【校本教材】《高中數(shù)學(xué)思想與方法》校本課程

1、中學(xué)校本課程中學(xué)數(shù)學(xué)思想與常用方法中學(xué)數(shù)學(xué)組 目 錄前言 0波利亞的怎樣解題表.1第一章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想 8函數(shù)與方程的思想方法.9分類討論的思想方法.13特殊與一般的思想方法.15數(shù)形結(jié)合的思想方法.17化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.21或然與必然的思想方法.23有限與無(wú)限的思想方法.25第二章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法 .28配方法 28換元法 31待定系數(shù)法 34反證法 38定義法.41數(shù)學(xué)歸納法 44序 言美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問(wèn)題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來(lái)，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，才能提

2、出新看法、巧解法。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過(guò)程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題解決問(wèn)題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。高考試題主要從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等；數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較

3、高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描述，隨著時(shí)間的推移，記憶力的減退，將來(lái)可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對(duì)你起作用。數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得。可以說(shuō)，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法

4、的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。高中數(shù)學(xué)思想與方法課程綱要一、基本項(xiàng)目課程名稱:高中數(shù)學(xué)思想與方法課程類型:知識(shí)拓展類授課教師: 授課對(duì)象:高二學(xué)生二、課程目標(biāo)高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)應(yīng)當(dāng)對(duì)數(shù)學(xué)的思想和方法有所了解和認(rèn)識(shí)，這不僅因?yàn)閿?shù)學(xué)的發(fā)展為人類文明積累了大量寶貴的科學(xué)思想和科學(xué)方法，需要學(xué)生去學(xué)習(xí)和掌握，更重要的是為學(xué)生將來(lái)能獨(dú)立地開(kāi)展科學(xué)探究、創(chuàng)新活動(dòng)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)所必須具有的思想與方法。因此本課程旨在為學(xué)有余力的同學(xué)提供知識(shí)拓展并形成系統(tǒng)而扎實(shí)的學(xué)科知識(shí)體系，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的理解，達(dá)到培養(yǎng)具有完備的學(xué)科思想和具有獨(dú)立科學(xué)探究能力，掌握靈活應(yīng)用學(xué)科知識(shí)進(jìn)行分析和解

5、決問(wèn)題的能力，為終身學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，同時(shí)，也為全國(guó)奧林匹克競(jìng)賽發(fā)現(xiàn)人才和選拔人才做準(zhǔn)備。1、知識(shí)與技能A系統(tǒng)學(xué)習(xí)和掌握高中數(shù)學(xué)知識(shí)，深刻理解數(shù)學(xué)的有關(guān)概念，掌握數(shù)學(xué)相關(guān)規(guī)律。B掌握數(shù)學(xué)的科學(xué)思想和科學(xué)方法，初步能應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想和方法來(lái)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。2、過(guò)程與方法A經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程，懂得如何進(jìn)行科學(xué)探究的活動(dòng)。B體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)思想和科學(xué)研究方法。C學(xué)會(huì)如何分析數(shù)學(xué)情景，學(xué)會(huì)如何進(jìn)行建模，熟練掌握分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的常規(guī)和典型的方法與技巧。 3、情感態(tài)度及價(jià)值觀A通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)、關(guān)注數(shù)學(xué)的發(fā)展和數(shù)學(xué)為社會(huì)的發(fā)展所帶來(lái)的巨大貢獻(xiàn)。B樹(shù)立熱愛(ài)科學(xué)、崇尚科學(xué)的

6、科學(xué)觀和人生觀。三、課程簡(jiǎn)介本課程包括以下專題：（一）高考中常用數(shù)學(xué)基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實(shí)驗(yàn)法；（二）高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。每個(gè)專題都有所側(cè)重，均在課程模塊學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)，必要時(shí)可以進(jìn)行加深，以達(dá)到系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)思想與方法。四、課程實(shí)施學(xué)時(shí)安排:每個(gè)專題安排時(shí)間約為2課時(shí)，總課時(shí)為20學(xué)時(shí)，學(xué)生每修完本專題可獲得1學(xué)分。每周開(kāi)1課時(shí)，時(shí)間0.5學(xué)年。教學(xué)方式:課內(nèi)理論教授與課外實(shí)踐相結(jié)合,要求課堂采用教師講解法與學(xué)生探討法為主

7、,貫徹新課改精神,采取啟發(fā)式教學(xué),同時(shí)要求學(xué)生課后積極實(shí)踐,即多想多練,課堂內(nèi)外相結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。五、課程評(píng)價(jià)課程評(píng)價(jià)采用過(guò)程性評(píng)價(jià)和終結(jié)性評(píng)價(jià)相結(jié)的方式，以量化的形式體現(xiàn)：1、過(guò)程性評(píng)價(jià)考勤（10%），課堂交流參與度（10%）；完成作業(yè)（任務(wù)）情況（20%）；同學(xué)互評(píng)（10%）。2、終結(jié)性評(píng)價(jià)每個(gè)模塊學(xué)習(xí)結(jié)束時(shí)，進(jìn)行一次能力測(cè)試或完成一項(xiàng)研究報(bào)告（50%）。3、最終評(píng)定成績(jī)由上述二方面組成，每方面均不低于應(yīng)得的60%，可獲得相應(yīng)的學(xué)分。波利亞的怎樣解題表1、喬治·波利亞喬治·波利亞(George Polya，18871985)是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家在

