向量的共線問題 證明共線問題常用的方法

1、 向量的共線問題向量的共線問題 證明共線問題常用的方法證明共線問題常用的方法. . （1 1）向量）向量 共線共線 存在唯一實(shí)數(shù)存在唯一實(shí)數(shù),使使 (2)(2)向量向量 =(x=(x1 1,y,y1 1), ), =(x=(x2 2,y,y2 2) )共線共線 x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0;=0; (3)(3)向量向量 與與 共線共線 (4)(4)向量向量 與與 共線共線 存在不全為零的實(shí)數(shù)存在不全為零的實(shí)數(shù)1 1,2 2，使，使 a b a0) 、 （ba; a b a b a ba b ; a b 12 ab0. 【例例1 1】已知已知A(-1,1),B(1,5)

2、,C(-2,-5),D(4,7),A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),D(4,7),試判斷兩線試判斷兩線 段段 是否共線？是否共線？ 【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】題目中給出了四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得兩向量題目中給出了四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得兩向量 的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示. .要判斷要判斷 是否共線，首先看是否是否共線，首先看是否 滿足滿足 ，再說明線段，再說明線段ABAB與與CDCD是否有公共點(diǎn)是否有公共點(diǎn). . ABCD 與 ABCD 和 ABCD 與 ABCD 【規(guī)范解答規(guī)范解答】 =(2,4), =(2,4), =(-1,-6),=(-1,-6), -1-14-(-6)4-(-6)2=-4

3、+12=80.2=-4+12=80. 不共線，即點(diǎn)不共線，即點(diǎn)C C不在直線不在直線ABAB上，同理點(diǎn)上，同理點(diǎn)D D也不在直也不在直 線線ABAB上，直線上，直線ABAB與與CDCD不共線，即線段不共線，即線段ABAB與與CDCD不共線不共線. . AB AC ABAC 與 【例例2 2】已知已知 =(1,2),=(1,2), =(-3,2).=(-3,2).若若 平行，求實(shí)數(shù)平行，求實(shí)數(shù)k k的值的值. . 【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】本題考查由兩向量的共線求參數(shù)的問題，要求本題考查由兩向量的共線求參數(shù)的問題，要求 學(xué)生熟練掌握兩向量共線的條件學(xué)生熟練掌握兩向量共線的條件. .通過兩向量共線可得坐

4、標(biāo)的通過兩向量共線可得坐標(biāo)的 關(guān)系，列出等式，求得參數(shù)的值關(guān)系，列出等式，求得參數(shù)的值. . a b ka2b2a4b 與 【規(guī)范解答規(guī)范解答】方法一：向量方法一：向量 平行，則存在唯平行，則存在唯 一實(shí)數(shù)一實(shí)數(shù)，使，使 =k(1,2)+2(-3,2)=k(1,2)+2(-3,2) =(k-6,2k+4).=(k-6,2k+4). =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), (k-6,2k+4)=(14,-4).(k-6,2k+4)=(14,-4). 即實(shí)數(shù)即實(shí)數(shù)k k的值為的值為-1.-1. ka2b2a4b 與 ka2b2a4b . k

5、a2b 2a4b 1 k614 , 2 2k44 , k1. 解得 方法二：方法二： =k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4),=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4), =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), 平行，平行， （k-6k-6）(-4)-(2k+4)(-4)-(2k+4)14=0.14=0. 解得解得k=-1.k=-1. ka2b 2a4b ka2b2a4b 與 向量的夾角和垂直問題向量的夾角和垂直問題 1.1.兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式. . 非零向量非零向量 =(x=(x1 1,y,y1

6、1),), =(x=(x2 2，y y2 2) )的夾角為的夾角為，則有，則有 2.2.兩向量垂直的條件兩向量垂直的條件. . a b 1212 2222 1122 x xy ya b cos. a bxyxy 1212 aba b0 x xy y0. 要分清兩向量垂直的條件和兩向量平行的條件要分清兩向量垂直的條件和兩向量平行的條件 坐標(biāo)表示的區(qū)別坐標(biāo)表示的區(qū)別. . 【例例3 3】設(shè)兩個(gè)向量設(shè)兩個(gè)向量 ，滿足，滿足 |=2,|=2,| |=1,|=1, 的夾角為的夾角為 ，若向量，若向量 的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù) t t的范圍的范圍. . 【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】題目中給出向量的

