變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算知識點(diǎn)與題型歸納

1、第七孤a傷i哎、導(dǎo)數(shù)的計算高考明方向1了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)1y= c（c 為常數(shù)）,y= x, y=x2, y= x3, y= x的導(dǎo)數(shù). 入4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).備考知考情由近幾年高考試題統(tǒng)計分析可知，單獨(dú)考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算 的題目很少出現(xiàn)，主要是 以導(dǎo)數(shù)運(yùn)算為工具，考查導(dǎo)數(shù)的 幾何意義為主，最常見的問題就是 求過曲線上某點(diǎn)的切線 的斜率、方程、斜率與傾斜角的關(guān)系，以平行或垂直直線 斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，以及與曲線的切線相關(guān) 的計算題考查題型以選擇題、填空題為主，多為容易題 和中等難度題，如2

2、014廣東理科10、文科11.2014廣東理科10曲線y e5x 2在點(diǎn)0,3處的切線方程為；2014廣東文科11曲線y5ex 3在點(diǎn)0, 2處的切線方程為；一、知識梳理名師一號P39知識點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)在x = xo處的導(dǎo)數(shù) 稱函數(shù)y= f(x)在x = xo處的瞬時變化 亠 Ay f xo+ Ax f xo率 lim = lim AxAxAx0Ax 0為函數(shù)y= f(x)在x = xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f (xo)或y |x=x0.稱函數(shù)f (x) = limAX。f x + Ax f xAx為f(x)的導(dǎo)函數(shù).注意：名師一號P4o問題探究問題1f (x)與f (xo)有什么區(qū)別

3、？f (x)是一個函數(shù)，f (xo)是常數(shù)，f (xo)是函數(shù)f (X)在點(diǎn)xo處的函數(shù)值.例名師一號P39對點(diǎn)自測11判一判(1)f (xo)是函數(shù)y = f(x)在x = xo附近的平均變化率.()f (xo)與f(xo)表示的意義相同.()f (xo)是導(dǎo)函數(shù)f (x)在x = xo處的函數(shù)值.()答案X (2) X(3) V知識點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式及法則1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式公式 1.若f(x) c,則f(x)0;公式2.若f (x) 公式3.若f (x) 公式4.若f (x) 公式5.若f (x) 公式6.若f (x) 公式7.若f (x)xn,則f (x)nxn 1;sin x,

4、貝9f (x) cos x; cosx,貝卩f (x)sin x;ax,則f (x) ax ln a(a 0);ex,則f (x) ex;logaX,則f (x)(a 0,且a 1);x l n a公式8.若f (x) 1Inx,則f (x);x注意：(補(bǔ)充)常量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1. (f(x)g(x)f(x)g(x)2. (f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x)f(x) f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)g2(x)4.(cf (x) cf (x)5.g(x)g(x)g2(x)注意：(補(bǔ)充)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y f (u(x) , y f(u(x)gu(x

5、)注意：名師一號P40問題探究 問題3對函數(shù)求導(dǎo)時，其基本原則是什么？求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及 其復(fù)合運(yùn)算的形式，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù).對于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)恒等變形；對于比較復(fù)雜的函數(shù)， 如果直接套用求導(dǎo)法則，會使 求導(dǎo)過程繁瑣冗長，且易出錯，此時，可將解析式進(jìn)行合理變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式，再求導(dǎo)數(shù).但必須注意變形的等價性，避免不必要的運(yùn)算失誤.知識點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線的概念我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q石著曲線無限接近點(diǎn) 卩即厶xt0時，害熾PC如果有一個極限位置PT則我們把直線PT稱為曲 線在點(diǎn)P處的切線設(shè)切線的傾斜角為a ,那么當(dāng) Xt0時

6、，割線PQ的斜率, 稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率即:k切線f僅)lim yx 0 xlim f(X0x) f(Xo)x 0平旳變化率 瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)）I I割線的斜率 切線的斜率導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在x=x處的導(dǎo)數(shù)曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0,f（x0）處切線的斜率.導(dǎo)數(shù)的物理意義一一瞬時速度例.周練13-1一個物體的運(yùn)動方程為 s= 1 1+12,其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在 3秒末的瞬時速度是（）A . 7米/秒B. 5米/秒C . 6米/秒D . 4米/秒注意：名師一號P40問題探究問題2過點(diǎn)P的切線與在點(diǎn)P處的切線有什么區(qū)別？在點(diǎn)P處的切線，P是切點(diǎn)， 而過點(diǎn)P的切線，P

7、不一定是切點(diǎn)， 后者包括前者.注意：名師一號P40問題探究問題2過點(diǎn)P的切線與在點(diǎn)P處的切線有什么區(qū)別？ 在點(diǎn)P處的切線，P是切點(diǎn)，而過點(diǎn)P的切線，P不一定是切點(diǎn)，后者包括前者.二、例題分析：（一）導(dǎo)數(shù)的計算例1.（補(bǔ)充）1用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)。x注意：（補(bǔ)充）（1）能用導(dǎo)數(shù)定義求幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （參看選修1-1課本）2y C,y x, y x ,y丄,y xx求函數(shù)y = f （x）的導(dǎo)數(shù)的Zx般方法1）求函數(shù)的改變量ff（X。x） f（X。）2）求平均變化率ff（X。x） f（X。）；Jxfx3）求值f （x）lim -x 0x例2名師一號P40高頻考點(diǎn) 例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)

