高中數(shù)學(xué)高考題詳解-基本不等式

1、考點(diǎn) 29 基本不等式一、選擇題1. （ 2013重慶高考理科 3） (3 a)(a 6)( 6 a 3) 的最大值為 ()A.9B. 9C.3D.3 222【解題指南】直接利用基本不等式求解.【解析】 選 B. 當(dāng) a6 或 a3 時, (3 a)(a 6)0，當(dāng)6a 3時, (3 a)(a 6)3a a 69 , 當(dāng)且僅當(dāng) 3 aa 6, 即 a3 時取等號 .2222. （2013 山東高考理科12）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足 x2-3xy+4y 2 -z=0.則當(dāng) xy 取得最大值時，212 的最大值為（）zxy zA.0B.1C. 9D.34【解題指南】 此題可先利用已知條件用x,y 來

2、表示 z ，再經(jīng)過變形，轉(zhuǎn)化為基本不等式的問題，取等號的條件可直接代入212 ，進(jìn)而再利用基xyz本不等式求出212xyz的最值 .【解析】 選 B. 由 x23xy 4 y2z0 ，得 zx23xy 4y2 .所以 xyx2xy4 y2x111，當(dāng)且僅當(dāng) x4y ，即 x2 y 時z3xy4 y32 x4 y3yxyxyx取等號此時z2 y2 ，1121( xy )max1. 2122 122 (11 )2 (11 ) 4 2 y2 y1 .2zxyz2 y yxyyxy2 y3. （ 2013山東高考文科12）設(shè)正實(shí)數(shù) x, y, z 滿足 x 23xy4 y2z0 ，則當(dāng) z取得最大值時

3、，x2 yz 的最大值為（）xyA.0B.9 C.2D. 984【解題指南】 此題可先利用已知條件用x,y來表示 z ，再經(jīng)過變形，轉(zhuǎn)化為基本不等式的問題，取等號的條件可直接代入x 2y z ，進(jìn)而再利用基本不等式求出 x2 yz 的最值 .【解析】 選 C. 由 x23xy4 y2z0，得 zx23xy 4y2 .所以 zx23xy4y2x4 y32x4 y31 ，當(dāng)且僅當(dāng) x 4 y ，xyxyyxyxyx即 x 2 y 時取等號此時 z2 y2 ，2 y 2 y 2 y 2 y2所以 x 2 y z 2y 2 y 2 y24 y2 y22 ，2當(dāng)且僅當(dāng) y=2-y時取等號 .4. (20

4、13 福建高考文科 T7) 若 2x +2y =1, 則 x+y 的取值范圍是()A 0,2B 2,0C 2,D,2【解題指南】 “一正二定三相等”, 當(dāng)題目出現(xiàn)正數(shù) ,出現(xiàn)兩變量 , 一般而言, 這種題就是在考查基本不等式 .【解析】 選 D. 22x y 2x +2y =1, 所以 2x+y 1 , 即 2x+y 2-2 , 所以 x+y -2.4二、填空題5. （ 2013四川高考文科13）已知函數(shù) f ( x) 4xa ( x0,a0) 在 x3 時x取得最小值，則a_ ?！窘忸}指南】 本題考查的是基本不等式的等號成立的條件，在求解時需要找到等號成立的條件，將x3代入即可 .【解析】

5、由題 f ( x)4xa (x0, a0) ，根據(jù)基本不等式4xa4 a ，當(dāng)且僅xx當(dāng) 4xa 時取等號，而由題知當(dāng)x3 時取得最小值，即a36 .x【答案】 366. （ 2013天津高考文科14）設(shè) a+b=2, b0, 則 1| a | 的最小值為 .2 | a |b【解題指南】 將1| a | 中的 1由 a+b 代換，再由均值不等式求解 .2 | a | b【解析】 因?yàn)?a+b=2, b0，所以1| a | a b | a |ab| a |2 | a |b4 | a | b4| a | 4 | a |bab| a |a，當(dāng)且僅當(dāng)b| a | 時等號成立， 此時 a 2，或 a2