8、解題方面，是數(shù)學(xué)啟發(fā)法(指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，亦譯為探索法)現(xiàn)代研究的先驅(qū)由于他在數(shù)學(xué)教育方面取得的成就和對(duì)世界數(shù)學(xué)教育所產(chǎn)生的影響，在他93歲高齡時(shí)，還被（國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)）聘為名譽(yù)主席 作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，波利亞在函數(shù)論、變分法、概率、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算和應(yīng)用數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域，都做出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以“波利亞”命名的定理或術(shù)語(yǔ)；他與其他數(shù)學(xué)家合著的數(shù)學(xué)分析中的問(wèn)題和定理、不等式、數(shù)學(xué)物理中的等周問(wèn)題、復(fù)變量等書(shū)堪稱經(jīng)典；而以200多篇論文構(gòu)成的四大卷文集，在未來(lái)的許多年里，將是研究生攻讀的內(nèi)容 作為一個(gè)數(shù)學(xué)教育家，波利亞的主要貢獻(xiàn)集中體現(xiàn)在怎樣解題(1945年)、數(shù)學(xué)與似真推理(

9、1954年)、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(1962年)三部世界名著上，涉及“解題理論”、“解題教學(xué)”、“教師培訓(xùn)”三個(gè)領(lǐng)域波利亞對(duì)數(shù)學(xué)解題理論的建設(shè)主要是通過(guò)“怎樣解題”表來(lái)實(shí)現(xiàn)的，而在爾后的著作中有所發(fā)展，也在“解題講習(xí)班”中對(duì)教師現(xiàn)身說(shuō)法他的著作把傳統(tǒng)的單純解題發(fā)展為通過(guò)解題獲得新知識(shí)和新技能的學(xué)習(xí)過(guò)程，他的目標(biāo)不是找出可以機(jī)械地用于解決一切問(wèn)題的“萬(wàn)能方法”，而是希望通過(guò)對(duì)于解題過(guò)程的深入分析，特別是由已有的成功實(shí)踐，總結(jié)出一般的方法或模式，使得在以后的解題中可以起到啟發(fā)的作用他所總結(jié)的模式和方法，包括笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式、分解與組合方法、一般化與特殊化方法、從后往前推、設(shè)立次目標(biāo)、歸納與類比

10、、考慮相關(guān)輔助問(wèn)題、對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變形等，都在解題中行之有效尤其有特色的是，他將上述的模式與方法設(shè)計(jì)在一張解題表中，并通過(guò)一系列的問(wèn)句或建議表達(dá)出來(lái)，使得更有啟發(fā)意義著名數(shù)學(xué)家互爾登在瑞士蘇黎世大學(xué)的會(huì)議致詞中說(shuō)過(guò)：“每個(gè)大學(xué)生、每個(gè)學(xué)者、特別是每個(gè)教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書(shū)”(1952年2月2日) 2、怎樣解題表 波利亞是圍繞“怎樣解題”、“怎樣學(xué)會(huì)解題”來(lái)開(kāi)展數(shù)學(xué)啟發(fā)法研究的，這首先表明其對(duì)“問(wèn)題解決”重要性的突出強(qiáng)調(diào)，同時(shí)也表明其對(duì)“問(wèn)題解決”研究興趣集中在啟發(fā)法上波利亞在風(fēng)靡世界的怎樣解題（被譯成14種文字）一書(shū)中給出的“怎樣解題表”，正是一部“啟發(fā)法小詞典” 21“怎樣解題”表的呈現(xiàn)第

11、一：弄清問(wèn)題 弄清問(wèn)題 未知是什么?已知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知，條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?畫(huà)張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)把條件的各個(gè)部分分開(kāi)你能否把它們寫(xiě)下來(lái)?第二：擬定計(jì)劃 找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題 你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃 你以前見(jiàn)過(guò)它嗎?你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同? 你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題?你是否知道一個(gè)可能用得上的定理? 看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題 這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題 你能不能利用它?你能利用它的結(jié)果嗎?你能利

12、用它的方法嗎?為了能利用它，你 是否應(yīng)該引入某些輔助元素? 你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題?你能不能用不同的方法重新敘述它? 回到定義去 如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題?一個(gè)更普遍的問(wèn)題?一個(gè)更特殊的問(wèn)題?一個(gè)類比的問(wèn)題?你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分?僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度?它會(huì)怎樣變化?你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)?如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近? 你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用了整個(gè)條件

13、?你是否考慮了包含在問(wèn)題中的必要的概念?第三：實(shí)現(xiàn)計(jì)劃 實(shí)行你的計(jì)劃實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟 你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的?第四：回顧驗(yàn)算所得到的解你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證?你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果?你能不能一下子看出它來(lái)?你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問(wèn)題?下面是實(shí)踐波利亞解題表的一個(gè)示例，能夠展示波利亞解題風(fēng)格的心路歷程，娓娓道來(lái)，栩栩如生 22“怎樣解題”表的實(shí)踐 例1給定正四棱臺(tái)的高h(yuǎn)，上底的一條邊長(zhǎng)a和下底的一條邊長(zhǎng)b，求正四棱臺(tái)的體積F(學(xué)生已學(xué)過(guò)棱柱、棱錐的體積) 講解第一，弄清問(wèn)題 問(wèn)題1你要求解的是什么? 要求解的是幾何體的體積，在思維

