不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用

1、不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用（大學(xué)學(xué)院, （地點(diǎn)） *（郵編）摘要：巴拿赫空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理是泛函分析中的一個(gè)重要定理,本文簡(jiǎn)要介紹了不動(dòng)點(diǎn)思想及相關(guān)定理，對(duì)巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理做了一些簡(jiǎn)單的推論，應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)思想解決數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列極限、微積分方程解的存在性、積分中值定理等問(wèn)題。關(guān)鍵詞：巴拿赫空間；不動(dòng)點(diǎn)；思想；不動(dòng)點(diǎn)定理；應(yīng)用Fixed point theorems for applicationLuxuan LI(Xian University Of Architecture And Technology, College of Science，Xian , China)Abstract: Fixed

2、point theorem in Banach space is an important theorem in functional analysis, this paper briefly introduces the idea of fixed point and related theorem, fixed point theorem of Banach to do a number of simple inference, by using the fixed point thought to solve the general formula of sequence, sequen

3、ce limit, the existence of solutions for nonlinear integral, integral mean value theorem problems.Keywords: Banach space; Fixed point; Thought; Fixed point theorem: Application0 引言泛函分析是古典分析觀點(diǎn)的推廣，它綜合函數(shù)論、幾何和代數(shù)的觀點(diǎn)研究無(wú)窮維向量空間上的函數(shù)、算子和極限理論，在20世紀(jì)40年代就已經(jīng)成為一門(mén)理論完備、內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科了。在泛函分析中，許多分散在各個(gè)數(shù)學(xué)分支中的事實(shí)都得到了統(tǒng)一的處理，例如隱函

4、數(shù)定理、微分方程解的存在性定理、積分方程解的存在性定理，在泛函分析中都?xì)w結(jié)為一個(gè)定理不動(dòng)點(diǎn)定理。這正是抽象的結(jié)果。不動(dòng)點(diǎn)定理實(shí)際上是算子方程Tx=x的求解問(wèn)題，是分析學(xué)的各個(gè)分支中存在和唯一性定理的重要基礎(chǔ)，它是關(guān)于具體問(wèn)題解的存在唯一性的定理，其中巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理，亦稱(chēng)壓縮映射原理，它提供了線(xiàn)性方程解的最佳逼近程序，給出了近似解的構(gòu)造，在常微分方程、積分方程等領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展中有著重要的地位和作用。通過(guò)對(duì)它的學(xué)習(xí)我們重新對(duì)所學(xué)的一些知識(shí)有了進(jìn)一步的理解。本文給出了巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)原理在數(shù)學(xué)分析、微分方程中的應(yīng)用。1巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理稱(chēng)完備的賦范線(xiàn)性空間為巴拿赫空間。定義 設(shè)X

5、是任意給定的完備的距離空間,如果有映射存在常數(shù)使得則稱(chēng)T是一個(gè)壓縮映射.定義 對(duì)任給的度量空間及映射.如果存在使得則稱(chēng)為映射T的不動(dòng)點(diǎn).定義（Cauchy列）給定,若對(duì)任取的有自然數(shù)N,使得對(duì)都成立則稱(chēng)序列是Cauchy列.定義（完備度量空間）給定,若X中任意一Cauchy列都收斂,則稱(chēng)它是完備的.1.2巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的內(nèi)容定理（Banach不動(dòng)點(diǎn)原理） 設(shè)X是完備的距離空間, T是由X到X的自身的映射,并且對(duì)于任意的,不等式成立,其中是滿(mǎn)足不等式的常數(shù).那么T在X中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn),即存在唯一的,使得.證：分兩部分來(lái)證明該定理先證明不動(dòng)點(diǎn)的存在性在X任取一定點(diǎn),并令 我們證明是X中的一個(gè)基

