2025年高考數(shù)學總復習 63 第八章 第三節(jié) 圓的方程

第三節(jié)圓的方程考試要求：1．掌握圓的標準方程與一般方程．2．會根據(jù)已知條件求圓的方程．3．能夠根據(jù)圓的方程解決相關問題．自查自測知識點一圓的定義及方程1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(√)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)為圓心，a為半徑的圓．(×)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)2．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標和半徑分別是()A．(2，3)，3 B．(－2，3)，3C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，13D解析：圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標是(2，－3)，半徑r＝13.3．(教材改編題)圓心為(1，1)且過原點的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D解析：因為圓心為(1，1)且過原點，所以該圓的半徑r＝12則該圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．[－2，0] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)B解析：由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a.由該曲線表示圓，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2.核心回扣1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心：－半徑：r＝D2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，當D2＋E2－4F>0時，表示圓心為－D2，－E2，半徑r＝D2+E2－4F2的圓；當D2＋E2－4F＝自查自測知識點二點與圓的位置關系(教材改編題)若坐標原點在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－1，1) B．－C．－2，2C解析：因為原點(0，0)在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，所以(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2<m<2.核心回扣點與圓的位置關系已知點M(x0，y0)，圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理論依據(jù)點到圓心的距離與半徑的大小關系三種情況(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點在圓上(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點在圓外(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點在圓內(nèi)【常用結論】1．確定圓的方程時，常用到的圓的兩個性質：(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(2)圓心在任意弦的中垂線上．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)·(y－y2)＝0.應用1已知A(1，0)，B(0，3)，則以AB為直徑的圓的方程是()A．x2＋y2－x－3y＝0 B．x2＋y2＋x＋3y＝0C．x2＋y2＋x－3y＝0 D．x2＋y2－x＋3y＝0A解析：圓的方程為(x－1)(x－0)＋(y－0)(y－3)＝0，即x2＋y2－x－3y＝0.應用2已知圓E經(jīng)過兩點A(0，1)，B(2，0)，且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標準方程為()A．x－322C．x－342C解析：因為圓E經(jīng)過點A(0，1)，B(2，0)，所以圓E的圓心在線段AB的垂直平分線y－12＝2(x－1)上．又圓E的圓心在x軸的正半軸上，所以圓E的圓心坐標為34，0.則圓E的半徑為|EB|＝2－圓的方程1．(2024·桂林模擬)已知圓C的圓心為(1，0)，且與直線y＝2相切，則圓C的方程是()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x＋1)2＋y2＝2A解析：因為圓心(1，0)到直線y＝2的距離d＝2，所以r＝2，故圓C的方程為(x－1)2＋y2＝4.2．(2024·濱州模擬)已知A－3，0，B3，0，C(0，3)，則△A．(x－1)2＋y2＝2B．(x－1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝2D．x2＋(y－1)2＝4D解析：設△ABC外接圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則－3－則△ABC外接圓的方程為x2＋(y－1)2＝4.故選D．3．(2022·全國甲卷)設點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3，0)和(0，1)均在⊙M上，則⊙M的方程為_____________________.(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析：(方法一)設⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則2a+所以⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.(方法二)設⊙M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，則M－D所以2·－所以⊙M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.(方法三)設A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半徑為r，則kAB＝1－00－3所以線段AB的垂直平分線方程為y－12＝3x－32，即3聯(lián)立3x－所以M(1，－1)，所以r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，所以⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.求圓的方程的兩種方法(1)幾何法根據(jù)圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設出圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值．②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則設出圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，從而求出D，E，F(xiàn)的值．提醒：解答圓的有關問題時，應注意數(shù)形結合，充分運用圓的幾何性質．與圓有關的軌跡問題【例1】已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B.(1)求圓C1的圓心坐標；(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程．解：(1)由x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，所以圓C1的圓心坐標為(3，0)．(2)設點M(x，y)，直線l的方程為y＝kx，因為點M為線段AB的中點，所以C1M⊥AB，所以kC1M·kAB＝－1，當x≠3時，可得yx－3·yx又當直線l與x軸重合時，點M的坐標為(3，0)，代入上式成立．