14、中的位置用一個(gè)單點(diǎn)F象征性地表示出來(lái)(圖1) 問(wèn)題2你有些什么? 一方面是題目條件中給出的3個(gè)已知量a、b、h；另一方面是已學(xué)過(guò)棱柱、棱錐的體積公式，并積累有求體積公式的初步經(jīng)驗(yàn)把已知的三個(gè)量添到圖示處(圖2)，就得到新添的三個(gè)點(diǎn)a、b、h；它們與F之間有一條鴻溝，象征問(wèn)題尚未解決，我們的任務(wù)就是將未知量與已知量聯(lián)系起來(lái) 第二，擬定計(jì)劃 問(wèn)題3怎樣才能求得F? 由于我們已經(jīng)知道棱柱、棱錐的體積公式，而棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)(棱臺(tái)的定義)告訴我們，棱臺(tái)是“用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐”，從一個(gè)大棱錐中截去一個(gè)小棱錐所生成的如果知道了相應(yīng)兩棱錐的體積B和A，我們就能求出棱臺(tái)的體積FBA 我們?cè)趫D示上引進(jìn)

15、兩個(gè)新的點(diǎn)A和B，用斜線把它們與F聯(lián)結(jié)起來(lái)，以此表示這三個(gè)量之間的聯(lián)系(圖3，即式的幾何圖示)這就把求F轉(zhuǎn)化為求A、B 圖4圖3問(wèn)題4怎樣才能求得A與B? 依據(jù)棱錐的體積公式(VSh)，底面積可由已知條件直接求得，關(guān)鍵是如何求出兩個(gè)棱錐的高并且，一旦求出小棱錐的高X，大棱錐的高也就求出，為Xh 我們?cè)趫D示上引進(jìn)一個(gè)新的點(diǎn)X，用斜線把A與X、a連結(jié)起來(lái)，表示A能由a、X得出，Aa2X；類似地，用斜線把B與b、h、X連結(jié)起來(lái)，表示B可由b、x、X得出，b2(Xh)(圖4)，這就把求A、B轉(zhuǎn)化為求x 問(wèn)題5怎樣才能求得X？ 為了使未知數(shù)X與已知數(shù)a、b、h聯(lián)系起來(lái)，建立起一個(gè)等量關(guān)系我們調(diào)動(dòng)處理立體

16、幾何問(wèn)題的基本經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行“平面化”的思考用一個(gè)通過(guò)高線以及底面一邊上中點(diǎn)(圖5中，點(diǎn)Q)的平面去截兩個(gè)棱錐，在這個(gè)截面上有兩個(gè)相似三角形能把a(bǔ)、b、h、X聯(lián)系起來(lái)(轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題)，由VPO1VQO2得 圖5 這就將一個(gè)幾何問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解解方程，便可由a、b、h表示x,在圖示中便可用斜線將x與a、b、h連結(jié)起來(lái)至此，我們已在F與已知數(shù)a、b、h之間建立起了一個(gè)不中斷的聯(lián)絡(luò)網(wǎng)，解題思路全部溝通 第三，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃 作輔助線(過(guò)程略)如圖5，由相似三角形的性質(zhì)，得，解得x= 進(jìn)而得兩錐體的體積為a2x， 2（）， 得棱臺(tái)體積為 FBA·（a2abb2）h 第四，回顧 (1)

17、正面檢驗(yàn)每一步，推理是有效的，演算是準(zhǔn)確的再作特殊性檢驗(yàn)，令0，由可得正四棱錐體的體積公式；令ab，由可得正四棱柱體的體積公式這既反映了新知識(shí)與原有知識(shí)的相容性，又顯示出棱臺(tái)體積公式的一般性；這既溝通了三類幾何體極限狀態(tài)間的知識(shí)聯(lián)系，又可增進(jìn)三個(gè)體積公式的聯(lián)系記憶 (2)回顧這個(gè)解題過(guò)程可以看到，解題首先要弄清題意，從中捕捉有用的信息(如圖1所示，有棱臺(tái)，a、b、h、F共5條信息)，同時(shí)又要及時(shí)提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息(如回想：棱臺(tái)的定義、棱錐的體積公式、相似三角形的性質(zhì)定理、反映幾何結(jié)構(gòu)的運(yùn)算、調(diào)動(dòng)求解立體幾何問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)積累等不下6條信息)，并相應(yīng)將兩組信息資源作合乎邏輯的有效組合這當(dāng)中，起

