概率統(tǒng)計復習用PPT課件

1、事件間的關系：包含、相等、互不相容事件間的關系：包含、相等、互不相容 事件運算：并、交、差、對立事件運算：并、交、差、對立； 運算性質：運算性質： 交換律：ABBA ABBA 結合律：A（BC）（AB）C A（BC）（AB）C 分配律：A（BC）（AB）（AC） A（BC）（AB）（AC） 德.摩根律： ABABABAB 符號符號集合集合概率概率 S空間樣本空間（必然事件） 空集不可能事件 eSS中的元素樣本點 e 單點集基本事件 A SS的子集事件A A B集合A包含在集合B中 事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生 A= B集合A與B相等事件A與事件B相等 A B集合A與B的并集事件A與B至少發(fā)生一個

2、A B集合A與B的交集事件A與B同時發(fā)生 A B= 集合A與B無共同元素 事件A與B不能同時發(fā)生 集合A的補集事件A不發(fā)生 A- B集合A與B的差事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生 例：例：設A、B、C表示三個事件，試用A、B、C的運算表示 下列事件： 僅A發(fā)生；A、B、C都不發(fā)生；A、B、C都發(fā)生； A、B、C至少有一個發(fā)生；A、B、C恰有一個發(fā)生。 解：解： ABC ABC ABC ABC ABCABCABC 3 頻率與概率 (2) P(S )= 1 ， (3) 若事件A1 , A2 , , An , 兩兩互不相容，則有 )()()()( 2121nn APAPAPAAAP (1) 若事件A ，有

3、P(A) 0 ， 設E 是隨機試驗， S 是它的樣本空間, 概率的公理化定義 定義定義 非負性 正則性 可列 可加性 性質性質1. P()=0 性質性質2. (有限可加性有限可加性) 若若A1 , A2 , , An 兩兩互不相容兩兩互不相容，則有，則有 P( A1 A2 An )= P(A1) +P( A2 ) + +P( An ) 性質性質5. (余概公式余概公式 ) 對任何事件對任何事件 A， 有有 P( )= 1-P(A) . 性質性質3. 任意事件任意事件 A, B有有 P( B-A )= P(B) - P(AB). (差概公式差概公式) 推論推論 若若A B, 有有 P( B-A

4、)= P(B) - P(A)，且且P(A) P(B) . (單調性單調性) .)()1()()1( )()()()( 21 1 1 1 1111 21 21 n n nmmm mmm r nkji kji nji jii n i n i i AAAP AAAP AAAPAAPAPAP r r 性質性質6. (加法公式加法公式) 對任意事件對任意事件 A，B ， A1 , A2 , , An 有有 P( A B )= P(A) +P( B)- P( AB) , 性質性質4. 對任何事件對任何事件 A， 有有 P(A) 1. 則稱n(A)為 事件A 發(fā)生的頻數(shù), 稱比值 為事件 A 在 n 次試驗

5、中出現(xiàn)的頻率, 定義定義1 如果在如果在 n 次重復試驗中事件次重復試驗中事件A 發(fā)生了發(fā)生了n( (A) )次次, n An)( 記為記為 f n ( A )， n An Afn )( )( 即即 A 發(fā)生的 頻繁程度 穩(wěn)定值 確定概率的頻率方法 基本性質基本性質 ;1)(0)1( Afn ( (3) ) 設設A1, A2, , Ak 兩兩互不相容的事件，則兩兩互不相容的事件，則 ; 1)()2(Sfn )()()()( 2121 k nnn k n AfAfAfAAAf 非負性 正則性 有限 可加性 即滿足公理化定義即滿足公理化定義. 4 等可能概型 ( 古典概型 )-確定概率的古典方法

6、古典方法的基本思想古典方法的基本思想 ： (1) 樣本空間 S 只有有限多個樣本點， (2) (2) 每個樣本點發(fā)生的可能性每個樣本點發(fā)生的可能性相等相等， ;, 21n S即 等可能性 這樣就把求概率問題轉化為計數(shù)問題 . 設事件 A 由 k 個樣本點組成 ，即 則 A 的概率為： , , 21k iii A 中的樣本點總數(shù) 包含的樣本點數(shù) S A n k )(AP 稱此概率為古典概率. 這種確定概率的方法稱為古典方法 . 當樣本空間S 有無限多個等可能的樣本點，并且S 可表示為 一個有度量的幾何區(qū)域時, 就形 成了確定概率的另一方法幾 何方法. 它類似于古典概率，仍用“事件的概率”等 于“

7、部分”比“全體”的方法來規(guī)定事件的概率. 不過現(xiàn)在的“部分”和“全體”所包含的樣本點 是無限的. 早在概率論發(fā)展初期，人們就認識到，只考慮有限個等可能樣本 點的古典方法是不夠的. 1.2.5 確定概率的幾何方法確定概率的幾何方法 定義定義 若隨機現(xiàn)象若隨機現(xiàn)象 E 具有以下兩個特征：具有以下兩個特征： (1) E 的樣本空間有無窮多個樣本點，且可用一個有度量的幾 何區(qū)域來表示； (2) (2) 每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同。每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同。 則則事件事件A的概率為的概率為： 有度量的區(qū)域S 事件事件A對應的區(qū)域仍以對應的區(qū)域仍以A表示表示 的度量 的度量 S A AP)( 長度 面積

