單級移動(dòng)倒立擺建模與串聯(lián)超前校正設(shè)計(jì)書

1、單級移動(dòng)倒立擺建模及串聯(lián)超前校正設(shè)計(jì)書單級移動(dòng)倒立擺建模及串聯(lián)超前校正設(shè)計(jì)1 單級移動(dòng)倒立擺的 Newton方法建模1.1 非線性數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。實(shí)驗(yàn)建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵(lì)研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號的設(shè)計(jì)選取，輸出信號的精確檢測，數(shù)學(xué)算法的研究等等容。機(jī)理建模就是在了解研究對象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)部的輸入狀態(tài)關(guān)系。對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。但是經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次

2、要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。在此次的課程設(shè)計(jì)中我采用其中的 Newton方法建立單級移動(dòng)一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。1.1.1被控對象系統(tǒng)建模分析在忽略了空氣阻力和各種摩擦力后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和均質(zhì)桿組成的系統(tǒng)如下圖 1小車系統(tǒng)總體分析圖。 .設(shè)輸入作用力為 u，輸出為擺角圖 1 小車總系統(tǒng)分析小車質(zhì)量 M=1擺桿質(zhì)量 m=0.1小車摩擦系數(shù)b=0擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度l=0.5擺桿慣量 I=0.03加在小車上的力F小車位置 x擺桿與垂直向上方向的夾角（逆時(shí)針為正) 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮擺桿初始

3、位置為豎直向下，順時(shí)針為正）圖 2 是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中， N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直分析的分量。PNFmgMbxNPxx圖二圖 2 系統(tǒng)分隔分析圖應(yīng)用 Newton 方法來建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程過程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：Mx F bx N由擺桿水平方向所受的合力，可以得到以下方程：2Nm d 2( xl sin) -dtNmxmlcosml ()2 sin合并可得：(M m)x bx ml cos() 2 sin F -為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程：Pmg m d 2(l c

4、os )dt 2Pmgmlsin( )2 cos合并得到力矩平衡方程如下：Pl sinNl cosI-方程中，當(dāng) 與 1（單位是弧度）相比很小時(shí)，可以進(jìn)行近似處理：cos1、 sin、 ( d)20 ，用 u 來代替被控對象的輸入力F，線性化兩個(gè)運(yùn)動(dòng)dt方程（即將上述等式帶入和）如下：( M m) x bx mlu( I ml2 )mglmlx -對方程組進(jìn)行拉普拉斯變換，得到：( M m) X (s)s2bX (s)sml ( s)s2U ( s) -( Iml 2 )( s) s2mgl( s)mlX (s) s2注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度，求解方程組的第二個(gè)方程

5、，可以得到：( Iml 2g(s)X (s) mls2 把上式帶入方程組的第二個(gè)方程，得到輸入到輸出- 擺桿角度的傳遞函數(shù)：(s)ml sqU (s)s3b( I ml 2 ) s2(M m)mgl sbmglqqq其中 q( Mm)( I ml 2 )( ml ) 2 根據(jù)題目所給的條件得出原函數(shù)的傳遞函數(shù)為G( s)(s)0.8U (s)s29.162 倒立擺系統(tǒng)的串聯(lián)超前校正裝置校正分析2.1 未校正系統(tǒng)輸出動(dòng)態(tài)性能原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3 所示，設(shè)輸入為單位階躍響應(yīng)圖 3 simulink仿真用 MATLAB做出單位階躍響應(yīng)曲線如下圖4圖 4 單位階躍響應(yīng)曲線用 MATLAB做出傳遞函數(shù)的根

6、軌跡圖圖5,MATLAB程序如下n=0.8d=1 0 -9.16Rlocus （ n,d ）圖5根軌跡用 matlab 做伯德圖圖 6，MATLAB程序如下G=tf(0.8,conv(1 0 -9.16,1),bode(G)圖6 伯德圖圖 5、圖 6 分別為系統(tǒng)未校正前的閉環(huán)根軌跡和波特圖，由這兩圖也可看出系統(tǒng)處于非穩(wěn)定狀態(tài)。2.2系統(tǒng)的串聯(lián)超前裝置校正2.2.1參數(shù)修正超前校正就是在前向通道中串聯(lián)傳遞函數(shù)為GC ( s)aTs1 ，a1 的校正裝置，其中參Ts1數(shù) a、T 為可調(diào)，如下圖，從超前校正的零、極點(diǎn)可以位于s 平面負(fù)實(shí)軸上的任意位置，從而產(chǎn)生不同的校正效果。超前校正的基本原理就是利