6、本點(diǎn)列.事實(shí)上 一般地,可以證明 于是根據(jù)假定, ,故于是是基本點(diǎn)列.由于X完備,故收斂于X中某一點(diǎn)且由不等式(3)可知, T是連續(xù)映射.在中令,得到因此是T的不動(dòng)點(diǎn). 再證明不動(dòng)點(diǎn)的唯一性.另有使則由于,故,即,唯一性成立證畢定理（壓縮映射原理）任給數(shù)列,若有常數(shù)使得對(duì)一切的都有則數(shù)列收斂.證 只需證明是Cauchy列,從而說(shuō)明收斂為此,對(duì)任意的考慮= 所以是Cauchy列,從而收斂.到此整個(gè)文章所需要的基本定理及概念敘述完畢.下面將主要討論其在數(shù)學(xué)的其它分支中的應(yīng)用.2不動(dòng)點(diǎn)在數(shù)列中的應(yīng)用2.1不動(dòng)點(diǎn)思想在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用命題 若函數(shù)，為的不動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足則是以為公比的等比數(shù)列。命題 若

7、函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足則有：（1）若有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則數(shù)列是等比數(shù)列。（2）若只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則數(shù)列是等差數(shù)列。證明（1）是的不動(dòng)點(diǎn)，則分別滿(mǎn)足 ，于是故數(shù)列是等比數(shù)列。（2）是的唯一不動(dòng)點(diǎn)，那么滿(mǎn)足且。于是故列是等差數(shù)列。例1.已知求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)，則的不動(dòng)點(diǎn)為，故是以2為公比的等比數(shù)列，而，所以，故例2.已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)，則有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，故是等差數(shù)列，而，故，從而可得。2.2不動(dòng)點(diǎn)在求數(shù)列極限中的應(yīng)用基本思想：通過(guò)對(duì)數(shù)列構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù),使其在對(duì)應(yīng)區(qū)間保持連續(xù)且可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足.再使用Rolle中值定理證明所構(gòu)造的函數(shù)是壓縮映射的,這就意味著在區(qū)間上有不動(dòng)點(diǎn),即且該點(diǎn)是唯一的

8、.例1 設(shè)試證收斂,并求極限.證 按照上述基本思想進(jìn)行證明求解依題設(shè)構(gòu)造函數(shù)易見(jiàn)在連續(xù)且可導(dǎo).由于故當(dāng)時(shí)則由知現(xiàn)在考慮:從而為壓縮映射.由定理1.2.2知收斂.下求該數(shù)列極限,設(shè)其極限為,則由的連續(xù)性得即得和（舍去）. 3不動(dòng)點(diǎn)定理在微積分方程中的應(yīng)用3.1不動(dòng)點(diǎn)定理證明微分方程解的存在性和唯一性在實(shí)際生活中需要求解一些復(fù)雜的方程,但在求解之前必須保證該求解是有意義的.因此判斷方程解的存在性起到很大的意義.而用分析的方法證明存在性定理比較困難,下面就給出較為簡(jiǎn)單的證明方法.定理 設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域上處處連續(xù),且處處關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)存在.存在常數(shù)使得那么方程在閉區(qū)間上有連續(xù)解,且解是惟一的.證 在完

9、備的空間中做映射下只需證明T是自身到自身的壓縮映射.事實(shí)上,對(duì)于則由微分中值定理對(duì)使得 現(xiàn)令,則從而有即有這就說(shuō)明T是上的壓縮映射,故有唯一的使得,亦即有.例2 考察微分方程 其中在整個(gè)平面上連續(xù),此外還設(shè)關(guān)于滿(mǎn)足利普希茨條件:其中為常數(shù),那么通過(guò)微分方程有且僅有一條積分曲線(xiàn).證 原微分方程加上初值條件等價(jià)與下面的積分方程取使得在連續(xù)空間內(nèi)定義映射T：則有由于,由壓縮映射原理可知存在唯一的連續(xù)函數(shù)使得3.2不動(dòng)點(diǎn)定理證明積分方程解的存在性例1 設(shè)是定義在三角形區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則積分方程對(duì)任何以及存在唯一的解。證明：作到其自身的映射T：，則有 其中。易用用歸納法證明（證明略）。對(duì)任何給的的參數(shù)

