二階常系數(shù)線性微分方程的解法（經(jīng)典實用）

1、二階常系數(shù)線性微分方程的解法1 二階常系數(shù)線性微分方程的解法二階常系數(shù)線性微分方程的解法 一、二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu)一、二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu) 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式 其中其中a, ,b是常數(shù)是常數(shù). . (1)(xfbyyay 0 byyay(2) 若若0)( xf, ,則則稱稱為為二二階階常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性微微分分方方程程, , 若若0)( xf, ,即即方方程程 稱為稱為二階常系數(shù)線性微分方程。二階常系數(shù)線性微分方程。 二階常系數(shù)線性微分方程的解法2 二階常系數(shù)二階常系數(shù)齊次齊次線性方程解的性

2、質(zhì)線性方程解的性質(zhì) 回顧回顧 一階齊次線性一階齊次線性方程方程0)( yxPy (1)(1) 1 1、方程、方程(1)(1)的任意兩個解的任意兩個解的的和仍是和仍是(1)(1)的解；的解； 2 2、方程、方程(1)(1)的任意一個解的常數(shù)倍仍是的任意一個解的常數(shù)倍仍是(1)(1)的解；的解； 二階常系數(shù)線性微分方程的解法3 二階常系數(shù)二階常系數(shù)齊次齊次線性方程解的性質(zhì)線性方程解的性質(zhì) 1 1、方程、方程(2)的任意兩個解的任意兩個解的的和仍是和仍是(2)的解；的解； 2 2、方程、方程(2)的任意一個解的常數(shù)倍仍是的任意一個解的常數(shù)倍仍是(2)的解；的解； 如如果果)(),( 21 xyxy是

3、是方方程程(2)的的兩兩個個解解, ,則則 )()( 2211 xyCxyCy 也是也是(2)的解的解. . 常常數(shù)數(shù)如如果果 )( )( 2 1 xy xy ( (稱稱線性無關(guān)線性無關(guān)),),則上式為 則上式為(2)的的通解通解. . 定理定理1 1 0 byyay(2) 二階常系數(shù)線性微分方程的解法4 二、二階常系數(shù)二、二階常系數(shù)齊次齊次線性方程的線性方程的解法解法 下下面面來來尋尋找找方方程程(2)的的形形如如 x y e 的的特特解解. . 將將 x y e 代代入入方方程程(2), ,得得 0e)( 2 x ba , , 而而0e x , ,于是有于是有 代數(shù)方程代數(shù)方程(3)稱為微

4、分方程稱為微分方程(2)的的特征方程特征方程, , 它的根稱為它的根稱為特征根特征根( (或或特征值特征值).). (3) 0 2 ba 0 byyay(2) 二階常系數(shù)線性微分方程的解法5 若若0 , , 則則特特征征方方程程(3)有有兩兩個個相相異異的的實實根根 2 2,1 a , , 得得到到方方程程(2)的的兩兩個個特特解解 x y 1 e 1 , , x y 2 e 2 , , 而而Cxyxy x )( 21 21 e)(/ )( , , 記記 ba4 2 , , 故它們線性無關(guān)故它們線性無關(guān), , 因此因此(2)的通解為的通解為 xx CCy 21 ee 21 (3) 0 2 ba

5、 情形情形1 1 二階常系數(shù)線性微分方程的解法6 若若 0 , , 則則特特征征方方程程(3)有有兩兩個個相相等等的的實實根根 只只得得到到方方程程(2)的的一一個個特特解解 x y 1 e 1 , , 設(shè)設(shè))(/ 12 xuyy , , 即 即 x xuy 1 e)( 2 , , 代代入入方方程程(2), ,并并約約去去 x 1 e , ,得得 因因為為 1 是是方方程程0 2 ba 的的二二重重根根, , 故有故有0 1 2 1 ba , ,02 1 a , , 0 u, , 取取特特解解 xu , , 即即得得 x xy 1 e 2 , , 于于是是(2)的的通通解解為為 x xCCy

6、1 e)( 21 . . 情形情形2 2 , 2 2, 1 a 2 y, ,使使 12 / yy常常數(shù)數(shù). . 需要求另一個特解需要求另一個特解 ,0)()2( 1 2 11 ubauau 二階常系數(shù)線性微分方程的解法7 若若 0 , , 則則特特征征方方程程(3)有有一一對對共共軛軛復(fù)復(fù)根根 情形情形3 3 i 2, 1 可以證明可以證明, ,cose 1 xy x xy x sine 2 是是(2)的解，的解，且線性無關(guān)，且線性無關(guān)，所以方程所以方程(2)的通解為的通解為 )sincos(e 21 xCxCy x 二階常系數(shù)線性微分方程的解法8 0 2 ba 0 byyay 小結(jié)小結(jié) 特征

