數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性及應(yīng)用畢業(yè)論文

1、 題 目： 數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性及應(yīng)用 作 者： 指導(dǎo)老師： 師范學(xué)院 學(xué)院 系 數(shù)學(xué)教育 專業(yè) 09 級(jí) 3 年制 2 班 2012 年 4 月 23 日主要內(nèi)容簡(jiǎn)介：“授人以魚，不如授人以漁”。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合新課改要求，老師在教學(xué)中不僅要教會(huì)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)概念、公式等知識(shí)點(diǎn)，更要教會(huì)學(xué)生自主解決問(wèn)題的方式方法。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法的靈魂。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是使這一靈魂得以展現(xiàn)的途徑。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，在基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)中培養(yǎng)思想方法。因

2、為數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)、形成優(yōu)良思維素質(zhì)的關(guān)鍵。主要類型有：轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論思想。一般的，數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用還要結(jié)合原理性的數(shù)學(xué)解題思想，原理性的數(shù)學(xué)解題思想主要包括：系統(tǒng)思想、辯證思想、運(yùn)動(dòng)變化思想、建模思想、審美思想。 指導(dǎo)老師姓名職 稱論文評(píng)語(yǔ)成 績(jī)指導(dǎo)老師簽名總評(píng)意見： 評(píng)審人： 年 月 日注：1.評(píng)語(yǔ)、成績(jī)由指導(dǎo)老師填寫。 2.評(píng)語(yǔ)及總評(píng)意見應(yīng)包括學(xué)術(shù)價(jià)值、實(shí)際意義、達(dá)到水平、學(xué)術(shù)觀點(diǎn)和論證有無(wú)錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性及應(yīng)用摘要：“授人以魚，不如授人以漁”，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

3、中，結(jié)合新課改要求，老師在教學(xué)中不僅要教會(huì)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)概念、公式等知識(shí)點(diǎn)，更要教會(huì)學(xué)生自主解決問(wèn)題的方式方法。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法的靈魂。主要類型有：轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論思想。一般的，數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用還要結(jié)合原理性的數(shù)學(xué)解題思想，原理性的數(shù)學(xué)解題思想主要包括：系統(tǒng)思想、辯證思想、運(yùn)動(dòng)變化思想、建模思想、審美思想。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)解題思想；數(shù)形結(jié)合；系統(tǒng)思想一、 數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的重要性（一）新課改中的數(shù)學(xué)思想 新課標(biāo)提出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是代數(shù)幾何中的性質(zhì)概

4、念、法則公式、公理定理以及由其深層次內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法”。這表明，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)教學(xué)方法在本質(zhì)上是相互聯(lián)結(jié)的，在教學(xué)中數(shù)學(xué)思想時(shí)刻都能得到體現(xiàn)和運(yùn)用。 長(zhǎng)期以來(lái)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，只注重知識(shí)的傳授，卻忽視知識(shí)形成過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想方法的現(xiàn)象非常普遍，它嚴(yán)重影響了學(xué)生的思維發(fā)展和能力培養(yǎng)。隨著教育改革的不斷深入，越來(lái)越多的教育工作者，特別是一線的教師們充分認(rèn)識(shí)到:中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，一方面要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生掌握必備數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí);另一方面，更要通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)載體，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，更好地理解數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)，形成正確的數(shù)學(xué)觀和一定的數(shù)學(xué)意識(shí)。只有數(shù)學(xué)思想的形成，才能使學(xué)生受益終生

5、，正所謂“授之以魚，不如授之以漁”。不管他們將來(lái)從事什么職業(yè)和工作，數(shù)學(xué)思想方法，作為一種解決問(wèn)題的思維策略，都將隨時(shí)隨地有意無(wú)意地發(fā)揮作用。（二）數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的重要性 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是使這一靈魂得以展現(xiàn)的途徑。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，在基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)中培養(yǎng)思想方法。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)、形成優(yōu)良思維素質(zhì)的關(guān)鍵。 由于數(shù)學(xué)思想的存在，使得數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立的學(xué)術(shù)知識(shí)點(diǎn)，不能用刻板的套路解決各種不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有充分理解掌握數(shù)學(xué)思想在各種問(wèn)題上的運(yùn)用，才能更有效地把知識(shí)運(yùn)用得靈