6、，4 | a |2b14| a |4| a |4 | a |b3若 a2 ，則 a13 ，若 a2 ，則a15. 所以1| a |的最小值為 3.4 | a |434| a |42 | a |b4【答案】 347. （ 2013天津高考理科14）設(shè) a+b=2,b0, 則當(dāng) a=時 ,1| a | 取得2 | a |b最小值 .【解題指南】 將1| a | 中的 1由 a+b 代換，再由均值不等式求解 .2 | a |b【解析】 因?yàn)?a+b=2, b0，所以1| a | a b | a |ab| a |2 | a |b4 | a |b4| a | 4 | a |bab| a |a1 ，當(dāng)且僅

7、當(dāng)b| a | 時等號成立， 此時 a 2 ，或 a2 ，4 | a |2b4| a |4| a |4 | a |b3若 a2 ，則 a13 ，若 a2 ，則 a15.所以1| a | 取最小值時， a2 .4 | a |434 | a |42 | a |b【答案】 -28. （ 2013上海高考文科T13）設(shè)常數(shù) a 0. 若 9xa21 對一切正實(shí)ax數(shù) x 成立，則a 的取值范圍為.【解析】 考查均值不等式的應(yīng)用，由題意知，當(dāng) xa2a210時 , f (x) 9x2 9 x6a a 1 axx5【答案】 1,)59. （ 2013陜西高考文科 14）在如圖所示的銳角三角形空地中 , 欲

8、建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園 ( 陰影部分 ), 則其邊長 x 為( m).【解題指南】 設(shè)出矩形的高y，由題目已知列出x，y 的關(guān)系式，整理后利用均值不等式解決應(yīng)用問題.【解析】 設(shè)矩形高為 y, 由三角形相似得 : x40 y , 且x 0, y 0, x 40, y 40404040 x y 2 xy, 僅當(dāng) xy 20時，矩形的面積 sxy取最大值 400 .【答案】 20.2014 年全國高考理科數(shù)學(xué)試題：不等式選講一、填空題1（ 2014 年廣州數(shù)學(xué)（理）試題）不等式x 1x 2 5 的解集為。2（ 2014 年高考陜西卷（理）( 不等式選做題) 設(shè) a,b, m, n R ，且

9、a2b25, ma nb 5，則 m2 n2 的最小值為 _3（ 2014 年高考江西卷（理）對任意x, yR ,x1xy 1y 1的最小值為（）A. 1B. 2C. 3D. 44（ 2014 年高考安徽卷（理）若函數(shù)f ( x)x12xa 的最小值3 ，則實(shí)數(shù)a 的值為（）A.5 或 8B.1或 5C. 1或 4D. 4或 85. （ 2014年 高 考 湖 南卷 （ 理 ） 若 關(guān) 于 x的 不 等 式 ax23的解集為x | 5x1， 則33a=_6. （ 2014年高考重慶卷（理）設(shè)函數(shù)f(x) x 1 ， 則 不 等 式f (x)1的解集為_.二、解答題1（ 2014 年高考新課標(biāo)2

10、（理）（本小題滿分10 ）選修4-5 ：不等式選講設(shè)函數(shù) fx = x1xa (a 0)a（）證明：fx 2；（）若f35，求 a 的取值范圍 .2. （ 2014年遼寧數(shù)學(xué)（理）試題）選修4-5:不等式選講設(shè) 函 數(shù) f (x) 2x 1x1, g (x)16x28x1 ， 記 f (x)1的 解 集 為 M， g (x)4的解集為N. （1）求 M；（ 2）當(dāng) x MN 時，證明：x2 f (x)xf ( x) 2 143（ 2014 年福建 數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）選修4-5: 不等式選講已知定義在R 上的函數(shù)f ( x) | x1| x 2 | 的最小值為a.( ) 求 a 的值

