不動點定理的應(yīng)用

1、不動點定理的應(yīng)用（大學(xué)學(xué)院, （地點） *（郵編）摘要：巴拿赫空間中的不動點定理是泛函分析中的一個重要定理,本文簡要介紹了不動點思想及相關(guān)定理，對巴拿赫不動點定理做了一些簡單的推論，應(yīng)用不動點思想解決數(shù)列通項公式、數(shù)列極限、微積分方程解的存在性、積分中值定理等問題。關(guān)鍵詞：巴拿赫空間；不動點；思想；不動點定理；應(yīng)用Fixed point theorems for applicationLuxuan LI(Xian University Of Architecture And Technology, College of Science，Xian , China)Abstract: Fixed

2、point theorem in Banach space is an important theorem in functional analysis, this paper briefly introduces the idea of fixed point and related theorem, fixed point theorem of Banach to do a number of simple inference, by using the fixed point thought to solve the general formula of sequence, sequen

3、ce limit, the existence of solutions for nonlinear integral, integral mean value theorem problems.Keywords: Banach space; Fixed point; Thought; Fixed point theorem: Application0 引言泛函分析是古典分析觀點的推廣，它綜合函數(shù)論、幾何和代數(shù)的觀點研究無窮維向量空間上的函數(shù)、算子和極限理論，在20世紀(jì)40年代就已經(jīng)成為一門理論完備、內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科了。在泛函分析中，許多分散在各個數(shù)學(xué)分支中的事實都得到了統(tǒng)一的處理，例如隱函

4、數(shù)定理、微分方程解的存在性定理、積分方程解的存在性定理，在泛函分析中都?xì)w結(jié)為一個定理不動點定理。這正是抽象的結(jié)果。不動點定理實際上是算子方程Tx=x的求解問題，是分析學(xué)的各個分支中存在和唯一性定理的重要基礎(chǔ)，它是關(guān)于具體問題解的存在唯一性的定理，其中巴拿赫不動點定理，亦稱壓縮映射原理，它提供了線性方程解的最佳逼近程序，給出了近似解的構(gòu)造，在常微分方程、積分方程等領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展中有著重要的地位和作用。通過對它的學(xué)習(xí)我們重新對所學(xué)的一些知識有了進(jìn)一步的理解。本文給出了巴拿赫不動點原理在數(shù)學(xué)分析、微分方程中的應(yīng)用。1巴拿赫不動點定理稱完備的賦范線性空間為巴拿赫空間。定義 設(shè)X

5、是任意給定的完備的距離空間,如果有映射存在常數(shù)使得則稱T是一個壓縮映射.定義 對任給的度量空間及映射.如果存在使得則稱為映射T的不動點.定義（Cauchy列）給定,若對任取的有自然數(shù)N,使得對都成立則稱序列是Cauchy列.定義（完備度量空間）給定,若X中任意一Cauchy列都收斂,則稱它是完備的.1.2巴拿赫不動點定理的內(nèi)容定理（Banach不動點原理） 設(shè)X是完備的距離空間, T是由X到X的自身的映射,并且對于任意的,不等式成立,其中是滿足不等式的常數(shù).那么T在X中存在唯一的不動點,即存在唯一的,使得.證：分兩部分來證明該定理先證明不動點的存在性在X任取一定點,并令 我們證明是X中的一個基

6、本點列.事實上 一般地,可以證明 于是根據(jù)假定, ,故于是是基本點列.由于X完備,故收斂于X中某一點且由不等式(3)可知, T是連續(xù)映射.在中令,得到因此是T的不動點. 再證明不動點的唯一性.另有使則由于,故,即,唯一性成立證畢定理（壓縮映射原理）任給數(shù)列,若有常數(shù)使得對一切的都有則數(shù)列收斂.證 只需證明是Cauchy列,從而說明收斂為此,對任意的考慮= 所以是Cauchy列,從而收斂.到此整個文章所需要的基本定理及概念敘述完畢.下面將主要討論其在數(shù)學(xué)的其它分支中的應(yīng)用.2不動點在數(shù)列中的應(yīng)用2.1不動點思想在求數(shù)列通項公式中的應(yīng)用命題 若函數(shù)，為的不動點，滿足則是以為公比的等比數(shù)列。命題 若

7、函數(shù)，數(shù)列滿足則有：（1）若有兩個不動點，則數(shù)列是等比數(shù)列。（2）若只有一個不動點，則數(shù)列是等差數(shù)列。證明（1）是的不動點，則分別滿足 ，于是故數(shù)列是等比數(shù)列。（2）是的唯一不動點，那么滿足且。于是故列是等差數(shù)列。例1.已知求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)，則的不動點為，故是以2為公比的等比數(shù)列，而，所以，故例2.已知，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)，則有唯一的不動點，故是等差數(shù)列，而，故，從而可得。2.2不動點在求數(shù)列極限中的應(yīng)用基本思想：通過對數(shù)列構(gòu)造一個新的函數(shù),使其在對應(yīng)區(qū)間保持連續(xù)且可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)滿足.再使用Rolle中值定理證明所構(gòu)造的函數(shù)是壓縮映射的,這就意味著在區(qū)間上有不動點,即且該點是唯一的