8、數(shù)：(1) y= x3 2x+ 3;(2) y= (x + 1)(x + 2)(x + 3);sin- 122cos2 ；4解析：(1)y = (x3 2x+ 3)=(x3) (2x) + (3) = 3x2 2.方法1：/y= (x2 + 3x+ 2)(x + 3) = x3 + 6x2 + 11x + 6, y = 3x2 + 12x + 11.方法2:y = (x + 1)(x+ 2) (x + 3)+ (x+ 1)(x + 2)(x+ 3) =(x+ 1) (x + 2)+ (x+ 1)(x+ 2) (x + 3)+ (x+ 1)(x + 2) =(x + 2+ x+ 1)(x+ 3)

9、+ (x + 1)(x + 2)=(2x+ 3)(x + 3)+ (x + 1)(x+ 2)= 3x2 + 12x + 11.(3) - ysin- 122cos2 x=-2s inx,y = inx = ?(si nx) = ?cosx.注意：名師一號P40高頻考點(diǎn) 例1規(guī)律方法1. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的具體方法是： 遇到連乘積的形式，先展開化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo); 遇到根式形式，先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，再求導(dǎo)； 遇到復(fù)雜分式，先將分式化簡，再求導(dǎo).2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要選擇恰當(dāng)?shù)闹虚g變量，分清復(fù)合關(guān)系.練習(xí)：1、設(shè) f0 xsin x, f11x f。X ,f2 x1f x ,L ,fn 1 xfnx

10、 ,nN ,則 f2015 x()A. sin x B.sin xC. cosxD.cosx【答案】D 2、（2009安徽卷文）設(shè)函數(shù)sin 3 氣 3cos 2 f （x）xx tan ，其中3250，則導(dǎo)數(shù)f 1的取值范圍是（）A.B.11C.D.【答案】D解：f (1) sinx2 v 3cos xsin 、3cos2si n(3)5Q2Q 0, sin( ),11232f (1)2,2選D.注意:對解析式中含有多個字母的函數(shù)求導(dǎo), 明確自變量是關(guān)鍵！例3.名師一號P39對點(diǎn)自測3已知 f(x) = x2+ 3xf (2),則 f (2) =解析由題意，得f (x) = 2x + 3f.

11、f (2)= 2X 2+ 3f (2),.f (2)= 2. 注意：導(dǎo)數(shù)f (X。)是一個常數(shù)，不是變量.練習(xí)：1、周練13-5已知f (x)2 x 2x? f (1),則 f (0)等于()A.- 2B. 2C. 1D.- 42、(2009湖北卷理)已知函數(shù)f (x) f ( )cosx sinx,則 f()的值為.44解：因?yàn)閒 (x)f()4sin xcosx所以f(4)fqsin 4cos4f )衛(wèi) 1故f()f ()cos sin f ( ) 144444例4.(補(bǔ)充)(1)周練 13-12若f (x)= 3x2 6x，且f(0) = 4,則不等式f(x)0的解集是 答案：x|x 1

12、，且 XM2由題可設(shè) f(x)= ax3 + bx2 + cx+ d,.f (x) = 3ax2 + 2bx+ c,a = 1,2b = 6,b = 3,3a = 3,c= 0,c= 0,d = 4.d= 4,f(x) = x3 3x2 + 4 = x3 + x2 4(x2 1) = x2(x + 1) 4(x 1)(x+ 1) =(x+ 1)(x 2)2,.f(x)0 的解為 x 1,且 XM 2.(2)周練 13-7定義在(0,+s )上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f (x)x0的解集為()入A . (0,2) B . (0,2) U (2 ,+s ) C. (2 ,+ ) D . ?答案：Af

13、 xf x x f xf x7 =70 的解為 0xO,切線與x軸正向夾角為銳角；+ 4x + a_0.y_ x2+ a,164.11依題意，A_ 4a_0, a_.綜上，a_ 1 或 a【答案】 C三次函數(shù)的切線.gsp 注意：(補(bǔ)充)1、對于二次函數(shù)過點(diǎn)，若點(diǎn)在曲線上則點(diǎn)一定是切點(diǎn)，不 在曲線上一定不是切點(diǎn)。而對于三次函數(shù)過點(diǎn)，無論點(diǎn)在 不在曲線上都不一定是切點(diǎn)，要切記。f X0)VO,切線與x軸正向夾角為鈍角； f fx(= 0,切線與x軸平行.(2)(補(bǔ)充)過曲線外的點(diǎn)P(xi, yi),求曲線的切線方程的步驟：1) 設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0),求出切點(diǎn)坐標(biāo)；2) 求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)fx(;3) 根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為yy0= fxO)(x x0).3、名師一號P40高頻考點(diǎn) 例2規(guī)律方法 有關(guān)導(dǎo)數(shù)幾何意義的題目一般有兩類：一類是求曲線的切線方程，這類題目要 注意審好題， 看到底是在某點(diǎn)處的切線還是過某點(diǎn)的切線，在某點(diǎn)處的切線一般有一條，過某點(diǎn)的切線可能有兩條或更多；另一類是已知曲線的切線求參數(shù)的題目，已知曲線的 切線一般轉(zhuǎn)化為兩個條件，即原函數(shù)一個條件，導(dǎo)函數(shù)一 個條件，導(dǎo)函數(shù)的條件一般不會忽視，但原函數(shù)