7、夾角以及題目中給出向量的夾角以及 =2=2和和| | |=1|=1 等條件，由公式等條件，由公式cos=cos= 可得可得若為鈍角，則若為鈍角，則coscos 0 0且且cos-1cos-1，即，即 0.0.同時(shí)也應(yīng)注意向量的共線反向這同時(shí)也應(yīng)注意向量的共線反向這 一情況一情況. . 12 ee 與 1 e 2 e 12 ee 與 3 1212 2te7eete 與 1 e 2 e a b ab a b 【規(guī)范解答規(guī)范解答】由已知由已知 為鈍角，為鈍角，2t2t2 2+15t+70,+15t+70,得得-7t-7t . . 又由又由 tt的取值范圍是（的取值范圍是（-7-7， ）( ( , ,

8、 ).). 1212 eee e cos1 3 ， 22 2 12121122 2 (2te7e ) (ete )2te2t7 ee7te 2t15t7. 1 2 1212 2te7eete,(0) 2t 14 ,t. 7t2 14 2 1 2 14 2 【例例4 4】求證：求證：ABCABC的三條高線交于一點(diǎn)的三條高線交于一點(diǎn). . 【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】證明本題的關(guān)鍵是先找出其中兩條高線的交點(diǎn)，證明本題的關(guān)鍵是先找出其中兩條高線的交點(diǎn)， 然后讓另一個(gè)頂點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與其對邊垂直然后讓另一個(gè)頂點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與其對邊垂直. . 【規(guī)范解答規(guī)范解答】如圖，已知如圖，已知ADAD，BEBE，CFCF

9、是是ABCABC的三條高，設(shè)的三條高，設(shè)BEBE， CFCF交于點(diǎn)交于點(diǎn)H H，且令，且令 可得可得 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以 所以所以 運(yùn)算并化簡得運(yùn)算并化簡得 ABb,ACc,AHh ， BHhb,CHhc,BCcb. BHAC,CHAB, (hb) c0 (hc) b0, ， (hb) c(hc) b ，hcb0, 所以所以 又又ADBCADBC且且AHAD=A,AHAD=A, 所以所以A A、H H、D D三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線， 所以所以ADAD，BEBE，CFCF相交于一點(diǎn)相交于一點(diǎn)H.H. 即即ABCABC的三條高交于一點(diǎn)的三條高交于一點(diǎn). . AHBC ， 向量模的問題向量模的問題 解決

10、向量模的問題常用的策略解決向量模的問題常用的策略 （1 1）應(yīng)用公式：）應(yīng)用公式： = = ( (其中其中 =(x,y);=(x,y); （2 2）應(yīng)用三角形或平行四邊形法則；）應(yīng)用三角形或平行四邊形法則； （3 3）應(yīng)用向量不等式應(yīng)用向量不等式 (4)(4)研究模的平方研究模的平方 a 22 xya ababab 2 2 abab. 【例例5 5】 【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】本題主要考查向量的模的運(yùn)算及向量數(shù)量積的本題主要考查向量的模的運(yùn)算及向量數(shù)量積的 運(yùn)算，可以用平方求解法，也可以由運(yùn)算，可以用平方求解法，也可以由 =1=1，設(shè)出，設(shè)出 的坐標(biāo)，化為坐標(biāo)運(yùn)算的坐標(biāo)，化為坐標(biāo)運(yùn)算. . ab1,

11、 3a2b3,3ab. 設(shè)求的值 ab a,b 【規(guī)范解答規(guī)范解答】方法一：方法一： 22 3a2b39a12a b4b9. ， 1 ab1,a b. 3 又 22 22 1 3ab(3ab)9a6a bb96112, 3 3ab2 3. 故 方法二：設(shè)方法二：設(shè) =(x=(x1 1,y,y1 1),), =(x=(x2 2,y,y2 2),), =1,x=1,x1 12 2+y+y1 12 2=x=x2 22 2+y+y2 22 2=1.=1. =(3x =(3x1 1-2x-2x2 2,3y,3y1 1-2y-2y2 2),), = =3, = =3, xx1 1x x2 2+y+y1 1