18、調(diào)控作用的關(guān)鍵是如何去構(gòu)思出一個(gè)成功的計(jì)劃(包括解題策略)由這一案例，每一個(gè)解題者還可以根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)各自進(jìn)一步領(lǐng)悟關(guān)于如何制定計(jì)劃的普遍建議或模式 (3)在解題方法上，這個(gè)案例是分析法的一次成功應(yīng)用，從結(jié)論出發(fā)由后往前找成立的充分條件為了求F，我們只需求A、B(由棱臺(tái)體積到棱錐體積的轉(zhuǎn)化由未知到已知，化歸)；為了求A、B，我們只需求x(由體積計(jì)算到線段計(jì)算的轉(zhuǎn)化由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，降維)；為了求x，我們只需建立關(guān)于x的方程(由幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合)；最后，解方程求x，解題的思路就暢通了，在當(dāng)初各自孤立而空曠的畫(huà)面上(圖1)，形成了一個(gè)聯(lián)接未知與已知間的不中斷網(wǎng)絡(luò)(圖5)，書(shū)寫(xiě)只不過(guò)是循相反

19、次序?qū)⒕W(wǎng)絡(luò)圖作一敘述這個(gè)過(guò)程顯示了分析與綜合的關(guān)系，“分析自然先行，綜合后繼；分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行；分析是制定一個(gè)計(jì)劃，綜合是執(zhí)行這個(gè)計(jì)劃” (4)在思維策略上，這個(gè)案例是“三層次解決”的一次成功應(yīng)用首先是一般性解決(策略水平上的解決)，把F轉(zhuǎn)化為A，B的求解（FAB），就明確了解題的總體方向；其次是功能性解決(方法水平的解決)，發(fā)揮組合與分解、相似形、解方程等方法的解題功能；最后是特殊性解決(技能水平的解決)，比如按照棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)作圖、添輔助線找出相似三角形、求出方程的解、具體演算體積公式等，是對(duì)推理步驟和運(yùn)算細(xì)節(jié)作實(shí)際完成 (5)在心理機(jī)制上，這個(gè)案例呈現(xiàn)出“激活擴(kuò)散”的基本過(guò)程首先在

20、正四棱臺(tái)(條件)求體積(結(jié)論)的啟引下，激活了記憶網(wǎng)絡(luò)中棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)和棱錐的體積公式，然后，沿著體積計(jì)算的接線向外擴(kuò)散，依次激活截面知識(shí)、相似三角形知識(shí)、解方程知識(shí)(參見(jiàn)圖1圖5)，直到條件與結(jié)論之間的網(wǎng)絡(luò)溝通這種“擴(kuò)散激活”的觀點(diǎn)，正是數(shù)學(xué)證明思維中心理過(guò)程的一種解釋 (6)在立體幾何學(xué)科方法上，這是“組合與分解”的一次成功應(yīng)用首先把棱臺(tái)補(bǔ)充(組合)為棱錐，然后再把棱錐截成(分解)棱臺(tái)并作出截面，這種做法在求棱錐體積時(shí)曾經(jīng)用過(guò)(先組合成一個(gè)棱柱、再分解為三個(gè)棱錐)，它又一次向我們展示“能割善補(bǔ)”是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)訣竅，而“平面化”的思考則是溝通立體幾何與平面幾何聯(lián)系的一座重要橋梁這些

21、都可以用于求解其他立體幾何問(wèn)題，并且作為一般化的思想(化歸、降維)還可以用于其他學(xué)科 (7)“你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果?”在信念上我們應(yīng)該永遠(yuǎn)而堅(jiān)定地做出肯定的回答，操作上未實(shí)現(xiàn)只是能力問(wèn)題或暫時(shí)現(xiàn)象對(duì)于本例，按照化棱臺(tái)為棱錐的同樣想法，可以有下面的解法 如圖6，正四棱臺(tái)ABCD-1111中，連結(jié)DA1，B1，1，將其分成三個(gè)四棱錐-1111，-11，-11，其中 b2， （等底等高) 圖6 圖7為了求，我們連結(jié)A1，將其分為兩個(gè)三棱錐-1與-11（圖7），因 ， 故， 但·2·a2， 故a2·a2 (a2) 從而 (a2) (a2) b2 （a2abb2）h

22、 (8)“你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他問(wèn)題?” 能，至少我們可以由正四棱臺(tái)體積公式一般化為棱臺(tái)體積公式(方法是一樣的)注意到 a21， b22， ， 可一般化猜想棱臺(tái)的體積公式為 臺(tái) (12)第一章 高中數(shù)學(xué)基本思想第一：函數(shù)與方程思想函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉；在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時(shí)起著重要作用；方程思想是解決各類計(jì)算問(wèn)題的基本思想，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ)；高考把函數(shù)與方程思想作為七種重要思想方法重點(diǎn)來(lái)考查；第二：數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)與形兩個(gè)方面，在一維空間，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在二維空間，實(shí)數(shù)對(duì)與坐

23、標(biāo)平面上的點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；數(shù)形結(jié)合中，選擇、填空側(cè)重突出考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，在解答題中，考慮推理論證嚴(yán)密性，突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化；第三：分類與整合思想分類是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中的基本邏輯方法，從具體出發(fā)，選取適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，劃分只是手段，分類研究才是目的；有分有合，先分后合，是分類整合思想的本質(zhì)屬性；含字母參數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分類與整合的研究，重點(diǎn)考查學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性與周密性；第四：化歸與轉(zhuǎn)化思想將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將較難問(wèn)題化為較易問(wèn)題，將未解決問(wèn)題化歸為已解決問(wèn)題，靈活性、多樣性，無(wú)統(tǒng)一模式，利用動(dòng)態(tài)思維，去尋找有利于問(wèn)題解決的變換途徑與方法；高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁

24、與簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化；第五：特殊與一般思想通過(guò)對(duì)個(gè)例認(rèn)識(shí)與研究，形成對(duì)事物的認(rèn)識(shí)，由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)、由局部到整體、由實(shí)踐到理論，由特殊到一般，再由一般到特殊的反復(fù)認(rèn)識(shí)過(guò)程；構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點(diǎn)、確立特殊位置，利用特殊值、特殊方程；第六：有限與無(wú)限的思想把對(duì)無(wú)限的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)有限的研究，是解決無(wú)限問(wèn)題的必經(jīng)之路；積累的解決無(wú)限問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，將有限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)限問(wèn)題來(lái)解決是解決的方向；立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來(lái)解決，實(shí)際上是先進(jìn)行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無(wú)限數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用；第七：或然與必然的思想隨機(jī)現(xiàn)象兩個(gè)最基本的特征，一是結(jié)果

25、的隨機(jī)性，二是頻率的穩(wěn)定性；偶然中找必然，再用必然規(guī)律解決偶然；等可能性事件的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、隨機(jī)事件的分布列、數(shù)學(xué)期望是考查的重點(diǎn)；第一節(jié) 函數(shù)與方程思想一、函數(shù)與方程函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)-y0通過(guò)方程進(jìn)行研究。就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題：二是在問(wèn)題的研究中，通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或

26、構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的.許多有關(guān)方程的問(wèn)題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問(wèn)題也可以用方程的方法來(lái)解決。函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點(diǎn)。1函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決。函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問(wèn)題。2方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、

27、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決。方程的數(shù)學(xué)是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問(wèn)題。方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.3(1) 函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對(duì)于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)f(x)看做二元方程yf(x)0。函數(shù)問(wèn)題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)求解，方程問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，如解方程f(x)0，就是求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)。(2) 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y>0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的

28、性質(zhì)，也離不開(kāi)解不等式。(3) 數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問(wèn)題十分重要。(4) 函數(shù)f(x)（nN*）與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的，利用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問(wèn)題。(5) 解析幾何中的許多問(wèn)題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，需要通過(guò)解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。(6) 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用布列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決。二、例題解析運(yùn)用函數(shù)與方程、表達(dá)式相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)解決函數(shù)、方程、表達(dá)式問(wèn)題。【例1】 已知，（a、b、cR），則有（ ）(A) (B) (C

29、) (D) 解析 法一：依題設(shè)有 a·5b·c0是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)實(shí)根；0 故選(B)法二：去分母，移項(xiàng)，兩邊平方得：10ac2·5a·c20ac 故選(B)點(diǎn)評(píng)解法一通過(guò)簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點(diǎn)，運(yùn)用方程的思想使問(wèn)題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b2是a、c的函數(shù)，運(yùn)用重要不等式，思路清晰，水到渠成。練習(xí)1 已知關(guān)于的方程 （2 m8）x +16 = 0的兩個(gè)實(shí)根 、 滿足 ，則實(shí)數(shù)m的取值范圍_。答案：；練習(xí)x21y02 已知函數(shù) 的圖象如下，則（ ）（A） (B)(C) (D)答案：A. ：構(gòu)造函數(shù)或方程解決有關(guān)問(wèn)題：【例2】 已知，t，

30、8，對(duì)于f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式恒成立，求x的取值范圍。解析t，8，f(t)，3原題轉(zhuǎn)化為：>0恒成立，為m的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要）當(dāng)x2時(shí)，不等式不成立。x2。令g(m)，m，3問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(m)在m，3上恒對(duì)于0，則：；解得：x>2或x<1評(píng)析 首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個(gè)變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個(gè)字母變量的問(wèn)題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決數(shù)列問(wèn)題【例3】 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知，>0，<0，（1）求公差d的取值范圍；（2）指出、

31、，中哪一個(gè)最大，并說(shuō)明理由。解析（1）由得：，>0 <0<d<3（2）d<0，是關(guān)于n 的二次函數(shù)，對(duì)稱軸方程為：x<d<3 6<< 當(dāng)n6時(shí)，最大。三、強(qiáng)化練習(xí)1已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列,則( )A 1 B C D 2已知銳角三角形ABC中，。 .求證； .設(shè)，求AB邊上的高。3甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為。.分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加

32、工的零件是一等品的概率；.從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn),求至少有一個(gè)是一等品的概率。第二節(jié) 分類討論思想在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。所謂分類討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略引起分類討論的原因主要是以下幾個(gè)方面： 問(wèn)題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如|a|的定義分a>0、a0、a<0三種情況。這種分類討論題型

33、可以稱為概念型。 問(wèn)題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q1和q1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。 解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax>2時(shí)分a>0、a0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過(guò)分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答

34、分類討論問(wèn)題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒(méi)有重復(fù)）；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。不等式的分類討論【例1】      分析：這是一個(gè)含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a分類：（1）a0（2）a=0，對(duì)于（2），不等式易解；對(duì)于（1），又需再次分類：a>0或a<0，因?yàn)檫@兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點(diǎn)之后