當動直線與圓相切時，聯(lián)立y消去y，得(1＋k2)x2－6x＋5＝0.令其判別式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝45，此時方程為95x2－6x＋5＝解上式得x＝53，所以由題意可得53<xM所以線段AB的中點M的軌跡C的方程為x－求與圓有關的軌跡方程的方法已知定點M(1，0)，N(2，0)，動點P滿足|PN|＝2PM(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)已知點B(6，0)，點A在軌跡C上運動，求線段AB上靠近點B的三等分點Q的軌跡方程．解：(1)設動點P的坐標為(x，y)，因為M(1，0)，N(2，0)，且|PN|＝2PM，所以x整理得x2＋y2＝2，所以動點P的軌跡C的方程為x2＋y2＝2.(2)設點Q的坐標為(a，b)，點A的坐標為(xA，yA)，因為Q是線段AB上靠近點B的三等分點，所以AQ＝2QB，即(a－xA，b－yA)＝2(6－a，－解得x又點A在軌跡C上運動，則由(1)有(3a－12)2＋(3b)2＝2，化簡得(a－4)2＋b2＝29故點Q的軌跡方程為(a－4)2＋b2＝29與圓有關的最值問題考向1斜率型最值問題【例2】(2024·岳陽模擬)若點A(m，n)在圓C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0上，則nm+4的取值范圍為A．0，359C．0，4 DB解析：因為點A(m，n)在圓C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0上，則nm+4的幾何意義為圓上的點與定點P(－4圓C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0化為標準方程為(x－1)2＋(y－4)2＝16.如圖，由題意可知過點P(－4，0)的切線的斜率存在且PB的斜率為0.設過點P的圓C的切線方程為y＝k(x＋4)，則k－4+4k1+k2＝4故k的取值范圍為0，形如y－bx－a形式的最值問題，可轉化為過兩點(x，y)，(a，b)考向2截距型最值問題【例3】已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最小值．解：設y－x＝b，則y＝x＋b，當且僅當直線y＝x＋b與圓x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3相切于第四象限時，截距b取得最小值，此時，由點到直線的距離公式，得圓心(2，0)到直線x－y＋b＝0的距離為2+b2＝3，解得b＝－2－故(y－x)min＝－2－6.形如ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線ax＋by＝d的截距，通過截距的范圍求d的范圍，進而得到d的最值．考向3距離型最值問題【例4】設P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是()A．6 B．25C．26 D．36D解析：(x－5)2＋(y＋4)2表示點P(x，y)到點(5，－4)的距離的平方．因為P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，所以(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為圓心(2，0)到點(5，－4)的距離與半徑之和的平方，即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝2－52形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值．考向4構建目標函數(shù)求最值【例5】設點P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2，0)，B(－2，0)，則PA·PB的最大值為12解析：由題意，知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2因為點P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的點，所以x2＋(y－3)2＝1，2≤y≤4，所以x2＝－(y－3)2＋1，則PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y因為2≤y≤4，所以當y＝4時，PA·PB的值最大，最大值為6×4－12建立函數(shù)關系式求最值根據(jù)題目條件列出關于所求目標的函數(shù)關系式，然后根據(jù)關系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．1．設點P(x，y)是圓(x－3)2＋y2＝4上的動點，定點A(0，2)，B(0，－2)，則PA+PB10解析：由題意，知PA＝(－x，2－y)，PB＝(－x，－2－y)，所以PA+PB＝(－2x，－2y)．由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以PA+PB＝4x2＋4y2＝26x-5.由圓的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x2．已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－(3)求y－x的最大值和最小值．解：(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圓心C的坐標為(2，7)，半徑r＝22.又|QC|＝2+22+7－32＝(2)可知y－3x+2的幾何意義為直線MQ的斜率k.設直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因為直線MQ與圓C有交點，所以2k－7+2k+31+(3)設y－x＝b，則x－y＋b＝0.當直線y＝x＋b與圓C相切時，截距b取到最值，所以2－7+b12+－12＝22，解得b＝阿波羅尼斯圓及應用公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯(Apollonius)在《平面軌跡》一書中研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結果：到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓．如圖，點A，B為兩定點，動點P滿足|PA|＝λ|PB|，則當λ＝1時，動點P的軌跡為直線；當λ>0且λ≠1時，動點P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓．[典題展示]已知點P(x，y)與兩個定點B(1，0)，A(4，0)的距離之比為12，求點P的軌跡方程．思路展示由PBPA＝12，得(x－4)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2＋y2＝4，所以點P的軌跡方程為x2＋已知兩個定點A(4，0)，B(1，0)，圓O：x2＋y2＝4，若P是圓O上任意一點，求證：PBPA是定值．思路展示設P(x，y)是圓O：x2＋y2＝4上任意一點，則y2＝4－x2，所以PBPA如圖，已知圓O：x2＋y2＝4，點A(4，0)，在x軸上是否存在B(不同于點A)，滿足對于圓O上任意一點P，都有PBPA為定值？如果存在，試求所有滿足條件的點B的坐標；如果不存在，請說明理由．思路展示存在．設點B(s，0)，使得PBPA＝k設P(x，y)是圓O上任意一點，由|PB|2＝k2|PA|2，得(x－s)2＋y2＝k2[(x－4)2＋y2].由y2＝4－x2，化簡得(8k2－2s)x＋s2－20k2＋4＝0對x∈[－2，2]恒成立，所以8k2－2s＝0，s2故存在點B(1，0)，對于圓O上任意一點P，都有PBPA課時質量評價(四十八)1．(2024·寧德模擬)已知點M(3，1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則k的取值范圍為()A．－6<k<12 B．k<－6或k>C．k>－6 D．