7、根的情況特征根的情況 通解的表達式通解的表達式 21 rr 21 rr ir 2, 1 實根實根 實根實根 復(fù)根復(fù)根 xrxr CCy 21 ee 21 xr xCCy 1 e)( 21 )sincos(e 21 xCxCy x 二階常系數(shù)線性微分方程的解法9 解解特征方程為特征方程為 故所求通解為故所求通解為 求求微微分分方方程程032 yyy 的的通通解解. . 例例1 1 例例2 2.052的的通通解解求求方方程程 yyy 解解特征方程為特征方程為052 2 解得解得,21 21 i ， 故所求通解為故所求通解為)2sin2cos(e 21 xCxCy x 032 2 xx CCy 3

8、21 ee 3, 1 21 特征根為特征根為 二階常系數(shù)線性微分方程的解法10 解解特征方程為特征方程為 故通解為故通解為 求求微微分分方方程程0 d d 2 d d 2 2 s t s t s 滿滿足足初初始始條條件件 2)0(, 4)0( ss的特解的特解. . 2 2 C, , 所所以以所所求求特特解解為為 t ts e)24(. . 例例3 3 012 2 1 21 特征根為特征根為 t tCCs e)( 21 ,4)0( 1 Cs,e)( 212 t tCCCs ,2)0( 12 CCs 二階常系數(shù)線性微分方程的解法11 對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程 三、二階常系數(shù)三、二階常系數(shù)非齊次非

9、齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法線性方程解的性質(zhì)及求解法 (1)(xfbyyay 0 byyay(2) 1 1、方程方程(1)的任意一個解加上方程的任意一個解加上方程(2)的任意一個的任意一個 解是解是(1)的解；的解； 2 2、方程方程(1)的任意兩個解之差是的任意兩個解之差是(2)的解的解 . . . yYy 定理定理2 2 設(shè)設(shè))(xy 是是方方程程( (1 1) )的的一一個個特特解解, , )(xY是是( (2 2) )的的通通解解, , 那么方程 那么方程(1)(1)的通解的通解 為為 二階常系數(shù)線性微分方程的解法12 問題歸結(jié)為求方程問題歸結(jié)為求方程(1)的一個特解的一個特解. .

10、只討論只討論 f (x) 的兩種類型的兩種類型. . 用用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求解求解. . 對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程 三、二階常系數(shù)三、二階常系數(shù)非齊次非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法線性方程解的性質(zhì)及求解法 (1)(xfbyyay 0 byyay(2) . yYy )(xY是是( (2 2) )的的通通解解, , 那么方程那么方程(1)(1)的通解的通解 為為 定理定理2 2 設(shè)設(shè))(xy 是是方方程程( (1 1) )的的一一個個特特解解, , 二階常系數(shù)線性微分方程的解法13 其其中中 r 是是一一個個實實數(shù)數(shù), ,)(xPm是是m次次多多項項式式. . 設(shè)設(shè) xr xQye )( ,

11、,其中其中)(xQ是多項式是多項式, , 代代入入方方程程)(xfbyyay , , 整理并約去整理并約去 xr e, ,得得 )()()2( 2 xPQbarrQarQ m ( (* *) ) 型型、)(e)(1xPxf m xr 則則 xrxr xQxQye )(e )()( xrxrxr xQxQxQye )(e )(2e )()( 2 二階常系數(shù)線性微分方程的解法14 即即0 2 barr, , 則則可可設(shè)設(shè))(xQ為為次次數(shù)數(shù)與與)(xPm次次數(shù)數(shù)相相同同的的多多項項式式: : )()()2( 2 xPQbarrQarQ m ( (* *) ) 情形情形1 1 若若 r 不是特征根不

12、是特征根, , , )()(xQxQ m xr m xQye)( 即即 情形情形2 2 而而02 ar, , 若若 r 是特征方程的單根是特征方程的單根, , 即即0 2 barr, , , )()( xQxxQ m 則則令令即即 xr m xxQye)( 二階常系數(shù)線性微分方程的解法15 )()()2( 2 xPQbarrQarQ m ( (* *) ) 情形情形3 3 若若 r 是特征方程的是特征方程的二重二重根根, , 即即0 2 barr, , , )()( 2 xQxxQ m 則則令令即即且且02 ar, , xr m xQxye)( 2 二階常系數(shù)線性微分方程的解法16 綜上討論綜