7、用超前相角補(bǔ)償系統(tǒng)的滯后相角，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，如增加相位裕度，提高洗頭膏穩(wěn)定性等。在串聯(lián)超前裝置 GC ( s)aTs1 后，該開環(huán)傳遞函數(shù)為 G (s)Ts30.8aTs 0.8，所以Ts1s29.16Ts9.16特征方程為 D (s)Ts3s2(0.8aT9.16T )s 8.36 ，利用勞斯判據(jù)判斷其穩(wěn)定性s 3T( 0 .8 aT9.16T )s 218 .36s1( 0 .8 aT0.8T )0s 08 .36圖 7勞斯表可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)原系統(tǒng)加入了超前校正裝置之后，系統(tǒng)仍然為不穩(wěn)定，則根據(jù)我的判定是題目的參數(shù)有偏差，所以我修改了數(shù)據(jù)改變了小車質(zhì)量M 和擺桿的質(zhì)量m，設(shè) M=0.05，

8、m=0.01求得新的原傳遞函數(shù)為 G(s)( s)15U (s)s29圖 8 simulink仿真圖用 MATLAB做出單位階躍響應(yīng)曲線，如下圖9 單位階躍響應(yīng)曲線圖 9單位階躍響應(yīng)曲線用 matlab 做出根軌跡圖 10，MATLAB程序如下n=15d=1 0 -9rlocus(n,d)圖 10 根軌跡圖用 matlab 做出伯德圖如圖 11， MATLAB程序如下G=tf(15,1 0 -9);margin(G)圖 11伯德圖2.2.2串聯(lián)超前校正裝置15aTs15串聯(lián)超前校正裝置G (s)Ts3 s2 9Ts 9 同時(shí)用勞斯判據(jù)來判定新的校正后的傳遞函數(shù)s 3T(15 aT9T )s 2

9、16s 1(15 aT15T )0s 06圖 12勞斯表可得，新的傳遞函數(shù)可以通過改變變量的方法使其在串聯(lián)超前校正裝置后穩(wěn)定T0T015aT15T0a1即是當(dāng) a 和 T 兩個(gè)變量取以上圍的時(shí)候，可以是系統(tǒng)穩(wěn)定。為了符合設(shè)計(jì)要中所需要達(dá)到的參數(shù)圍，我進(jìn)行了小圍的假設(shè)和調(diào)節(jié)設(shè)a=2 的時(shí)候，同時(shí)使 G(s) 的形式更加接近于典型的二階系統(tǒng)，又因?yàn)镚 (s)15aTs15，可以先進(jìn)行幾何化簡Ts3s29Ts9329(15aTss2a13當(dāng)a2Tss 9Ts15)* (2s )T 0.1715a15a T5G ( s)1256s2a21 s3s28s 6415a15a T52.3校正后系統(tǒng)的穩(wěn)定性分

10、析圖 13 simulink仿真用 MATLAB做出新的單位階躍響應(yīng)曲線如下圖14圖 14由系統(tǒng)校正后單位階躍響應(yīng)曲線（設(shè)在t=1s 時(shí)輸入單位階躍信號）可得，設(shè)計(jì)要求%16.3%, t s1.5s用 matlab 做出校正后傳遞函數(shù)的根軌跡圖如下圖 15， MATLAB程序如下 n=256d=1 864rlocus(n,d)圖 15用 matlab 做出伯德圖如下圖 16，MATLAB程序如下G=tf(256,1 8 64);margin(G)圖 16分別為系統(tǒng)校正后的閉環(huán)根軌跡和波特圖，由這兩圖可看出系統(tǒng)已處于穩(wěn)定狀態(tài)。3 校正前系統(tǒng)與校正后系統(tǒng)的比較通過在前通道串聯(lián)超前校正裝置，我得到了

11、一個(gè)穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)，超前校正裝置的串入，使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程的超調(diào)量下降由原來的不穩(wěn)定時(shí)的無窮到校正后的%16.3%同時(shí)調(diào)節(jié)時(shí)間縮短至1s，前通道串聯(lián)超前校正裝置校正成功，滿足設(shè)計(jì)所限制圍。引入超前校正裝置對原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度沒有影響。4 設(shè)計(jì)心得體會起初看到這個(gè)題目，對倒立擺的認(rèn)識不足，而且對如何對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行建模毫無思路。倒立擺既具有普遍性又具有典型性。倒立擺系統(tǒng)作為一個(gè)控制裝置，結(jié)構(gòu)簡單、價(jià)格低廉，便于模擬和數(shù)字實(shí)現(xiàn)多種不同的控制方法，作為一個(gè)被控對象，它是一個(gè)高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強(qiáng)耦合的快速系統(tǒng)，只有采用行之有效的控制策略，才能使其穩(wěn)定。倒立擺系統(tǒng)可以用多種理論和方法來實(shí)現(xiàn)