8、 體積 S . . . . . . 1933年, kolmogorov 柯爾莫哥洛夫 無限個等可 能樣本點 有限個 等可能 樣本點 克服等可 能觀點不 易解決的 問題 公理化 定義 幾何 定義 頻率 定義 )( 中的樣本點總數(shù) 包含的樣本點數(shù) S A AP 的度量 的度量 S A AP)( 古典古典 定義定義 n An Afn )( )( B 設設A、B是兩個事件，是兩個事件， )( )( )|( AP ABP ABP A 為在事件 A 發(fā)生的條件下, 事件 B 的條件概率. 定義且 P(A) 0, 則稱 AB 在事件A 已發(fā)生的條件下,為使 B 也發(fā)生, 試驗結果必須是既在 A 中又在 B

9、中的樣 本點 ,即此點必屬于AB. 條件概率是概率滿足概率的三條公理 用用古典概型古典概型的思想去理解：的思想去理解： 5 條 件 概 率例題例題 涉及涉及 A與與 B 同時發(fā)生時，同時發(fā)生時， 用用P( (AB) )； 有主從關系時，有主從關系時， 用用P( (A| |B).). = , 2) ) 在減縮的樣本空間中在減縮的樣本空間中 ( (加入條件后改變了的情況加入條件后改變了的情況) )直接計直接計算算. 1) 在原樣本空間中直接用定義計算:, )( )( )|( AP ABP ABPP(A)0； 例2一盒中裝有4只產品，其中3只為一等品, 1只為二等品。從 中不放回的抽取兩次，每次取1

10、只產品，A表示第一次取到的是 一等品，B表示第二次取到的是一等品，求條件概率P(B|A) . 2 , 2 1 A 發(fā)生后的縮減樣本空間 所含樣本點總數(shù) 在縮減樣本空間 中B 所含樣本點個數(shù) 條件概率的計算 解: 方法 1)用定義計算 P(A) P(AB) 34 233 4 方法 2) . 3 2 )( )( )|( AP ABP ABP S 的 點數(shù) 4 = 3 . 3 2 )|(ABP 由條件概率的定義由條件概率的定義 即即 若若P( (B) )0, 則則 P( (AB) )= P( (B) )P( (A| |B) ) ( (1) ) )( )( )|( BP ABP BAP 若已知P(B)

11、, P(A|B)時, 可以反求P(AB). 對調A、B的位置，則有 (1)和(2)式統(tǒng)稱為乘法公式 , 利用 它可計算兩個事件同時發(fā)生的概率 二、 乘法公式 即即 若若P( (A) )0, 則則 P( (BA) )= P( (A) )P( (B| |A) ) ( (2) ) 推廣到多個事件的乘法公式: 當當 P( (A1A2An-1) ) 0 (?)時，有時，有 P( (A1A2An) )= P( (A1) )P( (A2|A1) )P( (A3|A1A2) ) P( (An| A1A2An-1) ) (5.5) 例例4* 設有設有 100 件產品，其中有件產品，其中有 10 件次品件次品.

12、現(xiàn)從中連續(xù)取現(xiàn)從中連續(xù)取 3次，每次次，每次不放回不放回地取地取 1 件，求第件，求第 3 次次才才取到次品的概率取到次品的概率. 則所求概率為：則所求概率為： 解 設 Ai =第 i 次取到的是次品, i =1, 2, 3. )( 321 AAAP)|()|()( 213121 AAAPAAPAP )( 1 AP)|( 12 AAP)|( 213 AAAP .0826. 0 98 10 99 89 100 90 )( 321 AAAP , 100 90 , 98 10 , 99 89 P( (A1A2An) )= P( (A1) )P( (A2|A1) )P( (A3|A1A2) ) P(

13、(An| A1A2An-1) ) n i i BAPAP 1 )()( 乘法公式 )|()( 1 ii n i BAPBP 設設 B1, B2, , Bn 是是 的一個的一個分割分割，且，且 , 1 n i i B (三) 全概率公式 定義定義 若若 n 個事件個事件 B1, B2, , Bn互不相容，且互不相容，且滿足滿足 則稱 B1, B2, , Bn 為 的一個分割（或劃分）. P(Bi) 0， i = 1, 2, , n , 對任一事件 A ， 顯然 A = A n i i BA 1 n i i BA 1 )( ,)( jiji BAABBB , ) , 2, 1,(njiji )(

14、1 i n i BAP 則 A B2 B1 B3 Bn -1 Bn 定理：定理： 有 n i ii BAPBPAP 1 )|()()( 全概(率)公式 “全”部概率 P(A) 被 分解成了許多部分之和 最簡單形式：若 0P(B) 0, i =1, 2, , n ，如果，如果P (A) 0 , 則則 即 P(Bi|A). . )|()( )|()( )( )( )|( 1 n j jj iii i BAPBP BAPBP AP ABP ABP . )|()( )|()( )|( 1 n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 證明：由條件概率、乘法公式和全概率公式可得 S 1 B A

15、 2 B 3 B 4 B 1 AB 2 AB 4 AB 3 AB 知“結果” 求“原因” 例例6 對以往數(shù)據(jù)分析結果表明：當機器調整得良好時，產品的合對以往數(shù)據(jù)分析結果表明：當機器調整得良好時，產品的合 格率為格率為98%；而當機器發(fā)生某種故障時，產品的合格率為；而當機器發(fā)生某種故障時，產品的合格率為55%； 每天早上機器開動時，機器調整良好的概率為每天早上機器開動時，機器調整良好的概率為95%。試求已知某。試求已知某 日早上第一件產品是合格品時，機器調整良好的概率是多少？日早上第一件產品是合格品時，機器調整良好的概率是多少？ 解：設解：設A為事件為事件“產品合格產品合格”， B為事件為事件“