13、上討論 )(xQ 不是特征根r )(exPbyyay m xr 設(shè)特解為設(shè)特解為 ，)(xQm 是單特征根r，)(xxQm 是二重特征根r ， xr xQye)( 其中其中 ，)( 2 xQx m )()()2( 2 xPQbarrQarQ m ( (* *) ) 然然后后將將 y代代入入原原方方程程，或或根根據(jù)據(jù)恒恒等等式式( (* *) )來來確確定定 )(xQ, ,從從而而得得到到特特解解 y. . ，若若)()(xPxf m 可可看看成成是是0 r的的特殊特殊情形情形。 二階常系數(shù)線性微分方程的解法17 解解 對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解 特征方程特征方程032 2 特征根特征根1

14、3 21 ， ,ee 2 3 1 xx CCY 求求微微分分方方程程1332 xyyy 的的通通解解. . 因因為為0 r不不是是特特征征根根, , 故故設(shè)設(shè)特特解解BAxy , , 3 1 , 1 BA, , 所所以以特特解解 xy 3 1 , , 即即原原方方程程的的通通解解為為 3 1 ee 3 21 xCCy xx . . 例例4 4 代入原方程代入原方程, ,得得 13)(32 xBAxA 二階常系數(shù)線性微分方程的解法18 .e23 2 的的通通解解求求方方程程 x xyyy 解解 對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解 特征方程特征方程,023 2 特征根特征根，21 21 .ee 2

15、21 xx CCY 是是單單根根，2 代入方程，代入方程， xBAxA 22，1 2 1 BA ，于于是是 x xxy 2 e )1 2 1 ( 原方程通解為原方程通解為.e) 1 2 1 (ee 22 21 xxx xxCCy 例例5 5 x BAxxy 2 e)( 所所以以設(shè)設(shè) 得得 ,e)( 22x BxAxx 二階常系數(shù)線性微分方程的解法19 解解 對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解 特征方程特征方程,096 2 特征根特征根，3 2, 1 .e)( 3 21 x xCCY 求求微微分分方方程程 x xyyy 3 e96 的的通通解解. . 因因為為3 r是是二二重重特特征征根根, ,

16、解解得得 0, 6 1 BA, , 所所以以特特解解 x xy 33e 6 1 , , 從從而而方方程程的的通通解解為為 xx xxCCy 333 21 e 6 1 e)( . . 例例6 6 代入方程代入方程, 得得 x BAxxy 22 e)( 所以設(shè)特解為所以設(shè)特解為,e)( 223x BxAx ,26xBAx 二階常系數(shù)線性微分方程的解法20 解解 對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解 特征方程特征方程,096 2 特征根特征根，3 2, 1 .e)( 3 21 x xCCY 求求微微分分方方程程 x xyyy 3 e96 的的通通解解. . 例例6 6 因因為為3 r是是二二重重特特征征

17、根根, , 注意：注意：實 實際際計計算算時時，只只要要將將 23 )(BxAxxQ 代代入入 )()()2( 2 xPQbarrQarQ m 現(xiàn)即現(xiàn)即, )()(xPxQ m 即得即得.26xBAx 這樣比代入原方程要簡便得多。這樣比代入原方程要簡便得多。 x BAxxy 22 e)( 所以設(shè)特解為所以設(shè)特解為,e)( 223x BxAx 二階常系數(shù)線性微分方程的解法21 解解 求求微微分分方方程程 x yyy e44 的的通通解解, , 1 1）若若2 , , 則則設(shè)設(shè)特特解解為為 x Axy 22e , , 其其中中 為為實實數(shù)數(shù). . 代代入入原原方方程程, ,得得 2 1 A, ,

18、即即特特解解為為 x xy 22e 2 1 , , 此此時時原原方方程程的的通通解解為為 xx xxCCy 222 21 e 2 1 e )( ； 例例7 7 對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解 特征方程特征方程,044 2 特征根特征根，2 2, 1 .e)( 2 21 x xCCY ,)( 2 AxxQ , )(xPQ m 12 A 二階常系數(shù)線性微分方程的解法22 2 2）若若2 , , 則設(shè)特解為則設(shè)特解為 x Ay e , , 代代入入原原方方程程, ,得得 2 )2( 1 A, , 即即特特解解為為 x y e )2( 1 2 , , x yyy e44 .e )2( 1 e )(

19、2 2 21 xx xCCy 此時原方程的通解為此時原方程的通解為 二階常系數(shù)線性微分方程的解法23 型型、 )sincos(e)(2xNxMxf xr 可以證明可以證明, ,方程方程(1)具有如下形式的特解具有如下形式的特解: : )sincos(exBxAxy xrk .1 ;0 是是特特征征根根 不不是是特特征征根根 ir ir k 是是待待定定系系數(shù)數(shù)，其其中中BA, 二階常系數(shù)線性微分方程的解法24 解解 求求微微分分方方程程xyyy2sin1022 的的通通解解. . 因因為為 2, 0 r, ,iir2 不不是是特特征征根根, ,故故設(shè)設(shè)特特解解為為 例例8 8 ，xBxAy2s