6、活。由此可見，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，就必須重視數(shù)學(xué)思想和方法的訓(xùn)練培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力，使得學(xué)生更容易理解和更容易記憶數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)特定的事物本質(zhì)屬性，借助于基本的數(shù)學(xué)思想和方法理解可能遇到的其他類似問(wèn)題，有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)不是教出來(lái)的，更不是簡(jiǎn)單地模仿出來(lái)的，而是靠學(xué)生自主探索研究出來(lái)的。要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和方法，應(yīng)將數(shù)學(xué)思想和方法的訓(xùn)練視作教學(xué)內(nèi)容的一個(gè)有機(jī)組成部分，而且不能脫離內(nèi)容形式去進(jìn)行孤立地傳授。在數(shù)學(xué)課上要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生自己主動(dòng)地去建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。初中數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更重要的是發(fā)

7、展學(xué)生的能力，使學(xué)生形成優(yōu)良思維素質(zhì)。這對(duì)激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維，形成數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法的作用是不可低估的。 二、教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)解題思想類型 （一）轉(zhuǎn)化思想 解題過(guò)程就是將要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不在，無(wú)時(shí)不用。它的基本出發(fā)點(diǎn)就是使陌生問(wèn)題熟悉化、隱性問(wèn)題明朗化、抽象問(wèn)題具體化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、無(wú)序問(wèn)題和諧化。 例：設(shè)函數(shù)f(x)x3(1a)x24ax24a，其中常數(shù)a1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若當(dāng)x0時(shí)，f(x)0恒成立，求a的取值范圍解析：用函數(shù)、方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化與化歸求f(x)0的根，比較兩根的大小、確定區(qū)間，討論f(x)的單調(diào)性；(2

8、)將f(x)0恒成立轉(zhuǎn)化為f(x)的最小值大于0.(1)f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)由已知a1，2a2，令f(x)0，解得x2a或x1時(shí)，f(x)在區(qū)間(，2)和(2a，)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù)(2)由(1)知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)在x2a或x0處取得最小值f(2a)(2a)3(1a)(2a)24a2a24aa34a224aa(a6)(a3)，f(0)24a.由題設(shè)知即解得1a6.故a的取值范圍是(1,6) （二）數(shù)形結(jié)合思想 所謂數(shù)形結(jié)合思想就是抓住數(shù)與形之間在本質(zhì)上的聯(lián)系，然后以“形”直觀表達(dá)“數(shù)”，以“數(shù)”精確地研究“形”。它可以把抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀的形

9、，或把復(fù)雜的形轉(zhuǎn)化具體的數(shù)，從而達(dá)到簡(jiǎn)捷解題的目的，數(shù)形結(jié)合思想在解題中的起著非常重要的作用。例如在課堂教學(xué)時(shí)，很多問(wèn)題一旦教師出示了圖形或教具，就會(huì)使得困難的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，學(xué)生很容易就從直觀上理解了問(wèn)題和數(shù)學(xué)概念?？傊?，僅有數(shù)的分析或形的直觀都不易單獨(dú)解決的問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合既具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點(diǎn),又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。例：已知向量=(2,0),=(2,2),=(cos,sin),則向量與的夾角范圍為（ ）a. b. c. d.解析：為數(shù)配形。如圖所示,點(diǎn)a的軌跡是以c(2,2)為圓心, 例題解圖為半徑的圓.過(guò)原點(diǎn)o作此圓的切線,切點(diǎn)分別為m,n.連cm、cn.|=2,|=|=.知com=co

10、n=.又 cob=.mob=,nob=.選d。（三）方程思想 方程的思想，是對(duì)于一個(gè)問(wèn)題用方程解決的應(yīng)用，也是對(duì)方程概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組，或利用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)換、解決問(wèn)題。要善用方程和方程組觀點(diǎn)來(lái)觀察處理問(wèn)題。方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系。當(dāng)一個(gè)問(wèn)題可能與某個(gè)方程建立關(guān)聯(lián)時(shí)，可以構(gòu)造方程并對(duì)方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個(gè)問(wèn)題。例如證明柯西不等式的時(shí)候，就可以把柯西不等式轉(zhuǎn)化成一個(gè)二次方程的判別式。 例：在水平線上一點(diǎn)c，測(cè)得山頂a的仰角為30，向山沿直線前進(jìn)20米到d處，再測(cè)山頂a的仰角為45，求山高ab。解析：（1）在rtabc和

11、rtabd中，都沒有兩個(gè)已知元素，故不能直接解一個(gè)三角形來(lái)求出ab。（2）考慮到ab是兩直角三角形的直角邊，而cd是兩直角三角形的直角邊，而cd均不是兩個(gè)直角三角形的直角邊，但cdbcbd，啟以學(xué)生設(shè)abx，通過(guò)列方程來(lái)解，然后板書解題過(guò)程。（3）應(yīng)用未知數(shù)，用方程的思想解決問(wèn)題。解：設(shè)山高abx米在rtadb中，b90adb45bdabx（米）在rtabc中，tgcab/bcbcab/tgc3（米）cdbcbd3xx20解得x10米答：山高ab是10米（四）分類討論思想 分類思想，即根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分成為不同種類的思想方法。在解題過(guò)程中，當(dāng)條件或結(jié)論不是唯一

