高中數(shù)列知識(shí)大總結(jié)(絕對(duì)全)

1、.第一課時(shí)數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)一、 數(shù)列的概念1數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作a1 ,a2 , a3an , 簡(jiǎn)記an .2數(shù)列an 的第 n 項(xiàng) an 與項(xiàng)數(shù) n 的關(guān)系若用一個(gè)公式anf (n) 給出，則這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。3數(shù)列可以看做定義域?yàn)镹（或其子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量由小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的點(diǎn)。二、數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有：列舉法、圖示法、解析法（用通項(xiàng)公式表示）和遞推法（用遞推關(guān)系表示）。三、 數(shù)列的分類1 按照數(shù)列的項(xiàng)數(shù)分：有窮數(shù)列、無(wú)窮數(shù)列。2 按照任何一項(xiàng)的絕對(duì)值是否不超過某一正數(shù)分：有界數(shù)列、無(wú)界數(shù)列。3 從函數(shù)角度考慮分：遞

2、增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列。四、數(shù)列通項(xiàng)an 與前 n 項(xiàng)和 Sn 的關(guān)系n1 Sn a1a2 a3anaii 12 anS1n1SnSn 1n2課前熱身1數(shù)列1， 3， 6， 10 ， 的一個(gè)通項(xiàng)公式為() ann2(n 1) B ann 21C ann( n 1)D ann(n 1)222.在數(shù)列 1,1,2,3,5,8, x,21,34,55,中， x 的值為（）A10B 11C 12D 133數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an3n228n,則數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是( )A 第項(xiàng)B第項(xiàng)C第項(xiàng)D第項(xiàng)4已知數(shù)列an是遞增數(shù)列，其通項(xiàng)公式為ann2n ,則實(shí)數(shù)的取值范圍是5數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和

3、 Snn 24n1 ,，則典例精析題型一歸納、猜想法求數(shù)列通項(xiàng)【例 1】根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫出它們的一個(gè)通項(xiàng)公式 7， 77， 777， 7777 ， Word 文檔.2 ,4 ,6 ,8 ,3153563 1，3， 3，5，5， 7，7，9， 9題型二應(yīng)用 anS1(n1)求數(shù)列通項(xiàng)SnSn 1(n2)例 2已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn ，分別求其通項(xiàng)公式 . Sn3n2 Sn1 (an2)2(an0)8三、利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)【例 3】根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列an的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式 a11 ,an 1an1124n 2(2) a11,an0, ( n1)an12na2a

4、 an1 0 ，nn a11,an 11 an12數(shù)學(xué)門診已知 Sn 是數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和，且滿足 Sn23n2 an Sn 12，其中 an0, n 2,3,4 ，又 a12 ，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式。課堂演練1 若數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)的 Sn3 an3 ，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）2A an 2 3n 1B an3 2n an 3n 3 an2 3n2已知數(shù)列an 滿足 a1an3n N），則 a20（）0 ， an 1（3an1 03 3324.已知數(shù)列an 滿足 a11,an 3n 1an 1 , ( n2)， 求 a2 和 a3證明： an3n12Word 文檔.6.2

5、等差數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)1 等差數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差，用d 表示。2遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式遞推關(guān)系： an1and通項(xiàng)公式： ana1(n1)d推廣： ana m(nm)d變式： a1an(n1)d;dana1n1danamnm由此聯(lián)想到點(diǎn)(n, an ) 所在直線的斜率。特征： andn( a1d ),即： anf (n)knm ,(k, m為常數(shù)）anknm，（ k, m為常數(shù) ) 是數(shù)列an 成等差數(shù)列的充要條件。等差中項(xiàng)：若 a,b, c 成等差數(shù)列， 則 b 稱 a與c 的等差中項(xiàng)，ac2ba c

6、 的充且 b； a,b, c 成等差數(shù)列是2要條件。前 n 項(xiàng)和公式Sn(a1an )n； Snn( n 1) d2na12變式：a1anSna1a2an2nna1(n 1) dan(n 1) ( d );22anS2 n12n1特征： Snd n2(a1d )n,2An22即Snf (n)BnSnAn2Bn為常數(shù))(A, B是數(shù)列an 成等差數(shù)列的充要條件。5等差數(shù)列an 的基本性質(zhì)(其中 m, n, p,qN ) 若 mnpq，則 amana paq 反之，不成立。 anam(nm)d 2anan man m Sn , S2nSn , S3nS2n 仍成等差數(shù)列。判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)