16、機器調整良好機器調整良好”。 則則 0.98, )|(BAP )(BP )|(ABP )(BP )|(BAP )( )( AP ABP )()|()()|( )()|( BPBAPBPBAP BPBAP 0.55, 0.95, 0.05, 所求的概率為所求的概率為 。97. 0 05. 055. 095. 098. 0 95. 098. 0 先驗概率 后驗概率 定義 若事件A, B 滿足P(AB)= P(A)P(B), 則稱事件 A 與 B 相互 獨立 . 簡稱獨立 . 6 事件的獨立性 不可能事件與任一事件都是相互獨立的 一般地 P(A|B) P(A) 例子 在擲兩顆色子的試驗中，記 A =

17、第一顆色子的點數(shù)為1， B =第二顆色子的點數(shù)為4。很顯然，事件B發(fā)生, 并不影響事 件A 發(fā)生的概率. 即 P(A|B)= P(A)。 在條件 P(B)0下， P(A|B)= P(A) P(AB)=P(A)P(B). 在條件 P(A)0下， P(B|A)= P(B) P(AB)=P(A)P(B). 實際應用中往往根據(jù)問題的實際意義判斷兩事件是否獨立實際應用中往往根據(jù)問題的實際意義判斷兩事件是否獨立 如果對其中任意一組事件 (12)個事件 兩兩獨立 相互獨立 結論: 若事件 A1, A2, ,An 相互獨立，將其中的任意多個事 件換成其對立事件，則所得的 n 個事件仍相互獨立 . 直接 計算

18、作業(yè) 古典概型古典概型 幾何概率幾何概率 條件 概率 Bayes公式 全概率公式 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B) n i ii BAPBPAP 1 )|()()( P(AB)= P(A)P(B|A)， ( P(A) 0) n j jjiii BAPBPBAPBPABP 1 )|()()|()()|( )( )( )|( BP ABP BAP 等可能性等可能性 )( 中的樣本點總數(shù)中的樣本點總數(shù) 包含的樣本點數(shù)包含的樣本點數(shù) A AP 的度量的度量 的度量的度量 A AP )( 利用事件的利用事件的獨立性獨立性，可以，可以 簡化簡化事件交事件交的概率計算的概率計算 在縮減的樣本空間里直

19、接計算 用定義用定義 有主從關系的 簡單條件概率問題 復雜條件概率問題： 知“結果”求“原因” 求事件交的概率 知“原因” 求“結果” 推推 算算 概率計算概率計算 重要重要 公式公式 有限個 樣本點 無限個樣本點， 且可度量 常用排列組合公式 計算樣本點的個數(shù) 所有Bi 必須 構成“分割” 第二章 隨機變量及其分布 1 隨機變量 . x . R 定義定義 設隨機試驗設隨機試驗 E 的樣本空間為的樣本空間為 ，若對每一個樣本點，若對每一個樣本點 ，有唯一實數(shù)，有唯一實數(shù) X( )與之對應，與之對應，則稱實值函數(shù)則稱實值函數(shù) X( )為為隨隨 機變量機變量, 簡記為簡記為 X . 隨機變量通常用

20、大寫字母 X, Y, Z 等表示，其取值用小寫字 母 x, y, z 等表示。 X() ( )f x 數(shù)學 分析 本書只學習離散型和連續(xù)型隨機變量，它們有很多共同或相本書只學習離散型和連續(xù)型隨機變量，它們有很多共同或相 似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點. 例如，“抽驗一批產品中次品的個數(shù)”， 隨 機 變 量 離散型隨機變量：僅取有限個或可列個值 非離散型隨機變量 隨機變量的分類 “每天進入某商場的顧客數(shù) ” 等. 例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”，等. 連續(xù)型隨機變量 全部可能取值不僅有 無窮多，而且不可數(shù)。 2 離散型

21、隨機變量及其分布律 其它隨機變量 1 )( k k xXP P X= xi = pi , i =1, 2, 3, 1k k p 定義 設離散型隨機變量 X 的所有可能取值為 x1 , x2 , , xi , ， 且 X 取這些值的概率分別為 則稱(2.1)為離散型隨機變量 X 的概率分布列，簡稱分布列. (2.1)(2.1) 注注1 分布列也可表示為表格的形式：分布列也可表示為表格的形式： n n ppp xxx 21 21X x1 x2 xk pk p1 p2 pk pk = P( ( ) )= 1 1 1. 注2 分布列的性質： 分布律 特征性質： 0 1； 或或 對離散型隨機變量，關鍵是

22、弄清楚它對離散型隨機變量，關鍵是弄清楚它可能取哪些值，以及取這可能取哪些值，以及取這 些值的概率些值的概率。 設隨機變量設隨機變量 X 只可能取只可能取0與與1兩個值，它的分布率為兩個值，它的分布率為 X X 0 1 pk 1-p p 稱稱X 服從（服從（0 01 1）分布。）分布。 （01）分布用來描述只有兩個結果的隨機試驗。）分布用來描述只有兩個結果的隨機試驗。 （二）伯努利試驗、二項分布（二）伯努利試驗、二項分布 定義：設試驗 E 只有兩個可能的結果：A 和 , 則稱 E 為 伯努利（Bernoulli）試驗. 設 p(A)=p, 0p1, 將E獨立地重復進 行n次，則稱這一串的試驗為