10、，總可以選取足夠大的使得成立，因此由不動(dòng)點(diǎn)原理的推論知，方程在中存在唯一的解。4不動(dòng)點(diǎn)定理應(yīng)用于積分中值定理積分第一中值定理是積分學(xué)的重要定理,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的性態(tài)奠定了基礎(chǔ).它的主要內(nèi)容有:定理設(shè)有函數(shù)和在上分別連續(xù),且在符號(hào)恒定,則在中至少存在一點(diǎn)使得當(dāng)取時(shí)就會(huì)得到一般的積分中值定理,其內(nèi)容如下:定理（積分第一中值定理）若在上連續(xù),則在中至少存在一點(diǎn)使得.上述定理中的點(diǎn)是至少有這樣一個(gè)點(diǎn),那么能否加強(qiáng)某個(gè)條件使得這樣的點(diǎn)是唯一的.這樣在計(jì)算或應(yīng)用中減少其復(fù)雜程度.下面就探討這一問(wèn)題.定理若和在上連續(xù)且在上不變號(hào),及則在中至少存在唯一的一點(diǎn)使得.證 不失一般性設(shè)因?yàn)閯t在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)遞增.

11、所以再由可得對(duì)上式兩邊同時(shí)在積分則有又常數(shù)可提出到積分外即又因?yàn)?所以 為證定理在上作映射：易見(jiàn)在連續(xù)且可導(dǎo)對(duì).對(duì)求導(dǎo)得則在上嚴(yán)格單調(diào)遞增,即又因?yàn)樗约聪伦CT是上的一個(gè)壓縮映射因?yàn)閺亩猅是上的一個(gè)壓縮映射.那么由不動(dòng)點(diǎn)定理知存在唯一的,使得即整理可得以上用不動(dòng)點(diǎn)定理證明了積分中值定理,現(xiàn)在考慮命題中的條件是否能夠減弱且得到相同的結(jié)論.題設(shè)中的函數(shù)在上連續(xù),現(xiàn)將連續(xù)減弱為在有限個(gè)間斷點(diǎn).定理若在上連續(xù), 在有且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn), 在不變號(hào)且有界,及則在中存在唯一使得成立.證 要說(shuō)明該定理仍然成立只需證明盡管在不連續(xù)但仍然可積即可.不失一般性,這里只證明在僅有一個(gè)間斷點(diǎn)的情形,并假設(shè)為它的一個(gè)

12、間斷點(diǎn).任給,取使其滿(mǎn)足且.其中M與分別為在上的上下確界(否則為常值函數(shù),顯然可積).記在小區(qū)間上的振幅為,則有.因?yàn)樵谏线B續(xù),所以可積,則存在某一分割使得.令則是上的一個(gè)分割,對(duì)于T，有這就說(shuō)明了在上可積.由上題結(jié)論知,在中存在唯一的一點(diǎn)使得成立.5不動(dòng)點(diǎn)定理在圖論中的證明定理把一張小比例尺的地圖，放在一張同地區(qū)的大比例尺地圖內(nèi)，則有且僅有一個(gè)地名重合( 有一個(gè)坐標(biāo)相同的點(diǎn)相重合)。證明: 把大地圖中所有的地名( 包括未寫(xiě)出來(lái)的) 看作定理1中的 ( 距離按通常定義)；把小地圖所覆蓋的區(qū)域看作大地圖到自身的映象, 顯然這是一個(gè)完備度量空間中的壓縮映象問(wèn)題, 故結(jié)論成立。參考文獻(xiàn)1 王聲望,鄭維行.實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要第三版M.北京:高等教育出版社.2004:54-55.2 熊金城.點(diǎn)集拓?fù)渲v義M.北京:高等教育出版社.2003:223.3 錢(qián)吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹M.武漢:崇文書(shū)局2003. 4 陳傳理，張同君競(jìng)賽數(shù)學(xué)教程第二版M北京：高等教育出版社2008.5 華東師范大數(shù)學(xué)系編第三版M.北京:高等教育出版社.1999:217-218.6 肖翔,劉瑞娟.不動(dòng)點(diǎn)定理在第一積分中值定理中的應(yīng)用J.上海工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào). 2008.22（6）.7 蔣秉華,張敏