12、時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生幾種可能性，需要進(jìn)行分類討論。分類要不重不漏，做到科學(xué)合理。 例：已知橢圓 的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為（1）求橢圓c的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓c交于a，b兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)o到直線l的距離為，求面積的最大值 解析：圓錐曲線方程的確定要了解其中參數(shù)字母具有的幾何意義，掌握字母間的基本關(guān)系待添加的隱藏文字內(nèi)容2（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，所求橢圓方程為（2）設(shè)，當(dāng)軸時(shí)，當(dāng)ab與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線ab的方程為由已知，得把代入橢圓方程，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)時(shí)，綜上所述當(dāng)|ab|最大時(shí)，面積取最大值三、原理性的數(shù)學(xué)解題思想類型 （一）系統(tǒng)思想 從系統(tǒng)論來(lái)看，一

13、道數(shù)學(xué)題可構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)。所以在系統(tǒng)論中的整體意識(shí)和“黑箱方法”在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用。 1、整體意識(shí)在數(shù)學(xué)解題上的應(yīng)用，是指對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)該重點(diǎn)著眼于問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)，而不只是它的局部特征。然后應(yīng)通過(guò)全面而深刻的考察，從宏觀上去理解和認(rèn)識(shí)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，挖掘和發(fā)現(xiàn)出已有元素在整體結(jié)構(gòu)中的地位和作用，以求找到求解問(wèn)題的思路。2、從解題角度而言，題目就是一個(gè)“黑箱”，解題就是通過(guò)對(duì)“黑箱”進(jìn)行信息輸入和輸出來(lái)探究出“黑箱”的內(nèi)部性態(tài)。比如待定系數(shù)法，反例法，歸納法等解題策略，以及用于解答開放性或探索性問(wèn)題的探索結(jié)論過(guò)程，這些都是黑箱方法的典型運(yùn)用。 （二）辯證思想 辨證思想的運(yùn)用，往往會(huì)體現(xiàn)在

14、以下幾個(gè)方面：1、非線性結(jié)構(gòu)與線性結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換；2、已知與未知的轉(zhuǎn)換；3、常量與變量的轉(zhuǎn)換；4、正面與反面的轉(zhuǎn)換；5、靜與動(dòng)的轉(zhuǎn)換；6、數(shù)與形的轉(zhuǎn)換；7、有限與無(wú)限的轉(zhuǎn)換。 （三）運(yùn)動(dòng)變化思想 在數(shù)學(xué)解題過(guò)程當(dāng)中，運(yùn)動(dòng)變化思想分為以下三種類型：1、化靜為動(dòng)，從運(yùn)動(dòng)變化中理解數(shù)學(xué)對(duì)象的變化發(fā)展過(guò)程；2、動(dòng)中寓靜，從不變中把握數(shù)學(xué)對(duì)象變化的本質(zhì)特征；3、動(dòng)靜轉(zhuǎn)化，充分揭示運(yùn)動(dòng)形態(tài)間的互相聯(lián)系。 （四）建模思想 這是指把實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”處理，將實(shí)際問(wèn)題抽象為模型化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以揭示實(shí)際問(wèn)題的本質(zhì)。如此不僅能解決具體的實(shí)際問(wèn)題，還能鍛煉應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。因此數(shù)學(xué)建摸的思想與方法日益受到人們重視。具體的建模分成以下幾種類型：1、建立代數(shù)函數(shù)模型；2、建立解析幾何模型；3、建立平面幾何模型；4、建立物理模型；5、建立三角形函數(shù)模型。 （五）審美思想 數(shù)學(xué)美具備著簡(jiǎn)潔性、對(duì)稱性、統(tǒng)一性、和諧性以及奇異性。從數(shù)學(xué)發(fā)展史來(lái)看，數(shù)學(xué)家往往因?yàn)樽非髷?shù)學(xué)美而獲取了許多新發(fā)現(xiàn)，不斷推動(dòng)數(shù)學(xué)向前發(fā)展。而在數(shù)學(xué)解題中，則可通過(guò)數(shù)學(xué)審美而獲得數(shù)學(xué)美的直覺，促使題感經(jīng)驗(yàn)與審美直覺相配合，激活思維中的關(guān)聯(lián)因素，從而找到解決問(wèn)題的突破口。 總之，思想是行動(dòng)的指南。數(shù)學(xué)解題思想，就是利用