23、n 重伯努利試驗。 即每次試驗結果 互不影響 在相同條件下 重復進行 定義定義：設伯努利試驗中事件：設伯努利試驗中事件 A 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 p, 用用 X 表示表示 在在 n 重伯努利試驗中事件重伯努利試驗中事件 A 發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則 稱稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為n, p的的二項分布二項分布，記為，記為 X b( n, p ). (1) kkn k n C pp )(kXP n=1時為（0-1）分布 三、三、 泊松分布泊松分布 泊松分布是泊松分布是1837年由法國數(shù)學家泊松年由法國數(shù)學家泊松 Poisson 首次提出的。其分布列為首次提出的。其分布列為 ,2, 1,0,

24、 ! )( ke k kXP k ).(, 0X記為其中參數(shù) 000 ()1. ! kk kkk P Xkeeee kk 泰勒級數(shù) 可以將可以將 X 看作數(shù)軸上看作數(shù)軸上隨機點隨機點的坐標，分布函數(shù)的坐標，分布函數(shù) F( (x) )的值就的值就 表示表示 X 落在區(qū)間落在區(qū)間(-(- , ,x 的概率的概率. 定義：定義：設設 X 是隨機變量，對任意實數(shù)是隨機變量，對任意實數(shù) x 稱稱 ( )(),F xP Xx 為隨機變量為隨機變量X 的的分布函數(shù)分布函數(shù). 且稱且稱 X 服從服從 F(x), 記為記為 X F( x ), 有有 時也用時也用FX( x ) 來表明是來表明是 X 的分布（把的

25、分布（把 X 作為下標）。作為下標）。 X 是隨機變量，x 是自變量. xX x 分布函數(shù) FX( x ) ：R 0, 1 是一個普通的函數(shù),通過它, 我們就可以用分析的工具來研究隨機變量的取值規(guī)律 特殊形式事件的概率 分布函數(shù)是對分布函數(shù)是對各類各類隨機變量隨機變量以及其以及其概率問題的概率問題的統(tǒng)一的統(tǒng)一的描述方法描述方法. 3、隨機變量的分布函數(shù) PP )(limxF x ( (4) ) F( (x) ) 關于關于 x 右右連續(xù)，連續(xù)， . ) ()(lim 0 0 xFxF xx F(- ) )(lim)(xFF x 分布函數(shù)的基本性質 (3) (1) = 1； = 0， ;, 1)(

26、0 xxF 21 xx 21 xXxX ( (2) ) F( (x) ) 是是 x 的非減函數(shù)，的非減函數(shù)， 即若 x1x2 , 則 F(x1) F(x2); 即對任意的實數(shù) x0 ，有 非負性 單調 不減性 右連 續(xù)性 規(guī)范性 . x . . . . 3 , ; 32 , ;21- , ; 1 , )( x x x x xF 例1 設離散隨機變量 X 的分布列為 試求： P(X 0.5)， P( 1.5X 2.5), 并寫出 X 的分布函數(shù)。 X -1 2 3 pk 0.25 0.5 0.25 F( (x) )的圖形是階梯狀的的圖形是階梯狀的,在在 x= -1, 2, 3 . . . 2 3

27、 。 0.25 0.75 1 x F(x) -1 0 . . . 。 。 xx k k x p xXPxF)()()( 解：解： P ( X 0.5 ) =P( X = -1 ) = 0.25 P ( 1.5 X 2.5 )= P ( X =2 ) = 0. 5 0 0.25+0.5=0.75 0.25+0.5+0.25=1 0.25 離散型隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量的分布函數(shù): （1）右連續(xù)的階梯函數(shù)）右連續(xù)的階梯函數(shù); （2）其間斷點）其間斷點xk為為X的可能取值點的可能取值點; （3）在間斷點）在間斷點xk 的跳躍高度是對應的跳躍高度是對應 的概率值的概率值pk. 處有跳躍，其躍度

28、分別等于處有跳躍，其躍度分別等于0.25，0.5 和和 0.25 2 例例2 一個靶子是半徑為一個靶子是半徑為2米的圓盤，設擊中任一同心圓盤上的點米的圓盤，設擊中任一同心圓盤上的點 的概率與該圓盤的面積成正比，并設射擊都能中靶，以的概率與該圓盤的面積成正比，并設射擊都能中靶，以X 表示表示 彈著點與圓心的距離。試求隨機變量彈著點與圓心的距離。試求隨機變量X 的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 解：由條件可知，隨機變量解：由條件可知，隨機變量X的取值范圍為：的取值范圍為： . 20, 4 )()( 2 x x xXPxF 當當 x 2 時，時，= P(S ) = 1 F(x)= P(X x) F(x)=

29、P(X x) F(x)= P(X x) , 2 kx 所以所以 X 的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為： 分布函數(shù)分布函數(shù) 的特征的特征 Xx 20 x F( x ) 1 0 X 2 。 )2()2(XPF1)(SP.4k.41 k . 21 20 4 00 )( 2 x x x x xF ， ；， ；， k 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。 利用 X 的分布函數(shù)F(x) 表示下列隨機事件的概率 ).()(xFxXP )() 1 (bXaP)(aXbXP ; )()()(aFbFbXaP ; )(1)(aFaXP )()3(bXP)()()(bXPbXPbXbXP ).()()(bXPbFbXP ; ) (1

30、bXaP）（ ; ) (2aXP）（ . ) (3bXP）（ 解：有分布函數(shù)的定義知，對任意實數(shù)解：有分布函數(shù)的定義知，對任意實數(shù) x 有有 ，）（)(1)(2aXPaXP ，)()(aXPbXP 4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù) 連續(xù)隨機變量的一切可能值充滿某個區(qū)間連續(xù)隨機變量的一切可能值充滿某個區(qū)間 ( a, b )， 因此描述連續(xù)隨機變量因此描述連續(xù)隨機變量 的的概率分布的的概率分布不能再用分布列不能再用分布列表示，而要改用表示，而要改用概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)表示。表示。 定義定義 設隨機變量設隨機變量 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F ( x ) ,