7、列的方法：定義法：an 1and (常數(shù)）（ nN ）an 是等差數(shù)列中項(xiàng)法：2an 1anan 2（ nN )an 是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法：anknb(k,b為常數(shù) )an 是等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式法：SnAn 2Bn( A, B為常數(shù) )an 是等差數(shù)列課前熱身：1等差數(shù)列an中， a1a4a739,a2 a5a833,則 a3a6a9 （ ）A30B 27C 24D 212等差數(shù)列an中，a4a6a8a10a12120,則 a91 a11的值為 ( C)3A 14B 15C 16D 173等差數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，當(dāng) a1， d 變化時(shí)，Word 文檔若 a2 a8 a11

8、 是一個(gè)定值，那么下列各數(shù)中也是定值的是）A S13BS15BS20CS85設(shè) Sn ，Tn 分別為等差數(shù)列 an與 bn的前 n項(xiàng)an4n2，則S19和T19bn2n5典例精析一、等差數(shù)列的判定與基本運(yùn)算例 1：已知數(shù)列an 前 n 項(xiàng)和 Snn 29n求證： an為等差數(shù)列；記數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Tn ，求Tn 的表達(dá)式。數(shù)列an中，Sn 是前 n 項(xiàng)和，當(dāng)n2 時(shí)，Sn2an (Sn1) 求證：1是等差數(shù)列，2Sn設(shè) bnSnbn的前 n 項(xiàng)和 Tn2n，求1二、公式的應(yīng)用例 2：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng) a1 及公差 d 都為整數(shù)，前 n 項(xiàng)和為 Sn若 a110， S1498 ，求

9、數(shù)列an 的通項(xiàng)公式若 a， a11， S77，求所有可能的16014數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式三、性質(zhì)的應(yīng)用例 3：已知等差數(shù)列an中，公差 d 0 前 n 項(xiàng)和為Sn ，且滿足： a2 a345， a1a414 ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；.Sn，一個(gè)新數(shù)列 bn，若 bn 也設(shè) bnn c是等差數(shù)列，求非零常數(shù)c ；求 f (n)bn（ nN ）的最大(n25)bn 1值數(shù)學(xué)門診若數(shù)列an 是等差數(shù)列，數(shù)列bn 滿足bnanan 1an 2 （ nN ）， bn 的前 n 項(xiàng)和為Sn ，已知 3a58a120 ，試問 n 為何值時(shí)，Sn 取得最大值？并證明你的結(jié)論。課堂演練1 設(shè) Sn 是 等 差

10、數(shù) 列an的 前 n 項(xiàng) 和 ， 若S31，則 S6 （）S63S123111A 39108在等差數(shù)列an中 a12， a2a3 13 ，則a4 a5a6 等于（ ）A40 42 43 453等差數(shù)列an中， a10， S9S12 ，則前 _項(xiàng)的和最大。4已知等差數(shù)列an的前 10項(xiàng)和為100 ，前 100 項(xiàng)和為 10 ，則前 110項(xiàng)和為設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知a312， S120， S130求出公差d 的范圍，指出 S1， S2， ， S12 中哪一個(gè)值最大，并說明理Word 文檔.6.3 等比數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)1 定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同

11、一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為q，（ q0) 。2 遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式遞推關(guān)系： an1qan通項(xiàng)公式： ana1qn 1推廣： anamqnm3 等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a, b, c 成等比數(shù)列，則稱b 為 a與 c 的等比中項(xiàng)，且為bac，注： b2ac 是成等比數(shù)列的必要而不充分條件。4 前 n 項(xiàng)和公式na1(q1)Sna1 (1 q n )a1an q( q1)1q1q5 等比數(shù)列的基本性質(zhì)，(其中 m, n, p, qN) 若 mnpq，則 amana paq 反之不真！ q n man ， an 2an m an m (n N)am an為等比數(shù)

12、列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列。q1時(shí)， Sn， S2 nSn， S3nS2n， 仍成等比數(shù)列。6 等比數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化 an是等差數(shù)列c an(c0， c1) 是等比數(shù)列； an是正項(xiàng)等比數(shù)列l(wèi)og c an(c0， c 1) 是等差數(shù)列；an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列an是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列。7 等比數(shù)列的判定法定義法：an 1q（常數(shù)）an為等比數(shù)列；an2an(an0)an 為等比數(shù)列；中項(xiàng)法： an 1 an2Word 文檔.通項(xiàng)公式法：ank q n(k, q為常數(shù)）an 為等比數(shù)列；前n 項(xiàng)和法：Snk (1q n ) （ k, q為常數(shù)）an 為等比數(shù)列。課前熱身1