35、，又會(huì)遇到1與 誰(shuí)大誰(shuí)小的問(wèn)題，因而又需作一次分類討論。故而解題時(shí)，需要作三級(jí)分類    解：                                 綜上所述，得原不等式的解集為    ；    ；    ；  

36、;  ；    第三節(jié)  特殊與一般思想特殊與一般的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想之一，有些特殊問(wèn)題的解決，需要我們通過(guò)一般性規(guī)律的研究來(lái)處理；而對(duì)于具有一般性的問(wèn)題，我們也常通過(guò)考察其特殊情況（如特殊圖形、特殊位置、特殊取值等）揭示其一般規(guī)律.這種特殊與一般的辯證思想往往貫穿于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程之中.下面結(jié)合有關(guān)幾何問(wèn)題，談?wù)勌厥馀c一般思想的應(yīng)用.     一 、  特殊與一般思想在幾何中的應(yīng)用【例】 如圖，在多面體中，已知面是邊長(zhǎng)的正方形，與面的距離為，則該多面體的體積可能

37、為（）.                解： 本題的圖形是多面體，需要對(duì)其進(jìn)行必要的分割.連、，得四棱錐和三棱錐，這當(dāng)中，四棱錐的體積易求得×××，又因?yàn)橐粋€(gè)幾何體積的體積應(yīng)大于它的部分體積，所以不必計(jì)算三棱錐的體積，就可以排除，故選.        【例】 如圖，三棱柱的側(cè)棱和上各有一動(dòng)點(diǎn)、滿足，過(guò)、三點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為（）.

38、0;               . ：        . ：            . ：                解： 由題意可知?jiǎng)狱c(diǎn)、滿足

39、的一般性條件是，所以取點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)分別重合這一特殊位置，如圖，于是易得過(guò)、三點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分體積之比為：，故選.        二、用特殊與一般思想解函數(shù)和數(shù)列題特殊化與一般化貫穿于整個(gè)解題過(guò)程之中.通過(guò)特殊化能使我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題更加全面，而將問(wèn)題一般化能使我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題更加深刻.“從特殊到一般，再由一般到特殊”正是這一數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn).下面結(jié)合有關(guān)函數(shù)與數(shù)列的問(wèn)題,談?wù)勌厥馀c一般思想的應(yīng)用.          

40、0;   【例1】 （）已知函數(shù)f（x），那么（）         .        （）設(shè)an是首項(xiàng)為的正項(xiàng)數(shù)列，且則它的通項(xiàng)公式an=.        解：                （）解法：將所給等

41、式左邊分解因式，得（an+1+an）（n+1）an+1-nan=0.        an+1+an>0， （n+1）an+1-nan=0.        又a1=1， nan=（n-1）an-1（n-2）an-2=2a2=a1=1.所以an=.        解法：（特例法）當(dāng)n=1時(shí)，由所給等式得即（a2-1）（a2+1）=0.    &#

42、160;   a2>0， a2=.        當(dāng)n=2時(shí)，由所給等式得        a3=，由此猜想an=.        將代入所給等式左邊，得，即原等式成立.        故an=.        【例2】 在等

43、差數(shù)列an和bn中，Sn與n分別為其前n項(xiàng)和，若求        第四節(jié) 數(shù)形結(jié)合思想談起數(shù)形結(jié)合，不禁想起著名數(shù)學(xué)家華羅庚的詩(shī)句： 數(shù)形本是相倚依， 焉能分作兩邊飛? 數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)， 形少數(shù)時(shí)難入微， 數(shù)形結(jié)合百般好， 隔離分家萬(wàn)事休， 幾何代數(shù)統(tǒng)一體， 永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的處理，發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支柱作用，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀數(shù)形結(jié)合的思想，其應(yīng)用包含兩點(diǎn)： 1“形”中覓“數(shù)”；

44、很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，已知圖形已經(jīng)作出或容易作出，要解決這類問(wèn)題，主要是尋找恰當(dāng)表達(dá)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系式，即將幾何問(wèn)題代數(shù)化，以數(shù)助形，使問(wèn)題獲解 2“數(shù)”上構(gòu)“形”；很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，本身是代數(shù)方面的問(wèn)題，但通過(guò)觀察可發(fā)現(xiàn)它具有某種幾何特征由這種幾何特征可以發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的新關(guān)系，將代數(shù)問(wèn)題化為幾何問(wèn)題，使問(wèn)題獲解。但是這兩點(diǎn)又不是彼此獨(dú)立的，而是互相聯(lián)系的，比如在解析幾何中，雖然研究的是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，但是由于我們?cè)谘芯恐械玫侥承┐鷶?shù)表示式具有明顯的幾何意義，因此對(duì)于某些代數(shù)問(wèn)題，在確定合適的坐標(biāo)系后，也司獲得幾何解釋，從而能借助幾何加以解決因此，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題或應(yīng)用幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題

45、，是數(shù)形結(jié)合思想在兩個(gè)方面的應(yīng)用 在我們的中學(xué)教材中，數(shù)形結(jié)合的思想幾乎滲透到每一章的內(nèi)容之中初中教材把實(shí)數(shù)與數(shù)軸對(duì)應(yīng)起來(lái)；高中教材把函數(shù)與其圖象聯(lián)系起來(lái)；解析幾何把方程與曲線聯(lián)系起來(lái)；甚至等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)也給予了幾何說(shuō)明等等，不勝枚舉一 、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用【例1】如果函數(shù)f(x)=x2+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t)，那么( ) (A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4) (C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1)分析：由函數(shù)f(x)=x2+bx+c，我們想到