31、如果存在實數(shù)軸上如果存在實數(shù)軸上 的一個的一個非負可積非負可積函數(shù)函數(shù) p ( x ) , 使得對任意實數(shù)使得對任意實數(shù) x 有有 ,)()(dttpxF x ).()(xpxF (4.1) 則稱則稱 X 為連續(xù)隨機變量，稱為連續(xù)隨機變量，稱 p ( x ) 為為 X 的概率密度函數(shù)，簡稱的概率密度函數(shù)，簡稱 為為密度函數(shù)密度函數(shù)。 (4) 若若 p ( x ) 在點在點 x 處連續(xù)，則有處連續(xù)，則有 密度函數(shù)的基本性質：密度函數(shù)的基本性質： (1) 非負性非負性 (2) 正則性正則性 ; 0)(xp ；1)( dxxp ；dttpaFbFbXaP b a )()()()()3( 概率密度 0

32、 b x 由于隨機變量由于隨機變量 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F ( x ) 是密度函數(shù)是密度函數(shù) p ( x ) 的積分的積分 ,)()(dttpxF x 所以，所以， ,)()()(dttpbFbXP b 就是就是陰影部分陰影部分的的面積面積。 密度函數(shù) a b x p ( x ) 密度函數(shù) p ( x ) .)()(dttpbXaP b a 連續(xù)隨機變量與離散隨機變量的性質差別連續(xù)隨機變量與離散隨機變量的性質差別: (1) 離散隨機變量的分布函數(shù)離散隨機變量的分布函數(shù) F ( x ) 總是總是右連續(xù)右連續(xù)的的 階梯階梯函數(shù)，而連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)函數(shù)，而連續(xù)隨機變量的分布函數(shù) F

33、( x ) 一一 定是整個數(shù)軸上的定是整個數(shù)軸上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)。 ,)()(dttfxF x . 0)( aXP .)()()()()( b a dxxfbXaPbXaPbXaPbXaP (2) 離散隨機變量離散隨機變量 X 在其可能取值的點在其可能取值的點 x1, x2, 上上 的概率一般的概率一般不為不為0，而連續(xù)隨機變量，而連續(xù)隨機變量 X 在在 (-, +) 上任一點上任一點 a 的概率的概率恒為恒為0，即，即 (3) 由于連續(xù)隨機變量由于連續(xù)隨機變量 X 僅取一點的概率恒為僅取一點的概率恒為0，所以，所以 而離散隨機變量不具有此性質，計算概率時必須而離散隨機變量不具有此性質，計算

34、概率時必須 “點點計較點點計較”。 證：對任意證：對任意 有有 0 x )()(0aXxaPaXP)()(xaFaF， a xa dttf)( 在上式中令在上式中令 ，0 x 由由F ( x ) 的的連續(xù)性連續(xù)性知結論成立。知結論成立。 a 0 b x F( x) 1 1 ,; ( ) 0,. axb p xba 其它 a 0 b x p(x) 1/(b-a) 則稱則稱 X 服從區(qū)間服從區(qū)間( a, b )上的上的均勻分布，均勻分布，記為記為 X U ( a, b ). 其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 0, ; ( ), ; 1, . xa xa F xaxb ba xb 一、若隨機變量一、若隨機變

35、量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 幾種常見的連續(xù)型隨機變量幾種常見的連續(xù)型隨機變量 壽命分布壽命分布，如：電子元器件的，如：電子元器件的 壽命、動物的壽命、電話的通壽命、動物的壽命、電話的通 話時間、隨機服務系統(tǒng)中的服話時間、隨機服務系統(tǒng)中的服 務時間等都可假定服從指數(shù)分務時間等都可假定服從指數(shù)分 布。指數(shù)分別在可靠性與排隊布。指數(shù)分別在可靠性與排隊 論中有著廣泛的應用。論中有著廣泛的應用。 (二二) 2-11 圖圖2-11 ( 4.7 ) . 2 1 )( 2 2 2 )( x t dtexF 正態(tài)分布正態(tài)分布 N( , 2 ) 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 (三三) （4.10） ., 2 1

36、 )( 2 2 2 )( xexp x 為為位置參數(shù)位置參數(shù) 如果固定如果固定 ，改變，改變 的值，的值， 則圖形沿則圖形沿 x 軸平移，但形軸平移，但形 狀不變。狀不變。 為為尺度參數(shù)尺度參數(shù) 如果固定如果固定 ，改變，改變 的值。則的值。則 越小，曲線越小，曲線 呈高而瘦；呈高而瘦； 越大，曲越大，曲 線呈矮而胖。線呈矮而胖。 ., 2 1 )( 2 2 2 )( xexp x 由于標準正態(tài)分布的分布由于標準正態(tài)分布的分布 函數(shù)不含有任何未知參數(shù)，故函數(shù)不含有任何未知參數(shù)，故 其值其值 ( u )=P( Uu )完全可以完全可以 計算出來，計算出來，附表附表2（第（第439頁）頁） 對對

