大學高數(shù)期末考試題及答案

1、。第一學期高等數(shù)學期末考試試卷答案一計算題（本題滿分35 分，共有 5 道小題，每道小題7 分），1cosxx2 x1求極限 limsin3xx0解：1cosxx1xcosx x2x1cos x112x22limlimlimsin3xx3x3x 0x0x0xln 1cosxln 1cosxx ln12x ln2cosx1 cosxlime31lime1lim2lim2x1cosxx3x2x0x 0x 0x0x ln2lim1sin x1 x0cos x 2 x4與 x23 x2設(shè) x0時， fx是等價無窮小，f t dt 與 Ax k 等價無窮小，求常數(shù)k 與 A 20解：3x3xftdt由于

2、當 x0時，ft dt 與 Axk 等價無窮小，所以lim0k1 而0x 0Ax3 x21x 31f tdtf3x2233x2f3x233x2x3x31lim0limlimlimlimAx kx 0x0Akxk1x 02Akxk1x0 6Akx k 1x 0 6Akx k 1x 32所以， lim11因此， k1,A1x0 6 Akxk163如果不定積分x2axbdx 中不含有對數(shù)函數(shù)，求常數(shù)a 與 b 應滿足的條件x12x21解：精選資料，歡迎下載。將x2axb化為部分分式，有2x2x11x2axbAB2CxD ，2x 1x 11 x2x 1 1 x2因此不定積分x2axbdx 中不含有對數(shù)

3、函數(shù)的充分必要條件是上式中的待定系數(shù)x1 2 1 x2AC0 即x2ax bBDB 1 x2D x 1 2x 1 2 1 x2x 1 21 x2x 1 21 x2所以，有 x2axbB 1x 2D x1 2BD x22DxBD比較上式兩端的系數(shù)，有1BD ,a2D ,bBD所以，得b1525計算定積分min1,x2dx 0解：min1,x2x2x211x211x12x1x2x22x31x351252213所以， min 1,x2dx1dx2x dxx2 dx001285設(shè)曲線 C 的極坐標方程為 ra sin 3，求曲線 C 的全長3解：曲線 ra sin3一周的定義域為 03，即 03因此曲

4、線 C 的全長為3322 d3a2 sin6a 2 sin 4cos23a sin23 a srrdd00333032精選資料，歡迎下載。二（本題滿分45 分，共有 5 道小題，每道小題9 分），6 求出函數(shù)f xsinxlim2n 的所有間斷點，并指出這些間斷點的類型n12 x解：sinxx121sinxx1f xlim2212n11n2 xx220x12因此 x111是函數(shù) fx 的間斷點2與 x22limfxlim0 0， limf xlimsinx1 ，因此 x1 是函數(shù) fx 的第一類可11x112xx2x222去型間斷點limfxlimsinx1 ， lim fxlim01是函數(shù)

5、fx 的第一類可去型0 ，因此 x111x12xxx2222間斷點7設(shè)是函數(shù) fx arcsin x 在區(qū)間 0, b 上使用 Lagrange （拉格朗日）中值定理中的 “中值 ”，求極限 limb 0 b解：fxarcsin x 在區(qū)間 0,b 上應用 Lagrange 中值定理，知存在0, b ，使得arcsinbarcsin01b 012b2所以，2因此，1arcsinbb221arcsinb 2b2limarcsinblim2limb2b2 arcsinb2b0 bb 0b 0令 tarcsinb，則有精選資料，歡迎下載。lim2t 2sin 2 tt 2sin 2 t2lim2si

6、n2lim4b 0bt0ttt 0t2tsin 2t22cos2t11cos2t12 sin 2t1lim4t 3lim12t 2limt 2lim2t3t0t06 t06 t 0所以， lim1b0 b31x18 設(shè) f xey 2 y dy ，求f x dx 00解：111fx dxxfxxfx dx0001x在方程 fxey2y dy 中，令 x1，得0110f 1ey 2 y dyey 2 y dy 0 00再在方程1因此，01xf xe1 x2fxey 2y dy 兩端對 x 求導，得，0111fx dxxf xxf x dxxfx dx00011111 x2dx e xex2ex2

7、xedx e20001 e1 29研究方程 exa x2 a0 在區(qū)間,內(nèi)實根的個數(shù)解：設(shè)函數(shù) fxax2 e x1， fx2axe xax2e xax 2x e x 令 fx0 ，得函數(shù)f x 的駐點 x10,x22 由于 a0 ，所以limfxlimax2e xxxlimfxlimax 2e xxx1 ，1 a limx21 a lim2x1 a lim211exexexxxx精選資料，歡迎下載。因此，得函數(shù) fx 的性態(tài)x,000,222,fx00fx14ae 211 若 4ae210，即 ae2時，函數(shù)f xax2 e x1在,0、0,2、2,內(nèi)4各有一個零點，即方程exa x2在,內(nèi)