k<1A解析：因為圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，所以圓C的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，所以圓心坐標為(1，－2)，半徑r＝1－若點M(3，1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則滿足3－12且1－2k>0，即13>1－2k且k<12，所以－6<k<12．若一圓的圓心坐標為(2，－3)，一條直徑的端點分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52A解析：如圖，由圓的幾何性質及直角三角形中線的性質，可知圓的半徑r＝22+－32＝13.故此圓的方程為(x－2)2＋3．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則“E＝F＝0且D<0”是“圓C與y軸相切于原點”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：若圓C與y軸相切于原點，則圓C的圓心在x軸上，設圓心的坐標為(a，0)，則半徑r＝|a|.當E＝F＝0且D<0時，圓心為－D2，0，半徑為D2，圓C與y軸相切于原點；圓(x＋1)2＋y2＝1與y軸相切于原點，但D＝2>0.故“E＝F＝0且D＜0”是“圓C4．已知圓C的半徑為2，圓心在x軸正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝0D解析：設圓心為(a，0)(a>0)，由題意知圓心到直線3x＋4y＋4＝0的距離d＝3a+432+42＝3a+45＝r＝2，解得a＝2，所以圓心坐標為(2，0)，則圓C的方程為(x－2)2＋y5．自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為()A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0D解析：由題意得，圓心C的坐標為(3，－4)，半徑r＝2，如圖所示．設P(x0，y0)，由題意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x02+y02＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，即6x0－8y0－6．(多選題)若P是圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一點，則點P到直線y＝kx－1的距離的值可以為()A．4 B．6C．32＋1 D．8ABC解析：如圖，圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圓心坐標為(－3，3)，半徑為1，直線y＝kx－1過定點(0，－1)．由圖可知，圓心C到直線y＝kx－1距離的最大值為－3－02+3+12＝5，則點P到直線y＝kx－1距離的最大值為57．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標為________，半徑為________.(－2，－4)5解析：由圓的一般方程的形式知，a＋2＝a2，解得a＝2或a＝－1.當a＝2時，該方程可化為x2＋y2＋x＋2y＋52＝0因為D2＋E2－4F＝12＋22－4×52＜0，所以a＝2當a＝－1時，方程可化為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圓心坐標為(－2，－4)，半徑為5.8．(新背景)如圖所示，兩根桿(桿足夠長)分別繞著定點A和B(AB＝2a)在平面內(nèi)轉動，并且轉動時兩桿保持互相垂直，則桿的交點P的軌跡方程是______________.x2＋y2＝a2解析：如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則A(－a，0)，B(a，0)．設P(x，y)，因為PA⊥PB，所以yx+a·yx－a＝－1(x≠±a)．化簡得x2＋y2＝a2(x≠±a)．當x＝±a時，點P與A或B重合，此時y＝0，滿足上式．故桿的交點P的軌跡方程是x9．已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(1，1)和點B(2，－2)，且圓心C在直線l：x－y＋1＝0上．若線段PQ的端點P的坐標是(5，0)，端點Q在圓C上運動，求線段PQ的中點M的軌跡方程．解：設點D為線段AB的中點，直線m為線段AB的垂直平分線，則D32又kAB＝－3，所以km＝13，所以直線m的方程為x－3y－3＝由x－3y－3＝0，x－y則半徑r＝|CA|＝－3－1所以圓C的方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.設點M(x，y)，Q(x0，y0)，因為點P的坐標為(5，0)，M為PQ的中點，所以x＝x又點Q(x0，y0)在圓C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上運動，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25，整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝254即所求線段PQ的中點M的軌跡方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25410．曲線x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的點到直線x－y－1＝0的距離的最大值為a，最小值為b，則a－b的值是()A．2 B．2C．22＋1 D．2－C解析：因為圓心(0，1)到直線x－y－1＝0的距離為22＝2>1，所以半圓x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的點到直線x－y－1＝0的距離的最大值為2＋1，最小值為點(0，0)到直線x－y－1＝0的距離，為12＝22，所以11．圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關于直線ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)對稱，則2a+6bA．23 B．20C．323 D．C解析：由圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其標準方程為(x＋2)2＋(y－6)2＝39.因為圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關于直線ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)對稱，所以該直線經(jīng)過圓心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，所以a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，所以2a+6b＝23(當且僅當3ba＝3ab，即a＝b＝12．(2024·平頂山模擬)已知A，B為圓O：x2＋y2＝4上的兩動點，|AB|＝23，點P是圓C：(x＋3)2＋(y－4)2＝1上的一點，則PA+PB的最小值是(A．2 B．4C．6 D．8C解析：設M是AB的中點，因為|AB|＝23，所以OM＝4－即點M在以O為圓心，1為半徑的圓上，PA+PB＝PM+MA+又|PO|min＝|OC|－1＝－32+42－1＝4，所以PMmin＝|PO|min－1＝所以PA+PBmin＝2×3＝6.故選13．寫出一個過點O(0，0)，且與直線x＋y－4＝0相切的圓的標準方程：__________________.(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一)解析：設點O(0，0)為圓的直徑的端點，點O(0，0)到直線x＋y－4＝0的距離，d＝0+故滿足條件的一個圓的半徑為r＝2.由于圓心所在的直線與x＋y－4＝0垂直，且該直線經(jīng)過原點，所以圓心所在的直線方程為y＝x.由y＝x所以圓心的坐標為(1，1)．所以圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)