37、u0 給出了給出了 ( u ) 的值。的值。 u 0 u 一般正態(tài)分布的標準化一般正態(tài)分布的標準化 則若),( 2 NX )16. 4( ),()()( c cXPcF )17. 4( ),()()( ab bXaP 引理引理 定義定義 設設連續(xù)連續(xù)隨機變量隨機變量 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F( x ), 密度函數(shù)密度函數(shù) 為為 p( x ). 對任意對任意 ( 0, 1 ) , 稱滿足條件稱滿足條件 )(zXP zz - 1 的的 z 為此分布的為此分布的上上 分位點（數(shù)）分位點（數(shù)）. 上分位數(shù)上分位數(shù) z 是把密度函數(shù)下的面積是把密度函數(shù)下的面積 分為兩塊，分為兩塊，右側右側面積恰

38、好為面積恰好為 . zz 1 z dxxp)( z 0 z- z 對標準正態(tài)分布有：對標準正態(tài)分布有： 分布函數(shù) 離散隨機變量 的概率分布列 連續(xù)隨機 變量的密 度函數(shù) 1, 0),( )()( X F X xXPxF 隨機變量隨機變量 X 隨機事件隨機事件 數(shù)值化 P(X x) x . . R X() , )()( xx i i xpxF . 1)(, 1)(0 1 i ii xpxp ; 0)(xp . 1)( dxxp 隨機變量及其分布函數(shù)隨機變量及其分布函數(shù) 非負、單調不減、右連續(xù)非負、單調不減、右連續(xù) 且且F(-)=0, F(+)=1 ,)()(dttpxF x 連續(xù)函數(shù) 右連續(xù)階梯

39、函數(shù) 充要條件充要條件 充要條件充要條件 充要條件充要條件 用 X 的取值(范圍)表示事件 p( x i )=F( xi )- F( xi -0) 求導 0-1分布、二項分分布、二項分 布、泊松分布布、泊松分布 均勻分布、指數(shù)均勻分布、指數(shù) 分布、正態(tài)分布分布、正態(tài)分布 5 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布 離散隨機變量函數(shù)的分布離散隨機變量函數(shù)的分布 若離散隨機變量若離散隨機變量 X 的分布列為的分布列為 X x1 x2 xn P p( x1) p( x2 ) p( xn) Y g( x1) g( x2 ) g( xn) P p( x1) p( x2 ) p( xn) 當當 g( x1)

40、 g( x2 ) g( xn) 中有某些值相等時，則把中有某些值相等時，則把 那些相等的值分別合并，并把對應的概率相加即可那些相等的值分別合并，并把對應的概率相加即可 則則 Y=g( X ) 也是一個離散隨機變量，此時也是一個離散隨機變量，此時 Y 的分布列為的分布列為 一般，若已知連續(xù)隨機變量X的概率分布，Y=g(X)， 求Y的概率分布的過程為： 關鍵是找出等價事件。 (1)、先計算、先計算 Y= g( X ) 的分布函數(shù)的分布函數(shù) FY( y ), )()(yYPyF Y )(yXgP)(DXP (2)、對分布函數(shù)求導函數(shù)得到密度函數(shù)。、對分布函數(shù)求導函數(shù)得到密度函數(shù)。 往往需要根據(jù) g(

41、 x ) 和 y 來分類討論范圍 D D X dxxp)( 連續(xù)隨機變量函數(shù)的分布連續(xù)隨機變量函數(shù)的分布 定理：設隨機變量定理：設隨機變量X X 的概率密度為的概率密度為( ),( ) X fxg x可導且恒有可導且恒有 ( )0( )0)g xg x或()Yg X則是連續(xù)型隨機變量，是連續(xù)型隨機變量， ( )|( )|, ( ) 0, X Y fh yh yy fy 其它 其中其中(,)為為g g( (x) )的值域，的值域， ( )( )h yg x是的反函數(shù)。 其概率密度為其概率密度為 公式法 例例4、 第三章 多維隨機變量及其分布 定義定義 稱稱 n 個個定義在定義在同一個樣本空間同一

42、個樣本空間上上的隨機變量的整體的隨機變量的整體 X=( (X1, X2 , ，Xn ) )為為 n 維隨機變量維隨機變量 或或 n 維隨機向量維隨機向量. 1、二維隨機變量、二維隨機變量 類似于一維隨機變量可視為直線類似于一維隨機變量可視為直線( (一一 維空間維空間) )上的隨機點上的隨機點, ,二維隨機變量可視二維隨機變量可視 為平面上為平面上( (二維空間二維空間) )的的隨機點隨機點 . . 與一維類似 使用分布函數(shù), 概率分布列和概率密度等 函數(shù),來刻劃作為一個整體的二維隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律. 以下主要討論二維隨機變量 ( X, Y ) . S e y ,X e Y e x 也稱為隨機

43、變量 X 與 Y 的 聯(lián)合分布. 以(x,y )為頂點,且位于該點左下方的無窮矩形 y x o ),(yx. . . . . . . . . . . . . ),(yYxXP 二元函數(shù)二元函數(shù) )()( ),(yYxXPyxF );( 22yYxXP 二維隨機變量的分布函數(shù) 定義定義 設設( (X, Y) )是二維隨機變量是二維隨機變量, , ,Ryx 稱為二維隨機變量(X ,Y )的分布函數(shù)， ),(),(),(),( 111 2 2122 yxFyxFyxFyxF );( 21yYxXP );( 12 yYxXP );( 11yYxXP 幾何解釋幾何解釋: F(x, y) 表示隨機點表示隨

44、機點( (X , ,Y ) )落在落在 內的概率內的概率. y x o y2 y1 x1 x2 12 ()P xXx 12) ; yYy 二維隨機變量分布函數(shù)的特征性質(充要條件) 20 ( (非負非負規(guī)范性規(guī)范性) 30 ( (右連續(xù)性右連續(xù)性) ) 10 ( (單調不減性單調不減性) ).,),(是是單單調調不不減減的的分分別別關關于于yxyxF );,()0,(),() , 0 (yxFyxFyxFyxF 40 , 2121 yyxx y x o ),(yx x x x 0; 2121 yYyxXxP ;1 . 0),(, , 0 ),(, yFyxFx ),(F y x o . 0),