12、y y2 2= ,= , a b ab 3a2b 3a2b 22 1212 3x2x3y2y 1 3 22 1212 3ab3xx3yy 2222 11221212 9 xyxy6(x xy y ) 1 9 162 3. 3 待定系數(shù)法解決向量問題待定系數(shù)法解決向量問題 待定系數(shù)法在向量中的應(yīng)用待定系數(shù)法在向量中的應(yīng)用 待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中一種非常重要的方法，對于某些數(shù)學(xué)問待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中一種非常重要的方法，對于某些數(shù)學(xué)問 題，若已知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可引入一些尚題，若已知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可引入一些尚 待確定的系數(shù)（或參數(shù)）來表示這樣的結(jié)果，通過變形比較，待確定的系數(shù)

13、（或參數(shù)）來表示這樣的結(jié)果，通過變形比較， 建立起含有待定字母系數(shù)（或參數(shù)）的方程（組），并求出建立起含有待定字母系數(shù)（或參數(shù)）的方程（組），并求出 相應(yīng)的字母（或參數(shù)）的值，進(jìn)而使問題獲解，這種方法稱相應(yīng)的字母（或參數(shù)）的值，進(jìn)而使問題獲解，這種方法稱 為待定系數(shù)法，在向量中，這種方法也被廣泛應(yīng)用，如平行為待定系數(shù)法，在向量中，這種方法也被廣泛應(yīng)用，如平行 向量基本定理、平面向量基本定理就是這種方法的體現(xiàn)形式向量基本定理、平面向量基本定理就是這種方法的體現(xiàn)形式. . 【例例6 6】如圖，在如圖，在ABCABC中，中，M M是是BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， N N在在ACAC上且上且AN=2NCA

14、N=2NC，AMAM與與BNBN交于點(diǎn)交于點(diǎn)P P， 求求APPMAPPM的值的值. . 【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】題目中給出了題目中給出了M M點(diǎn)是點(diǎn)是ABCABC 的邊的邊BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，ACAC邊上的點(diǎn)邊上的點(diǎn)N N滿足滿足AN=2NCAN=2NC，欲求，欲求APPMAPPM的值，的值， 可適當(dāng)選取基底表示出可適當(dāng)選取基底表示出 因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)A A、P P、M M共線，若有共線，若有 則則為為APPMAPPM的值的值. . AP,PM ， APPM ， 【規(guī)范解答規(guī)范解答】 AA、P P、M M與與B B、P P、N N共線共線, , APPM=41.APPM=41. 1221 BMe

15、 ,CNeAMACCM3ee 設(shè)， 12 BN2ee , 1212 APAMe3e,BPBN2ee. BABPPABCCA, 1 12212 2eee3e2e3e , 4 22 5 333 5 ， 4 APAM, 5 平面向量的應(yīng)用平面向量的應(yīng)用 平面向量兩個(gè)方面的應(yīng)用平面向量兩個(gè)方面的應(yīng)用 (1)(1)在平面幾何中的應(yīng)用在平面幾何中的應(yīng)用. . 向量的加法運(yùn)算和全等、平行，數(shù)乘向量和相似，距離、夾向量的加法運(yùn)算和全等、平行，數(shù)乘向量和相似，距離、夾 角和數(shù)量積之間有著密切聯(lián)系，因此利用向量方法可以解決角和數(shù)量積之間有著密切聯(lián)系，因此利用向量方法可以解決 平面幾何中的相關(guān)問題平面幾何中的相關(guān)問

16、題. . (2)(2)在物理中的應(yīng)用在物理中的應(yīng)用. . 主要解決力、位移、速度等問題主要解決力、位移、速度等問題. . 【例例7 7】已知正方形已知正方形ABCD,EABCD,E、F F分別是分別是CDCD、ADAD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BEBE、CFCF 交于點(diǎn)交于點(diǎn)P.P. 求證：（求證：（1 1）BECFBECF；（；（2 2）AP=AB.AP=AB. 【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】本題欲求證線段本題欲求證線段垂直和相等，可轉(zhuǎn)化為向量的垂直和相等，可轉(zhuǎn)化為向量的 垂直和向量的模相等問題垂直和向量的模相等問題. .已知正方形已知正方形ABCDABCD，可建系設(shè)點(diǎn)，把，可建系設(shè)點(diǎn)，把 向量用坐標(biāo)表示出來，