12、其穩(wěn)定控制。 我的設(shè)計(jì)是用串聯(lián)超前裝置，起初認(rèn)為很簡單，但是當(dāng)我建立新的校正后的系統(tǒng)是，利用勞斯判據(jù)得出新系統(tǒng)仍然為不穩(wěn)定，于是就修改了參數(shù)，改參數(shù)的過程是非常的困難的過程，但是有MATLAB的幫助，通過發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的過程中，讓我對軟件 MATLAB的掌握以及對系統(tǒng)校正有了更加深刻的認(rèn)識通過本次設(shè)計(jì)查閱各種書籍都是非常重要的，特別是系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，系統(tǒng)各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，穩(wěn)態(tài)誤差，伯德圖以及系統(tǒng)根軌跡等相關(guān)知識的理解。設(shè)計(jì)時(shí)借助 MATLAB軟件進(jìn)行控制系統(tǒng)分析， 進(jìn)一步熟悉了 MATLAB語言及其應(yīng)用，在設(shè)計(jì)完成時(shí)又加強(qiáng)了對 WORD軟件的運(yùn)用和了解同時(shí)我在網(wǎng)上和圖書館查到很多相關(guān)的資料

13、，在查閱了不少的資料后，開始設(shè)計(jì)就有很強(qiáng)的邏輯性，可以讓我開始設(shè)計(jì)時(shí)更加得心應(yīng)手。在自己的努力的時(shí)候，請教導(dǎo)師和同學(xué)也是必不可少的，導(dǎo)師會引導(dǎo)我把握住設(shè)計(jì)的中心思路，避免犯不必要的錯(cuò)誤。同學(xué)們的新觀點(diǎn)也給了我不少靈感總之，通過每一次課程設(shè)計(jì)，都為我今后的畢業(yè)設(shè)計(jì)打下了扎實(shí)的基礎(chǔ)，讓我明白自主學(xué)習(xí)的過程是痛苦的，但是結(jié)果往往是甜蜜的。讓我領(lǐng)悟到做任何事“毅”字當(dāng)頭，我的這次設(shè)計(jì)就是在修改參數(shù)時(shí)費(fèi)了很多的時(shí)間，如果我沒有堅(jiān)持下來的，也不會完成這次設(shè)計(jì)。最后，感老師對我不厭其煩的指導(dǎo)，熱心的幫助我?guī)臀医鉀Q問題，是我能更加從容的完成這次設(shè)計(jì)。參考文獻(xiàn)1 胡壽松 . 自動(dòng)控制原理 ( 第五版 ). ：科

14、學(xué)， 20072 王萬良 . 自動(dòng)控制原理 . ：高等教育， 20083 王曉元，廖紅，黎，想寧 . 大學(xué)物理學(xué)（上） . ：理工大學(xué)20084 夏瑋 . MATLAB控制系統(tǒng)仿真與實(shí)例詳解 . ：人民郵電， 20085 周品，新芬 . MATLAB數(shù)學(xué)建模與仿真 . ：國防工業(yè)本科生課程設(shè)計(jì)成績評定表姓名專業(yè)、班級馬田性別男自動(dòng)化學(xué)院電氣0803 辦課程設(shè)計(jì)題目：單級移動(dòng)倒立擺建模及串聯(lián)超前校正設(shè)計(jì)課程設(shè)計(jì)答辯或質(zhì)疑記錄：問題 1： G(s)(s)15所示的的 simulink仿真圖像是什么函數(shù)？U (s)s29答：所示的 simulink仿真圖像為單位階躍響應(yīng)曲線。問題 2：當(dāng)原系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，修改參數(shù)后，如何使超調(diào)量接近設(shè)定值？答：因?yàn)楸鞠到y(tǒng)的參數(shù)設(shè)定原因，我將放大增益進(jìn)行微調(diào)，使其滿足條件，讓串聯(lián)超前校正裝置后的傳遞函數(shù)的超前量滿足設(shè)定值。問題 3