45、(),(),(),( 21121122 yxFyxFyxFyxF ),( 21 yx ),( 22 yx ),( 12 yx . . . . ),( 11 yx 一維？ P48 , 1),(0yxF 第四條性質是二維場合特有第四條性質是二維場合特有 的，一維情形沒有。第四條性質的，一維情形沒有。第四條性質 不能由前三條推出。不能由前三條推出。 矩形區(qū)域 聯(lián)合分布列聯(lián)合分布列 定義定義 如果二維隨機變量如果二維隨機變量( X, Y ) 只取有限個或可列個數(shù)只取有限個或可列個數(shù) 對對 ( xi, yi )，則稱，則稱( X, Y ) 為為二維離散隨機變量二維離散隨機變量，稱，稱 (,),1, 2,

46、 ijij pP Xx Yyi j 為為( X, Y ) 的的聯(lián)合分布列聯(lián)合分布列，也可用表格來記聯(lián)合分布列，也可用表格來記聯(lián)合分布列 Y X y1 y2 yj x1 x2 . . . . . . xi . . . . . . p11 p21 . . . . . . pi1 . . . . . . p12 p22 . . . . . . pi2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . p1j p2j . . . . . . pij . . . . . . . . . . . . . . . . . . 二維離散型隨機變量及其分布列 二維離散型隨機變量 , 2 ,

47、 1 , ),(),(jiyxYX ji (X,Y )的概率分布列 一維離散型隨機變量 , 2 , 1 ,jxX j .1 ;0 j j j p p X 的概率分布列 jj pxXP )( 分布列 ),( ji yYxXP X 和Y 的 聯(lián)合分布列 1 , 0 ij j i j i p p 可表示為 表格形式 類比 1 , 0 ij j i j i p p 非負性 規(guī)范性 j i p Y X y1 y2 yj x1 x2 . . . . . . xi . . . . . . p11 p21 . . . . . . pi1 . . . . . . p12 p22 . . . . . . pi2

48、. . . . . . . . . . . . . . . . . . p1j p2j . . . . . . pij . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 和Y 的聯(lián)合分布函數(shù) ),(),(yYxXPyxF yy j i xx ji p X 的分布函數(shù) ( )()xFP Xx j j xx p 若若G為平面上的一個區(qū)域，則為平面上的一個區(qū)域，則 .),(),( G dxdyyxpGYXP（1.3） yx,實數(shù)實數(shù) x dttfxF)()(有有 0)(xf若若 (X,Y )是二維連續(xù)型隨機變量 0),(yxf若若 二維連續(xù)型隨機變量 X 是(一維)連續(xù)型隨

49、機變量 類比 yx dudvvufyxF),(),(有有 I dxxfIXP xfxF dxxf xf )( )()( 1)( 0)( dxdyyxfGYXP yxf yx yxF dxdyyxf yxf G ),(),( ( ),( ),( 1),( 0),( 2 1),( 0),( dxdyyxf yxf =F(+ , +) 非負性 規(guī)范性 x (-, +) 隨機變量X 的分布函數(shù)F(x) f (x) 是 X 的概率密度 二維隨機變量(X,Y )的分布函數(shù)F(x,y) f (x,y)是X 和Y 的聯(lián)合概率密度 P(0 X 1, 0 Y 2) G dxdyyxf),() 0 , 1 ( )2

50、 , 0() 0 , 0 () 2 , 1 ( FFFF 例2* 設(X, Y )的 聯(lián)合密度函數(shù)為 23 0, 0; ( , ) , 0 . xy xyC f x y 其其他他 e e 常數(shù)常數(shù)C; 分分布函數(shù)布函數(shù)F( (x, y) ); P( (0X 1, 0Y ) ). . 解解 dxdyyxf),(1 由規(guī)范性知：由規(guī)范性知： , 6 C C=6; ( , )( , ) yx F x yf u v dudv 記為G 23 00 6e ,0,0; xy uv dudvxy y x o G 23 (1)(1)0,0;, ( , ) ,.0 xy xy F x y 其其他他 eeee x

51、y 23 0 0 6 x xy dxdy e e 4 . 5 2-3 00 xy dxdy C eeee ,0其他其他 26 (1)(1) ；eeeeG G dxdyyxfGYXP),(), ( ( P( X Y ) 23 0 2e(1 e) xx dx 試求：試求： ( ) X Fx( ) Y Fy ( ) Z Fz , ( , ) X Y Fx y , ( , ) X Z Fx z , ( , ) Y Z Fy z ( ,),F x (, ,),Fy (, ),Fz ( , ,),F x y( , ),F xz(, , ).Fy z 或稱邊緣分布 3.2 邊緣分布邊緣分布 邊際分布列邊際分

52、布列 P( X=i ) 0.54 0.46 P( Y=j )0.160.330.511 1j iji pp 1i ijj pp ij p 解解: p( x, y ) 的的非零非零區(qū)域為圖中的陰影部分區(qū)域為圖中的陰影部分 求求 pX( x ): 當當 x 0 或或 x 1 時，時， ( ) X px ( )( , ) X pxp x y dy 12 . x x dyx ( , )p x y dy 0. 當當 0 x 1 時，時， 2 ,01; ( ) 0,. X xx px 其他 所以所以, X 的邊際密度函數(shù)為的邊際密度函數(shù)為 yx yx 因此因此, (1/ 2)P X 1/2 ( ) X p