17、用向量的有關(guān)知識解決向量用坐標(biāo)表示出來，用向量的有關(guān)知識解決. . 【規(guī)范解答規(guī)范解答】如圖建立平面直角坐標(biāo)系如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOyxOy，其中，其中A A為原點(diǎn)，為原點(diǎn)， 不妨設(shè)不妨設(shè)AB=2AB=2， 則則A(0,0),B(2,0),C(2,2),A(0,0),B(2,0),C(2,2), E(1,2),F(0,1).E(1,2),F(0,1). (1) (1) =(1,2)-(2,0)=(-1,2)=(1,2)-(2,0)=(-1,2)， =(0,1)-(2,2)=(-2,-1)=(0,1)-(2,2)=(-2,-1)， =-1=-1(-2)+2(-2)+2(-1)=0(-1)=0

18、， 即即BECF.BECF. BEOEOB CFOFOC BE CF BECF ， （2 2）設(shè)）設(shè)P(x,y)P(x,y)，則，則 = =（x,y-1x,y-1）, , =(-2,-1)=(-2,-1)， -x=-2(y-1)-x=-2(y-1)，即，即x=2y-2.x=2y-2. 同理由同理由 ，得，得y=-2x+4,y=-2x+4,代入代入x=2y-2.x=2y-2. FP CF FPCF ， BPBE 686 8 xyP( , ). 555 5 解得，即 22 22 68 AP( )( )4AB 55 ， APABAPAB. ，即 【例例8 8】如圖所示，求兩個(gè)力如圖所示，求兩個(gè)力 的

19、合力的合力 的大?。ň_到的大?。ň_到0.1 N0.1 N）和）和 方向（精確到分）方向（精確到分）. . 【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】題中給出兩個(gè)力的大小題中給出兩個(gè)力的大小 及夾角的數(shù)值，欲求合力，可利用向量的加法運(yùn)算，在三角及夾角的數(shù)值，欲求合力，可利用向量的加法運(yùn)算，在三角 形中解決形中解決. . 12 F F 、 F 【規(guī)范解答規(guī)范解答】設(shè)設(shè) =(a=(a1 1,a,a2 2),), =(b=(b1 1,b,b2 2),), 則則a a1 1=300cos30=300cos30259.8,259.8, a a2 2=300sin30=300sin30=150.0=150.0， b b1 1

20、=-200cos45=-200cos45-141.4,-141.4, b b2 2=200sin45=200sin45141.4,141.4, 所以所以 =(259.8,150.0),=(259.8,150.0), =(-141.4,141.4),=(-141.4,141.4), =(259.8,150.0)+(-141.4,141.4)=(259.8,150.0)+(-141.4,141.4) =(118.4,291.4),=(118.4,291.4), 2 F 12 FFF 1 F 1 F 1 F 設(shè)設(shè) 與與x x軸的正向夾角為軸的正向夾角為, 則則tan=tan= 2.461 1.2.4

21、61 1. 由由 的坐標(biāo)知的坐標(biāo)知是第一象限的角，所以是第一象限的角，所以676753.53. 所以兩個(gè)力的合力是所以兩個(gè)力的合力是314.5 N314.5 N，與，與x x軸的正方向的夾角為軸的正方向的夾角為 67675353，與，與y y軸的夾角為軸的夾角為22227.7. 22 F118.4291.4314.5. F 291.4 118.4 F 1.1.設(shè)平面向量設(shè)平面向量 = =（3,53,5）, , = =（-2,1-2,1）, ,則則 =( )=( ) （A A）（）（7 7，3 3）（）（B B）（）（7,77,7）（）（C C）（）（1,71,7）（）（D D）（）（1,31,

22、3） 【解析解析】選選A.A. =(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).=(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3). a b a2b a2b 2.2.給出下列各命題：給出下列各命題： （1 1）向量）向量 的長度與向量的長度與向量 的長度相等；的長度相等； （2)2)向量向量 與向量與向量 平行，則平行，則 與與 的方向相同或相反；的方向相同或相反； （3 3）兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；）兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同； （4 4）兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；）兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量； （