46、其圖象是開(kāi)口向上的拋物線(如圖所示)，由式子f(2+t)=f(2-t)想到拋物線的對(duì)稱軸是x=2，所以畫(huà)一個(gè)草圖示意，可作出判斷應(yīng)選(A)。評(píng)注：由圖象比較函數(shù)值的大小，實(shí)質(zhì)上就是看圖象上的點(diǎn)的位置的高低，當(dāng)然具體的判斷還需要充分注意函數(shù)本身的性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性、奇偶性、對(duì)稱性等?！纠?】 已知函數(shù)f(x)=loga|x+1|在區(qū)間(-1，0)上有f(x)>0，那么f(x)在(-,-1)上是( ) (A)減函數(shù) (B)增函數(shù) (C)增減隨a變化 (D)不能確定分析：本例涉及對(duì)數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用，如函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性及平移問(wèn)題，因而用圖象進(jìn)行思考就容易判斷。先考慮a>1時(shí)

47、，f(x)圖象是y =loga|x|的圖象向左移一個(gè)單位，如圖所示，這時(shí)在區(qū)間(-1,0)上不滿足f(x)>0，因而a>1不可能，從而只有0<a<1，此時(shí)圖象在(-1,0)上有f(x)>0，它又以x=-1為對(duì)稱軸，在(-,-1)上f(x)為增函數(shù)，故選(B)。 評(píng)注：函數(shù)與圖象是緊密相連的，研究函數(shù)性質(zhì)(在中學(xué)主要考慮單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等)時(shí)，既可用代數(shù)方法(如奇偶性考慮f(-x)與f(x)是否相等或互為相反數(shù))研究，也可用幾何圖形研究(如奇偶性考察其圖象是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或y軸對(duì)稱)，在教學(xué)中，我們更傾向于用函數(shù)圖象來(lái)理解和記憶，比如一次函數(shù)、二次函數(shù)

48、、指對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，觀察圖象，其性質(zhì)是一目了然的?！纠?】 設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)總有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解法1：函數(shù)有意義，則，即在上總成立。設(shè)，即當(dāng)時(shí)，總成立。依拋物線的特征，將其定位，有，如圖1所示。圖1。解法2：對(duì)于不等式，因?yàn)?，所以，不等式可化成。的最大值即可。設(shè)的圖象如圖2所示，可知的最大值為10，故最大值為4，則。圖2評(píng)注：解法1抓住了拋物線的特征，由實(shí)數(shù)a的不等式組，將拋物線定位，再求解范圍。另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次數(shù)形結(jié)合的機(jī)會(huì)。解法2將實(shí)數(shù)a從不等式中分離出來(lái)，對(duì)后邊函數(shù)中換元后，利用典型函數(shù)圖象直觀地求其最大值，求得a的范圍，體現(xiàn)數(shù)

49、形結(jié)合的思想，不失為好辦法。第五節(jié) 化歸與轉(zhuǎn)化思想“化歸與轉(zhuǎn)化”思想是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種基本策略.轉(zhuǎn)化和化歸就是對(duì)原問(wèn)題換一個(gè)方式、換一個(gè)角度、換一個(gè)觀點(diǎn)加以考慮，就是在數(shù)學(xué)研究中，把要解決的問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化，再轉(zhuǎn)化，化歸為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到圓滿解決的思維方法.       一、 概念和載體之間的相互轉(zhuǎn)化       依據(jù)題意，從定義、定理、公式、概念出發(fā)，化抽象為具體，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，從縱向和橫向進(jìn)行聯(lián)想轉(zhuǎn)化.   

50、    【例】 函數(shù)極限的值為（）.              解： 本題借用函數(shù)極限的具體形式，旨在考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的正確理解，因而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=ln在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，故選.        二、 特殊和一般之間的轉(zhuǎn)化        【例1】數(shù)列an中，a1=，an+an+1（a1+a2+an

51、）=                 .                解： 通過(guò)求猜想從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.也可以利用數(shù)列極限的含義進(jìn)行重組變形，可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮等比遞縮數(shù)列的求和，原式，選.        利用結(jié)構(gòu)進(jìn)行從特殊到一

52、般的轉(zhuǎn)化，既可縮短解題時(shí)間，又可提高運(yùn)算準(zhǔn)確性，同時(shí)考查思維的靈活性和代數(shù)變形能力.        三、 變量與常量之間的轉(zhuǎn)化        【例1】 已知函數(shù)f（x）ln（x）+ax在開(kāi)區(qū)間（，）內(nèi)是增函數(shù).        （1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；        （）若數(shù)列an滿足a1（，），an+1=ln（an）

