貝高考提升配動(dòng)引發(fā)學(xué)生思考幫助學(xué)生理解培養(yǎng)建模能力及時(shí)反饋問題合完成學(xué)復(fù)習(xí)舊知理解例題合作探究自主小結(jié)習(xí)學(xué)內(nèi)生思考探究學(xué)習(xí)過程建立模型認(rèn)真自測(cè)容活得出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練解決問題挑戰(zhàn)自我動(dòng)解決所提問題掌握解題方法增長(zhǎng)數(shù)學(xué)見識(shí)追求融會(huì)貫通2、具體過程步驟 1：提出問題，引發(fā)思考（3min）前面我們學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理， 并利用這兩個(gè)定理進(jìn)行了解三角形的探索，今天我們更進(jìn)一步來(lái)探究三角形面積的計(jì)算。根據(jù)初中三角形全等判定的知識(shí)，我們知道：在三角形中兩邊和夾角確定，這個(gè)三角形就是確定的。那么它的面積該如何求呢？設(shè)計(jì)意圖：通過創(chuàng)設(shè)問題

9、，形成思維撞針，激發(fā)深層次思考，揭示課題。步驟 2：復(fù)習(xí)舊知，新課準(zhǔn)備（3min）我們初中學(xué)習(xí)過的面積公式是什么？直角三角形中的邊角有什么關(guān)系？那我們不妨從這兩個(gè)方面入手， 來(lái)具體探究一下已知兩邊和夾角求三角形面積的問題。設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)初中三角形面積公式和直角三角形邊角關(guān)系，并在這個(gè)過程中發(fā)現(xiàn)方法，把高用邊和角表示，更有利于學(xué)生接受， 并在潛移默化中教會(huì)學(xué)生運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，提高學(xué)生分析問題的能力，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。步驟 3：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)，探索發(fā)現(xiàn)（6min）給出問題，學(xué)生自主探究，再讓學(xué)生分享探索過程， 得出結(jié)論。把課堂還給學(xué)生。探究一如圖，在ABC 中，邊 BC，CA，AB 上的

10、高分別記為 ha， hb，hc 。問題 1你能用ABC 邊角分別表示ha， hb， hc 嗎？提示hab sin Cc sin Bhbc sin Aa sin Chca sin Bb sin A問題 2你能用邊 a 與高 ha 表示 ABC 的面積嗎？提示S ABC1 aha1 ab sin C1 ac sin B222同理我們可以得出S ABC1 bc sin A2結(jié)論，已知ABC 中， a，b，c，所對(duì)的角分別為 A，B，C ，其面積為 S , 則：S ABC11ac sin B1ab sin Cbc sin A222設(shè)計(jì)意圖：帶著問題學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)關(guān)系，引導(dǎo)其總結(jié)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)

11、習(xí)主動(dòng)性，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信，并且對(duì)知識(shí)印象深刻。步驟 4：解決問題，實(shí)踐真知（2min）經(jīng)過前面同學(xué)們的探究，現(xiàn)在我們可以回答剛上課時(shí)老師的問題了。學(xué)生回答問題：在三角形中兩邊和夾角確定，這個(gè)三角形就是確定的。那么它的面積該如何求呢？實(shí)踐出真知，來(lái)道題試試看：求 ABC 的面積？練習(xí) 1、在 ABC 中，已知A30 ， b2， c2 3，參考答案 S ABC1 bc sin A12 2313222設(shè)計(jì)意圖：呼應(yīng)開頭，讓學(xué)生經(jīng)歷提出問題，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的過程，并在這個(gè)過程中熟練公式，體會(huì)解決問題的快樂，建立數(shù)學(xué)自信。步驟 5：提升難度，例題學(xué)習(xí)（ 10min）同學(xué)們成功的 get到了用兩邊及

12、其夾角表示的三角形面積公式這個(gè)新技能，下面讓我們一起來(lái)看看這個(gè)題如何解。例 1在 ABC 中，已知 B60 ，C45 ， b4 ，求 ABC 的面積？解： A 180 (BC )180(6045 )75sin Asin 75sin( 4530 )sin 45cos3062cos 45 sin 304根據(jù)正弦定理，bc， cbsin C46 ，sin Bsin Csin B3S1146621243bc sin A4343.22練習(xí) 在 ABC 中，已知 B45 ,C120 , b2 ，求 ABC 的面積？參考答案 3 -32設(shè)計(jì)意圖：難度提升，把三角形面積公式和正弦定理相結(jié)合，學(xué)生要求解面積，先