20、in2cos ，xxBAxBA2sin102sin)24(2cos)42( 所求所求通解為通解為 對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解 特征方程特征方程,022 2 特征根特征根，i 1 2, 1 .)sincos(e 21 xCxCY x 代入原方程代入原方程, ,得得 1024 042 BA BA .2sin2cos2)sincos(e 21 xxxCxCy x , 1 2 B A 二階常系數(shù)線性微分方程的解法25 解解 求求微微分分方方程程xyy2sin104 的的通通解解. . 因因為為 2, 0 r, ,iir2 是是特特征征根根, ,故故設(shè)設(shè)特特解解為為 例例9 9 ，)2sin2co

21、s(xBxAxy ，xxAxB2sin102sin42cos4 所求所求通解為通解為 對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解 特征方程特征方程,04 2 特征根特征根，i 2 2, 1 .2sin2cos 21 xCxCY 代入原方程代入原方程, ,得得 104 04 A B .2cos 2 5 2sin2cos 21 xxxCxCy , 0 25 B A 二階常系數(shù)線性微分方程的解法26 定理定理3 (3 (非齊次線性方程的疊加原理非齊次線性方程的疊加原理) ) 設(shè)設(shè))(),( 21 xyxy 分分別別是是非非齊齊次次線線性性方方程程 則則)()( 21 xyxy 為非齊次方程為非齊次方程 和和

22、的特解的特解, , )( 1 xfbyyay )( 2 xfbyyay )()( 21 xfxfbyyay 的一個特解的一個特解, , 二階常系數(shù)線性微分方程的解法27 .2coscos的的通通解解求求xxyy ，xCxCYirsincos01 21 2 ，對對于于xxf3cos 2 1 )( 1 例例1010 解解 xxxf2coscos)( ，設(shè)設(shè)xBxAy3sin3cos 1 ，xxBxA3cos 2 1 3sin83cos8 代入得代入得 ,0 16 1 BA，；xy3cos 16 1 1 ，xxcos 2 1 3cos 2 1 二階常系數(shù)線性微分方程的解法28 ,cos 2 1 )(

23、 2 xxf 對對于于 ，xCxCYsincos 21 ，對對于于xxf3cos 2 1 )( 1 解解，xxxfcos 2 1 3cos 2 1 )( ；xy3cos 16 1 1 ， 4 1 , 0 BA ，xxAxBcos 2 1 )sincos(2 代入得代入得 ，xxysin 4 1 2 原方程通解為原方程通解為 .sin 4 1 3cos 16 1 sincos 21 xxxxCxCy ，設(shè)設(shè))sincos( 2 xBxAxy .2coscos的的通通解解求求xxyy 例例1010 二階常系數(shù)線性微分方程的解法29 解解 )()()(xfyxqyxpy ( (A A) )中中 22

24、11 ycyc 不不是是對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的解解, ,故故( (A A) )錯錯； 有有三三個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解)( 1 xy, ,)( 2 xy, ,)( 3 xy, ,則則其其通通解解 是是( ( ) )( ( 21 ,cc是是任任意意常常數(shù)數(shù)) ). . ( (A A) ) 32211 yycyc 3212211 )()(Byccycyc ( (C C) ) 3212211 )1(yccycyc ( (D D) ) 3212211 )1(yccycyc ( (B B) )中中)()()( 3223113212211 yycyycyccycyc 例例1111 是對應(yīng)齊次方程

25、的通解是對應(yīng)齊次方程的通解, ,但沒有原方程的特解但沒有原方程的特解, , 故故( (B)B)也不對；也不對； 二階非齊次線性微分方程二階非齊次線性微分方程 二階常系數(shù)線性微分方程的解法30 ( (C C) )中中 3212211 )1(yccycyc ( (C C) ) 3212211 )1 (yccycyc ( (D D) ) 3212211 )1(yccycyc 3322311 )()(yyycyyc , , 顯顯然然不不是是原原方方程程的的通通解解. ( (D D) )中中 3212211 )1 (yccycyc 3322311 )()(yyycyyc , , 其其中中 31 yy 與與 32 yy 是是對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的解解, , 且 且線線性性無無關(guān)關(guān), , 而而 3 y是是原原方方程程方方程程的的特特解解, , 故故( (D D) )正正確確. . 證證: : 設(shè)設(shè)0)