11、 ;( ) 若 p,q,r是正實(shí)數(shù) , 且滿足 p+q+r=a,求證 : p2q2r 23 .4（ 2014 年高考新課標(biāo)1（理）（本小題滿分10 分）選修4 5：不等式選講若 a 0, b0，且 11ab .ab( ) 求 a3b3 的最小值；（）是否存在a, b，使得2a3b6 ？并說明理由.二只涉及兩個絕對值，不再有其它項(xiàng)時，用平方法去絕對值1. （ 2011 年高考廣東卷理科9) 不等式x1x30 的解集是_.2. 【2012 高考真題湖南理10】不等式 |2x+1|-2|x-1|0的解集為_.三涉及兩個且另有一常數(shù)時，用分段討論法去絕對值1. 【 2012高考真題廣東理9】不等式|x

12、+2|-|x|1的解集為_2.(2011年高考山東卷理科4) 不等式| x5| x3|10 的解集為（A） -5.7（B） -4,6（C） (, 57,)（D） (,46,)3. 【 2012 高考真題江西理 16】（不等式選做題）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|2x-1|+|2x+1| 6 的解集為 _ 。4.(2011 年高考天津卷理科13)已知集合Ax R | x 31，則集合x 4 9 , Bx R | x 4t, t (0, )tA B =_.5【 2012 高考真題新課標(biāo)理24】（本小題滿分10 分）選修 4 5 ：不等式選講已知函數(shù)f ( x)xax2（1）當(dāng) a3 時，求不等式f ( x

13、)3 的解集；（2）若 f (x)x4 的解集包含1,2 ，求 a 的取值范圍.6 (2011 年高考遼寧卷理科24) （本小題滿分10 分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f （ x）=|x-2|-|x-5|.（I ）證明： -3 f （x） 3；（II ）求不等式f （ x） x2-8x+15 的解集 .四：利用數(shù)軸法求解1. 【 2012高考真題陜西理15】 A.（不等式選做題）若存在實(shí)數(shù)x 使| xa | x1|3成立，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是.2. 若不等式 x 4 x a 2 對所有的 x 都恒成立，則 a 的取值范圍是3（ 2009 遼寧選作24）設(shè)函數(shù) f ( x) | x 1 |

14、 | xa | .（I ）若 a1,解不等式 f ( x)3 ；（II ）如果xR , f ( x)2,求 a 的取值范圍。五涉及絕對值不等式的恒成立問題，方法：分段去絕對值1（2010 年高考福建卷理科21）（本小題滿分7 分）選修4-5 ：不等式選講已知函數(shù)。（）若不等式的解集為（）在（）的條件下，若，求實(shí)數(shù)的值；對一切實(shí)數(shù)x 恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。2 (2011 a x 1年高考陜西卷理科15) （不等式選做題）若關(guān)于x2 存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是x 的不等式3. 【 2012 高考真題遼寧理 24】( 本小題滿分 10 分 ) 選修 4 5：不等式選講已知 f ( x

15、) | ax 1| (aR) ，不等式 f ( x)3 的解集為 x2 x1 。( ) 求 a 的值；( ) 若 f (x) 2 f ( x )k 恒成立，求k 的取值范圍。2六：性質(zhì)： x yx y ， xyxy 運(yùn)用1. (2010 年高考福建卷理科) 對于實(shí)數(shù) x，y ，若x 1，y 2 1，則x 2y 11的最大值為 .2. 【 2012 高考江蘇 24】 選修 4-5 ：不等式選講 （10 分） 已知實(shí)數(shù) x， y滿足：| xy |1，2x y |1 ，53|求證： | y |1862. 比較法解不等式1 (2011 年高考福建卷理科21) （本小題滿分7 分）選修4-5 ：不等式選講設(shè)不等式2x -11的解集為M（ I ）求集合 M；（ II ）若 a， b M，試比較 ab+1 與 a+b 的大小2（ 2010