13、要同正弦定理解三角形。通過此題幫助學(xué)生復(fù)習(xí)加深正弦定理，教會(huì)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，逐步分析問題解決問題，同時(shí)為接下來(lái)學(xué)生自主探究余弦定理相關(guān)面積問題做好鋪墊。講練結(jié)合，例題講完緊跟練習(xí)，及時(shí)鞏固。步驟 6：生活實(shí)際，深入探究（10min）好多同學(xué)說(shuō)，老師我們學(xué)的這些知識(shí)有用么， 有用，現(xiàn)在就有一個(gè)問題等你解決？學(xué)生自主探究解決問題并請(qǐng)同學(xué)上黑板分享解題思路。探究二如圖 , 在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中 , 要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室公園 , 經(jīng)過測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為 68 m ,88 m ,127 m , 這個(gè)區(qū)域的面積是多少？（只需列式不需要計(jì)算）思考：你能把這一實(shí)際問題化

14、歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？提示：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。解 : 設(shè) a68m,b88m,c127m, 根據(jù)余弦定理的推論，c2a 2b2127 268 2882cos B2ac212768sin B1 cos2 B應(yīng)用 S1 ac sin B 可解。2設(shè)計(jì)意圖：從生活中挖掘、 提煉素材 , 尋找實(shí)際背景和激趣元素, 可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 , 體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用意識(shí) , 培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題的能力。 引導(dǎo)學(xué)生自主思考如何把生活實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題，并利用余弦定理求解三角形面積。通過化歸過程體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想，提升數(shù)學(xué)思維。步驟

15、7：數(shù)海拾貝，延伸課堂（3min）在數(shù)學(xué)史上解三角形的問題中，如何由三角形的三邊直接求出三角形的面積是一個(gè)比較困難的問題，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德、古希臘數(shù)學(xué)家海倫，還有我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶都給出了求解公式，有興趣的同學(xué)可以閱讀書21 頁(yè)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。1Sp( pa)( pb)( pc) ，這里 p(abc) . 海倫公式21c 2a 2b222a2秦九韶“三斜求積”公式Sc24設(shè)計(jì)意圖：介紹數(shù)學(xué)史小知識(shí)，增長(zhǎng)學(xué)生見識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣，感受數(shù)學(xué)史魅力。不僅語(yǔ)文有詩(shī)和遠(yuǎn)方，在幾千年文明中數(shù)學(xué)也有其獨(dú)特的魅力。步驟 8：小結(jié)提升，課堂自測(cè)（3+5min）我們這節(jié)課的容就到這，請(qǐng)大家說(shuō)說(shuō)這節(jié)課有什么收

16、獲。同學(xué)們總結(jié)的很好，接下來(lái)檢驗(yàn)一下你們是不是真的學(xué)會(huì)了。課堂小測(cè)：、在ABC 中，已知A60,b1,c2,則ABC面積為（） .12、在ABC 中，已知 a3,b13, c4, 則 ABC 面積為（） .3、在ABC 中，已知 A60, b2,ABC 面積為 2 3 ，則 a（） .高考：（ 2017 全國(guó)二卷理數(shù)17 題）4、 ABC 的角 A、B、 C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c ，已知 sin( AC ) 8sin 2 B ,2(1) 求 cosB .(2) 若 ac 6, ABC 面積為 2，求 b .設(shè)計(jì)意圖：梳理課堂所學(xué)，強(qiáng)化三角形面積公式。當(dāng)堂檢測(cè)學(xué)習(xí)效果，及時(shí)反饋問題。個(gè)別學(xué)生單獨(dú)輔導(dǎo)，幫助學(xué)生真正融會(huì)貫通。見識(shí)高考真題，激發(fā)求知欲，為學(xué)有余力學(xué)生加餐。6. 作業(yè)與板書布置作業(yè)：板書設(shè)計(jì)：1、課本 1