《近世代數(shù)》模擬試題及答案

1、精品文檔近世代數(shù)模擬試題一.單項(xiàng)選擇題 (每題 5 分，共 25 分)1、在整數(shù)加群（Z，）中，下列那個(gè)是單位元（） .A.0B.1C. 1D.1/n，n 是整數(shù)2、下列說(shuō)法 不正確的是（） .A . G 只包含一個(gè)元g，乘法是gg g。G 對(duì)這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群;B . G 是全體整數(shù)的集合，G 對(duì)普通加法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群;C . G 是全體有理數(shù)的集合，G 對(duì)普通加法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群;D. G 是全體自然數(shù)的集合，G 對(duì)普通加法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群.3.如果集合M 的一個(gè)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，則不一定具備的是 ().A . 反身性B.對(duì)稱性C.傳遞性D. 封閉性4.對(duì)整數(shù)加群Z 來(lái)說(shuō)，下列 不正確的是（

2、） .A. Z 沒(méi)有生成元 .B. 1 是其生成元 .C. 1 是其生成元 .D. Z 是無(wú)限循環(huán)群 .5.下列敘述正確的是（）。A. 群 G 是指一個(gè)集合 .B. 環(huán) R 是指一個(gè)集合 .C. 群 G 是指一個(gè)非空集合和一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在 .D. 環(huán) R 是指一個(gè)非空集合和一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，滿足結(jié)合律，并且單位元，.精品文檔逆元存在 .二 . 計(jì)算題 (每題 10 分，共 30 分)1. 設(shè) G 是由有理數(shù)域上全體 2 階滿秩方陣對(duì)方陣普通乘法作成1213的群，試求中 G 中下列各個(gè)元素 c, d0, cd ，011的階 .2. 試求出三次對(duì)稱群S3(1),(12),

3、(13),(23),(123),(132)的所有子群 .精品文檔3. 若 e是環(huán) R 的惟一左單位元， 那么 e 是 R 的單位元嗎？若是，請(qǐng)給予證明 .三 . 證明題(第1小題 10分，第 2小題 15分，第 3小題 20分，共 45 分).1. 證明 : 在群中只有單位元滿足方程.精品文檔x2x.2設(shè) G 是正有理數(shù)乘群， G 是整數(shù)加群 . 證明：nb: 2 gan是群 G 到 G 的一個(gè)滿同態(tài)，其中a, b 是整數(shù)，而 (ab,2)1 .精品文檔3設(shè) S 是環(huán) R 的一個(gè)子環(huán) . 證明 : 如果 R 與 S 都有單位元，但不相等，則 S 的單位元必為 R 的一個(gè)零因子 .精品文檔近世代

4、數(shù)模擬試題答案2008 年 11 月一、單項(xiàng)選擇題 (每題 5分，共 25 分)1.A2. D3.D4.A5 . C二.計(jì)算題 (每題 10 分，共 30 分 )1. 解：易知c 的階無(wú)限，(3 分)d 的階為 2.（3 分）但是11（2分）cd,01的階有限，是 2.（2分）2. 解： S3 的以下六個(gè)子集H1(1) ,H 2(1),(12) ,H 3(1),(13) ,H 4(1),(23) , H 5(1),(123),(132) ,H6 S3（7 分）對(duì)置換乘法都是封閉的，因此都是S3 的子集 .（3 分）3. 解：e 是 R 的單位元。事實(shí)上，任取 a, b R,則因 e 是 R 的

5、左單位元，故(aea e)b a(eb)ab ebab ab bb,即 aeae也是 R 的左單位元。故有題設(shè)得aeaee,aea.即 e 是 R 的單位元 .三、證明題 (每小題 15 分共 45 分 ).精品文檔1證明：設(shè) e是 G 的單位元，則 e 顯然滿足所說(shuō)的方程（3 分）另外，設(shè) aG 且 a2a ，則有a 1a2a 1a,即 a e ,（5 分）即只有 e滿足方程x2x .（2 分）2.證明：顯然是 G到 G 的一個(gè)滿射（3 分）又由于當(dāng) ( ab,2)1, (cd ,2)1時(shí)有(abcd ,2)1（4 分）(2 n b2m d )(2 n m bd ) n m且acac（6 分）b )(2 m d ).(2nac故是群 G 到 G 的一個(gè)同態(tài)滿射。（2 分）3 證明：分別用 e 和 e 表示 R 與 S 的單位元，且 ee ，于是 e 不是 R 的單位元。（3 分）因此，存在 0 aR ，使aea 或 e aa（5 分）如果 aea