23、5 5）向量）向量 與向量與向量 是共線向量，則點(diǎn)是共線向量，則點(diǎn)A A、B B、C C、D D必在必在 同一條直線上；同一條直線上； （6 6）有向線段就是向量，向量就是有向線段）有向線段就是向量，向量就是有向線段. . 其中假命題的個(gè)數(shù)為其中假命題的個(gè)數(shù)為( )( ) （A A）2 2 （B B）3 3 （C C）4 4 （D D）5 5 AB BA a b a b AB CD 【解析解析】選選C.C.抓住方向、長度、零向量，結(jié)合作圖判斷抓住方向、長度、零向量，結(jié)合作圖判斷. . （1 1）真命題）真命題. . （2 2）假命題）假命題. .若若 與與 中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確中有

24、一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確 定的定的. . （3 3）真命題）真命題. . （4 4）假命題）假命題. .終點(diǎn)相同并不能說明這兩個(gè)向量的方向相同或終點(diǎn)相同并不能說明這兩個(gè)向量的方向相同或 相反相反. . （5 5）假命題）假命題. .共線向量所在的直線可以重合，也可以平行共線向量所在的直線可以重合，也可以平行. . （6 6）假命題）假命題. .向量是用有向線段來表示的，但并不是有向線向量是用有向線段來表示的，但并不是有向線 段段. . a b 3.3.已知已知 =(1,0), =(1,0), =(0,1),=(0,1),則與向量則與向量 垂直的一個(gè)向量垂直的一個(gè)向量 為為( )( ) （A

25、 A） （B B） （C C） （D D） 【解析解析】選選C.C.設(shè)設(shè) 則則 =0=0， 且且 故故2a+b=02a+b=0，C C項(xiàng)符合項(xiàng)符合. . i j 2ij 2ij ij i2j ij caibj a,bR , 2ij (aibj) （） 22 ij1,i j0, 4.4.若若 則則=( )=( ) （A A） （B B） （C C） （D D） 【解析解析】選選 故故=-=- . . 1 APPB,ABBP 3 ， 1 4 3 4 4 3 4 3 14 D.ABAPPBPBPBPBABBPPB. 33 ，又 4 3 5.5.已知直線已知直線ax+by+c=0ax+by+c=0與圓

26、與圓x x2 2+y+y2 2=1=1相交于相交于A A、B B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且 則則 =_. =_. 【解析解析】如圖，作如圖，作ODABODAB于于D D， 則在則在RtRtAODAOD中，中，OA=1OA=1， AD=AD= ，所以，所以AOD=60AOD=60，AOB=120AOB=120，所以，所以 =1=11 1(-(- )=)= . . 答案答案: : AB3 ， OA OB 3 2 OA OB |OA| OB cos120 1 2 1 2 1 2 6.6.已知向量已知向量 =(=( ,1),1), 是不平行于是不平行于x x軸的單位向量軸的單位向量, ,且且 則則 = =_.

27、. 【解析解析】設(shè)設(shè) =(m,n)=(m,n)，依題意有，依題意有 又又 不平行于不平行于x x軸，故軸，故 答案答案: : a b 3 a b3, b b 22 mn1, 3mn3. 1 m m1 2 n0 3 n. 2 ， ， 解得或 ， b 13 b( ,). 22 13 ( ,) 22 7.7.如圖，如圖，B B、C C是線段是線段ADAD的三等分點(diǎn)，分別的三等分點(diǎn)，分別 以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)最多可以寫出以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)最多可以寫出_個(gè)互不相等的非個(gè)互不相等的非 零向量零向量. . 【解析解析】可設(shè)可設(shè)ADAD的長度為的長度為3 3，那么長度為，那么長度為1 1的向量有的向量有6 6個(gè)，其中個(gè)，其中 長度為長度為2 2的向量有的向量有4 4個(gè)，其中個(gè)，其中 長度為長度為3 3的向量有的向量有2 2個(gè)，分別是個(gè)，分別是 ， 所以最多可以寫出所以最多可以寫出6 6個(gè)互不相等的非零向量個(gè)互不相等的非零向量. . 答案答案: :6 6 AB BC CD BA CBDC ， ； AC BD CA DB ， ；ADDA 和 8.8.已知已知 =(1,2),=(1,2), =(-2,n),=(-2,n), 與與 的夾角是的夾角是4545. . (1)(1)求求 ; ; (2)(2)若若 與與 同向同向,