53、x dx 1/2 0 21/ 4.xdx 求求 pY( y ): 當當 y -1 或或 y 1 時，時， ( ) Y py 1 11. y dxy ( , )p x y dx 0. 當當 -1 y 0 時，時， 1,10; ( )1,01; 0,. Y yy pyyy 其他 所以所以, Y 的邊際密度函數(shù)為的邊際密度函數(shù)為 xy xy ( ) Y py( , )p x y dx ( ) Y py( , )p x y dx 當當 0 y 1 時，時， 11 1. y dxy (1/ 2)P Y 1/2 ( ) Y py dy 1 1/2 (1)1/8.y dy 因此，因此， -1 0 1 x y

54、 1 pY( y ) 2 1 2 1 () 2 1 1 ( ) 2 x p xe 2 2 2 2 () 2 2 1 ( ) 2 y p ye 若若 22 1212 (, ) (, ),X YN 2 11 (,)XN， 2 22 (,).YN則則 定義：設(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的yj， ()0 j P Yy若，則稱： j YyX為在條件下，隨機變量 的；條件分布律條件分布律 , 2, 1, )( ),( )|( i p p yYP yYxXP yYxXP j ij j ji ji ()0 i P Xx若，則稱： i XxY為在條件下，隨機變量 的。條件分布律條件分布律 同樣，對

55、于固定的xi， , 2, 1, )( ),( )|( j p p xXP yYxXP xXyYP i ij i ji ij 3 條件分布 定義：條件概率密度 ,( , ),X Yf x y設二維連續(xù)隨機變量的概率密度為 ,(), Y X YYfy關 于的 邊 緣 概 率 密 度 為 ,( )0 Y y fy 若對于固定的 | ( , ) ( ) ( , ) ( |) ( ) Y X Y Y f x y YyX fy f x y fx y fy 則稱為在的條件下， 的條件概率密度， 記為： ,( )0 X x fx 同理，若對于固定的 | ( , ) ( | ) ( ) Y X X f x y

56、XxYfy x fx 在條件下， 的條件概率密度為： 例3*：設二維隨機變量(X,Y)在區(qū)域 (x, y): |y | x 1 內均勻 分布，求條件概率密度 21 |32 ( | )() X Y fx yP XY及 1, y1 ( , ) 0, x f x y 其他 ( )( , ) Y fyf x y dx | ( | ) X Y fx y 21 32 ()P XY 解： 根據(jù)題意，(X,Y) 的概率密度為： Y的邊緣概率密度為： 于是給定y ( -1 y 1 )，X 的條件概率密度為： 1 1, 11 0, y dxyy 其他 1 2 2 3 () X Y fxdx 1 2 3 2 2 3

57、 dx | 2, 0.51 1 ( | ) 20, X Y x fx 其他 x y o1 1 1 0.5 1 , 1 1 0, yx y 其他 ( , ) ( ) Y f x y fy ( , ) 1 | f x y y (,)() () ( , )( )( ) XY P Xx YyP Xx P YyF x yFx Fy即 ,( , ),( ),( ) , ( , )( )( ) XY XY X Yf x yfxfy X YX Y f x yfx fy 若是隨機變量，分別是 的概率密度和邊緣概率密度，則相互獨立的 條件等價于：幾乎處處成立； 即在平面上除去“面積”為零的集合以外，處 連續(xù)型 處

58、成立。 , x y的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對所有有： ,X Y稱隨機變量相互獨立。 , (,)() () , ijij ijij X YX Y P Xx YyP Xx P Yy pp pi j 若是隨機變量，則相互獨立的 條件等價于 離 ： 即對切 散型 一都成立。 ( , )( ),( ), XY F x yFx FyX Y設及分別是二維隨機變量定義： 3.4 相互獨立的隨機變量相互獨立的隨機變量 12 12 132 3 Y X 01P(y=j) 16 12 6 2 1 6 2 6 P(X=i) (0,1)1 6P XY(0) (1)P XP Y (0,2)1 6P XY(0) (2)P

59、 XP Y (1,1)2 6P XY(1) (1)P XP Y (1,2)2 6P XY(1) (2)P XP Y ,X Y因而是相互獨立的。 12 12 1212 Y X 01P(y=j) 1 6 12 6 2 1 6 2 6 P(X=i) ) ,X YXY例3:若具有分布律 右圖 ， 與 是否獨立？ (0,1)1 6P XY (0) (1)1 2 1 21 4P XP Y (0,1)(0) (1)P XYP XP Y故 XY因而 與 不相互獨立。 ,X YXY例2:具有分布律 右圖 ， 與 是否獨立？ 問問 X 與與 Y 是否獨立？是否獨立？ 解解: p( x, y ) 的的非零非零區(qū)域為

60、圖中的陰影部分區(qū)域為圖中的陰影部分 求求 pX( x ): 當當 x 1 時，時，( ) X px ( )( , ) X pxp x y dy 1 2 84 (1). x xydyxx ( , )p x y dy 0. 當當 0 x 1 時，時， 2 4 (1),01; ( ) 0,. X xxx px 其他 所以所以, X 的邊際密度函數(shù)為的邊際密度函數(shù)為 0 1 x 1 y y=x 求求 pY( y ): 當當 y 1 時，時，( ) Y py ( )( , ) Y pyp x y dx 3 0 84. y xydxy ( , )p x y dx 0. 當當 0 y 1 時，時， 3 4,