53、+an（nN+），證明：<an<an+1<1.        分析： 若用函數(shù)單調(diào)性定義解題，難度大，若利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為求f （x）在（，）上恒不小于零的充要條件，不難得出a1.（）問(wèn)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0<an<1，再根據(jù)題目的遞推關(guān)系式與函數(shù)解析式的相似性進(jìn)行聯(lián)想轉(zhuǎn)化，只須令a=1即可知道f（x）ln（2-x）+x在（，）上是增函數(shù). 四、利用方程（組）進(jìn)行轉(zhuǎn)化方程（組）是數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)極為重要的工具，在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可直接運(yùn)用方程的某些性質(zhì)，或可先設(shè)定一些未知數(shù)，根據(jù)題

54、設(shè)本身各數(shù)量之間的制約關(guān)系，列出方程，求得未知數(shù).所設(shè)未知數(shù)溝通了變量之間的關(guān)系，使原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題.               【例1】 在等比數(shù)列an中，a1>1，前n項(xiàng)和n滿足那么a1的取值范圍是（）.        . （，）          . （，） 

55、60;      . （，）          . （，）        分析： 由（q為公比）.        用轉(zhuǎn)化的思想方法（借助方程和不等式）便可達(dá)到解題的目的.        解： 依據(jù)題意，列方程及不等式組  

56、0;             應(yīng)選.     第六節(jié) 或然與必然思想概率所研究的是隨機(jī)現(xiàn)象，研究的過(guò)程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問(wèn)題，這其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想就是或然與必然的思想.隨著新教材的推廣使用，高考中對(duì)概率內(nèi)容的考查已經(jīng)放在了重要的位置，通過(guò)對(duì)等可能事件的概率，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生了k次的概率以及隨機(jī)事件的分布列與數(shù)學(xué)期望等重點(diǎn)內(nèi)容的考查

57、，一方面考查基本概念和基本方法，另一方面考查在解決實(shí)際問(wèn)題中能否運(yùn)用或然與必然的辨證關(guān)系，從而體現(xiàn)了或然與必然的思想.具體到我們中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如何運(yùn)用“或然與必然”的數(shù)學(xué)思想呢？. 解決“看似或然，實(shí)是必然”的問(wèn)題【例】 個(gè)同學(xué)排成一列，從起依次報(bào)數(shù)，報(bào)奇數(shù)的同學(xué)出列，留下來(lái)的同學(xué)再?gòu)钠鹨来螆?bào)數(shù)，這樣繼續(xù)下去，最后留下一個(gè)同學(xué).問(wèn)：這個(gè)同學(xué)第一次報(bào)數(shù)時(shí)報(bào)的是什么數(shù)？【解析】 因?yàn)樽詈罅粝聛?lái)的同學(xué)一定是每次報(bào)數(shù)時(shí)都是報(bào)偶數(shù)的，所以他第一次報(bào)的數(shù)必是2n（nN+），為因?yàn)?6<，>100，所以這位同學(xué)第一次報(bào)的數(shù)是.【點(diǎn)評(píng)】 這是在“或然”現(xiàn)象中挖掘隱含的“必然”因素，所用的方法是倒

58、推法即逆向思維的方法. 解決“實(shí)是必然，暗藏或然”的問(wèn)題【例】 甲、乙、丙三人進(jìn)行“錘子剪刀布”游戲，即每人同時(shí)出三種手勢(shì)“錘子”（握拳）、“剪刀”（伸出中指和食指呈剪子狀）、“布”（五指并攏平伸手掌）之一，規(guī)定：錘子砸剪刀，剪刀鉸布，布包錘子，前者為勝.求：（）三人戰(zhàn)成平局的概率；（）甲獲勝的概率.解： （）三人戰(zhàn)成平局的情況是：人出相同的手勢(shì)，或全不相同的手勢(shì).因?yàn)榧?、乙、丙三人都出不同的手?shì)，共有種，三人都出相同的手勢(shì)，共有種，而甲、乙、丙三人每人都可以出種手勢(shì)，共有種可能.所以，三人戰(zhàn)成平局的概率為（）若甲出錘子獲勝，則乙、丙只能出剪刀，所以甲出錘子獲勝的概率為.同理，甲出剪刀或布獲勝

59、的概率也為.因此，甲獲勝的概率為【點(diǎn)評(píng)】 在求概率的問(wèn)題中，要考慮“基本事件空間”，并窮盡各種可能，最后才能得出正確的結(jié)果. 用概率思想解決必然問(wèn)題【例】 ，并排站成一排，如果必須站在的右邊（，可以不相鄰），那么不同的排法共有（）. 種  . 種. 種  . 種【分析】 對(duì)條件“必須站在的右邊”的不同理解.將產(chǎn)生不同的解法.解法： 由題意，因?yàn)椤氨仨氄驹诘挠疫叀?，?duì)，無(wú)特殊要求，考慮采用“插空法”.，站成一排，留有個(gè)空位，有種排法.若，相鄰，“捆綁”在一起插入空位，共有種排法；若，不相鄰，則將，分別插空，共有種排法，所以共有（）·種排法.解法： 由，相對(duì)位置可知，站在的右邊的概率為，所以必須站在的右邊的排法共有×=60種.故選.【點(diǎn)評(píng)】 條件“必須站在的右邊”存在著“或然”的因素，可以相鄰、也可以不相鄰；但換一種角度，這種“或然”因素之中還有一種規(guī)律性，就是“站在的右邊