8、.例1 設(shè)試證收斂,并求極限.證 按照上述基本思想進(jìn)行證明求解依題設(shè)構(gòu)造函數(shù)易見在連續(xù)且可導(dǎo).由于故當(dāng)時則由知現(xiàn)在考慮:從而為壓縮映射.由定理1.2.2知收斂.下求該數(shù)列極限,設(shè)其極限為,則由的連續(xù)性得即得和（舍去）. 3不動點定理在微積分方程中的應(yīng)用3.1不動點定理證明微分方程解的存在性和唯一性在實際生活中需要求解一些復(fù)雜的方程,但在求解之前必須保證該求解是有意義的.因此判斷方程解的存在性起到很大的意義.而用分析的方法證明存在性定理比較困難,下面就給出較為簡單的證明方法.定理 設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域上處處連續(xù),且處處關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)存在.存在常數(shù)使得那么方程在閉區(qū)間上有連續(xù)解,且解是惟一的.證 在完

9、備的空間中做映射下只需證明T是自身到自身的壓縮映射.事實上,對于則由微分中值定理對使得 現(xiàn)令,則從而有即有這就說明T是上的壓縮映射,故有唯一的使得,亦即有.例2 考察微分方程 其中在整個平面上連續(xù),此外還設(shè)關(guān)于滿足利普希茨條件:其中為常數(shù),那么通過微分方程有且僅有一條積分曲線.證 原微分方程加上初值條件等價與下面的積分方程取使得在連續(xù)空間內(nèi)定義映射T：則有由于,由壓縮映射原理可知存在唯一的連續(xù)函數(shù)使得3.2不動點定理證明積分方程解的存在性例1 設(shè)是定義在三角形區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則積分方程對任何以及存在唯一的解。證明：作到其自身的映射T：，則有 其中。易用用歸納法證明（證明略）。對任何給的的參數(shù)

10、，總可以選取足夠大的使得成立，因此由不動點原理的推論知，方程在中存在唯一的解。4不動點定理應(yīng)用于積分中值定理積分第一中值定理是積分學(xué)的重要定理,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的性態(tài)奠定了基礎(chǔ).它的主要內(nèi)容有:定理設(shè)有函數(shù)和在上分別連續(xù),且在符號恒定,則在中至少存在一點使得當(dāng)取時就會得到一般的積分中值定理,其內(nèi)容如下:定理（積分第一中值定理）若在上連續(xù),則在中至少存在一點使得.上述定理中的點是至少有這樣一個點,那么能否加強某個條件使得這樣的點是唯一的.這樣在計算或應(yīng)用中減少其復(fù)雜程度.下面就探討這一問題.定理若和在上連續(xù)且在上不變號,及則在中至少存在唯一的一點使得.證 不失一般性設(shè)因為則在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)遞增.

11、所以再由可得對上式兩邊同時在積分則有又常數(shù)可提出到積分外即又因為,所以 為證定理在上作映射：易見在連續(xù)且可導(dǎo)對.對求導(dǎo)得則在上嚴(yán)格單調(diào)遞增,即又因為所以即下證T是上的一個壓縮映射因為從而知T是上的一個壓縮映射.那么由不動點定理知存在唯一的,使得即整理可得以上用不動點定理證明了積分中值定理,現(xiàn)在考慮命題中的條件是否能夠減弱且得到相同的結(jié)論.題設(shè)中的函數(shù)在上連續(xù),現(xiàn)將連續(xù)減弱為在有限個間斷點.定理若在上連續(xù), 在有且僅有有限個間斷點, 在不變號且有界,及則在中存在唯一使得成立.證 要說明該定理仍然成立只需證明盡管在不連續(xù)但仍然可積即可.不失一般性,這里只證明在僅有一個間斷點的情形,并假設(shè)為它的一個

12、間斷點.任給,取使其滿足且.其中M與分別為在上的上下確界(否則為常值函數(shù),顯然可積).記在小區(qū)間上的振幅為,則有.因為在上連續(xù),所以可積,則存在某一分割使得.令則是上的一個分割,對于T，有這就說明了在上可積.由上題結(jié)論知,在中存在唯一的一點使得成立.5不動點定理在圖論中的證明定理把一張小比例尺的地圖，放在一張同地區(qū)的大比例尺地圖內(nèi)，則有且僅有一個地名重合( 有一個坐標(biāo)相同的點相重合)。證明: 把大地圖中所有的地名( 包括未寫出來的) 看作定理1中的 ( 距離按通常定義)；把小地圖所覆蓋的區(qū)域看作大地圖到自身的映象, 顯然這是一個完備度量空間中的壓縮映象問題, 故結(jié)論成立。參考文獻(xiàn)1 王聲望,鄭維行.實變函數(shù)與泛函分析概要第三版M.北京:高等教育出版社.2004:54-55.2 熊金城.點集拓?fù)渲v義M.北京:高等教育出版社.2003:223.3 錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹M.武漢:崇文書局2003. 4 陳傳理，張同君競賽數(shù)學(xué)教程第二版M北京：高等教育出版社2008.5 華東師范大數(shù)學(xué)系編第三版M.北京:高等教育出版社.1999:217-218.6 肖翔,劉瑞娟.不動點定理在第一積分中值定理中的應(yīng)用J.上海工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報. 2008.22（6）.7 蔣秉華,張敏