8、有 3 個實根 若 4ae210 ，即 ae2時，函數(shù) fxax2 e x1在,0、0,內(nèi)各有一個零4點，即方程 exa x2 在,內(nèi)有 2 個實根 若 4ae210 ，即 ae2時，函數(shù)fxax 2e x1在, 0 有一個零點，即方程4exa x 2在,內(nèi)有 1 個實根10 設(shè)函數(shù) f x 可導，且滿足fxx f x 1， f 00 試求函數(shù) fx 的極值解：在方程 fxxf x1中令 tx ，得 f tt ft 1 ，即fxxfx1 在方程組fxxfxx中消去fx，得xfxfxxfxxx21x2x2積分，注意 f00 ，得 fxf0tt2 dt 即0 1t精選資料，歡迎下載。xt 2 dt

9、1 ln 1f xtxx2arctan x 0 1t 22由 fxxx 2f x的駐點 x10, x21而 fx12 x x21x2得函數(shù)1 x22所以，f010 ， f110 21所以， f00是函數(shù) f x極小值； f1ln 2是函數(shù) f x極大值124三應用題與證明題（本題滿分20 分，共有2 道小題，每道小題10 分），11求曲線yx 的一條切線，使得該曲線與切線l 及直線 x0 和 x2 所圍成的圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積為最小解：設(shè)切點坐標為 t,t1，可知曲線 yx 在 t ,t 處的切線方程為，由 y2 tyt11xt x t ，或 y2 t2t因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為2V0

10、1282x tx dx4 2t2 t43t所以， dV82 0 得駐點 t2，舍去 t2由于dt 43t233d 2V160 ，因而函數(shù) V 在 t2處達到極小值，而且也是最小值因此所求切dt2243t2t3t233線方程為 y3 x14212 設(shè)函數(shù) fx 在閉區(qū)間0， 1 上連續(xù)，在開區(qū)間0， 1內(nèi)可導，且2e f x arctan xdx1 ， f 10 02精選資料，歡迎下載。證明：至少存在一點0， 1，使得 f112 arctan解：因為 fx 在閉區(qū)間0, 1上連續(xù)，所以由積分中值定理，知存在20,，使得2e fx arctanxdx2 efarctan02由于efxarctan

11、xdx1 ，所以，2 e farctan1再由 f10 ，得022e farctane f1arctan 14作函數(shù) g xef xarctan x ，則函數(shù)在區(qū)間, 10,1 上連續(xù)，在區(qū)間, 1 內(nèi)可導所以由Rolle中值定理，存在,10,1 ，使得 g0 而g xef xfx arctan xefx1x2所以存在,10, 1 ，使得e ffarctane f2 0 1由于 e f0 ，所以 farctan1120，即 f121arctan精選資料，歡迎下載。一個處處像別人表明自己優(yōu)秀的，恰恰證明了他（她）并不優(yōu)秀，或者說缺什么，便炫耀什么。真正的優(yōu)秀，并不是指一個人完美無缺，偶像般的光芒

12、四射。而是要真實地活著，真實地愛著。對生活飽有熱情，滿足與一些小確幸，也要經(jīng)得起誘惑，耐得住寂寞，內(nèi)心始終如孩童般的純真。要知道，你走的每一步，都是為了遇見更好的自己，都是為了不辜負所有的好年華。一個真實的人，一定也是個有擔當?shù)?。不論身處何地，居于何種逆境，他（她）們都不會畏懼坎坷和暴風雨的襲擊。因為知道活著的意義，就是真實的直面風浪。精選資料，歡迎下載。生而為人，我們可以失敗，卻不能敗的沒有風骨，甚至連挑戰(zhàn)的資格都不敢有。人當如玉，無骨不去其身。生于塵，立于世，便該有一顆寬厚仁德之心，便有一份容天下之事的氣度。一個真實的人，但是又不會過于執(zhí)著。因為懂得，水至清則無魚，人至察則無徒的道理。完美

13、主義者最大的悲哀，就是活得不真實，不知道審時度勢，適可而止。一扇窗，推開是艷陽天，關(guān)閉，也要安暖向陽。不煩不憂，該來的就用心珍惜，坦然以對；要走的就隨它去，無怨無悔。人活著，就是在修行，最大的樂趣，就是從痛苦中尋找快樂。以積極的狀態(tài)，過好每一天，生活不完美，我們也要向美而生。一個真實的人，一定是懂愛的。時光的旅途中，大多數(shù)都是匆匆擦肩的過客。只有那么微乎其微的人，才可以相遇，結(jié)伴同行。而這樣的結(jié)伴一定又是基于志趣相投，心性相近的品性。最好的愛，不是在于共富貴，而是可以共患難，就像一對翅膀，只有相互擁抱著才能飛翔。愛似琉璃，正是因為純粹干凈，不沾染俗世的美。懂愛的人，一定是真實的人。正是因為懂得真愛的不易，所以更是以真面目面對彼此，十指緊扣，甘愿與愛的人把世間各種風景都看透，無論風雨，安暖相伴。一個真實的人，定然是有著大智慧的。人生在世，什么都追求好，追求完美，雖然這是一種積極的思想，卻會很累，不僅自