13、如果 -1 ， a,b, c ， -9 成等比數(shù)列，那么（） b =3 ， ac =9B b =-3 ， ac =-9b =3 ， ac =-9D b =-3 ， ac =-92 在等比數(shù)列an 中，若 a4a7a5a620 ，則此數(shù)列的前10 項(xiàng)之積等于（）A50B2010C105D10103 設(shè) f (n)2242721023 n 10(nN，則f (n)等于（D）)2(8n1)B2(8n 11)A772(8n31)2n 41)CD (8774 已知數(shù)列an是等比數(shù)列，且Sm10， S2 m30，則 S3 m5 在數(shù)列an 中，若 a11， an 12an3( n1) ，則通項(xiàng) an =典

14、例精析一、 等比數(shù)列的基本運(yùn)算與判定例 1：設(shè)首項(xiàng)為 a1a( a0) ，公比為 q 的等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和為80 ，前 2 n 項(xiàng)的和為6560 ，求此數(shù)列的首項(xiàng)與公比。設(shè)數(shù)列 an的首項(xiàng) a1a1，且41 an ,n為偶數(shù)an 121 ,ann為奇數(shù)4記 bna2n 11 ,n1,2,3,4求 a2， a3判斷數(shù)列bn 是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論。Word 文檔.二、性質(zhì)運(yùn)用例 2：在等比數(shù)列an中，a1a633， a 3 a 432， a nan 1求 a n ，若 Tnlg a1lg a2lg an , 求 Tn例 3：已知 a13，點(diǎn) ( an , an 1 ) 在函數(shù)f (x)

15、x22x 的圖像上，nN證明數(shù)列l(wèi)g(1an ) 是等比數(shù)列，設(shè) Tn (1a1 )(1 a2 ) (1an ) ，求 Tn 及數(shù)列 an 的題項(xiàng)公式，11bn 的前 n 項(xiàng)和 Sn ，并證明：記 bn，求數(shù)列anan 2數(shù)學(xué)門診：已知等差數(shù)列an 的首項(xiàng) a1 =1 ，公差 d 0 ，且第 2 項(xiàng)，第 5 項(xiàng)，第 14 項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn 的第 2 項(xiàng)，第 3 項(xiàng)，第 4項(xiàng)。求數(shù)列an與 bn的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列an對(duì) nN 均有c1c2cnan 1成立b1b2bn求： c1c2c2010Word 文檔.6.4 數(shù)列求和知識(shí)要點(diǎn) 求數(shù)列前 n 項(xiàng)和的基本方法直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和

16、；Sn( a1an )n( n 1)nadn212na1(q1)Sna1 (1qn )(q1)1q公比含字母時(shí)一定要討論。an為無(wú)窮遞縮等比數(shù)列時(shí)，a1S1 q式的推導(dǎo)過程。求一般數(shù)列的前n 項(xiàng)和，無(wú)通法可循，為此平時(shí)要注意掌握某些特殊數(shù)列前n 項(xiàng)和的求法。數(shù)列求和時(shí)，要注意觀察它的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和。課前熱身111n等 于1 44 7n(32)(3 1)（）4數(shù)列an是等差數(shù)列，a5 a610，則前 20項(xiàng)和 S20已知數(shù)列an中， a1 =1 ， a22+3 ， a3 =4+5+6 ，a4 7 8910，則 a10505。典例精析

17、一、 錯(cuò)位相減法求和123n例 1：求和： Sna2a 3ana二、 裂項(xiàng)相消法求和例2：數(shù)列an滿 足a1=8 ，a42，且 an 22an 1a n0 （ nN ）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；1(nN)設(shè) bnan )n(14數(shù)學(xué)門診已 知 Sn為 數(shù) 列an 的 前 n 項(xiàng) 和 ， 且Sn 2ann23n2， n N求證：數(shù)列an2n 為等比數(shù)列；設(shè) bnancosn，求數(shù)列bn 的前 n 項(xiàng)和 Pn 。課堂演練1數(shù)列 2,2 1 ,3 1 ,4 1, , n1n 1 , 的前 n2482項(xiàng)和為（）Word 文檔A (n 1)n21B n(n 1)1122n22nCn 2n41n2n4122n 1D 22 n 1223 34 45 （ n 1）（ n 2）等于（）A n26n1B n( n26n11)C n (n 26n11)D n334 數(shù)列 an