切比雪夫級(jí)數(shù)

1、算法說(shuō)明： 當(dāng) 一 個(gè) 連 續(xù) 函 數(shù) 定 義 在 區(qū) 間 -1,1 上 時(shí) ， 它 可 以 展 開(kāi) 成 切 比 雪 夫 級(jí) 數(shù) 。 即 ： f (x)fnTn (x) n0 其中Tn(x)為 n次切比雪夫多項(xiàng)式，具體表達(dá)可通過(guò)遞推得出： T0(x) 1， T1(x) x Tn 1(x) 它們之間滿足如下的正交關(guān)系： 2xTnx Tn 1x 0,n m 1Tn(x)Tm(x)dx 1 1 x2 ,n m 0 2 ,n m 0 在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)所需的精度來(lái)截取有限的項(xiàng)數(shù)，切比雪夫級(jí)數(shù)中的系數(shù)由下式?jīng)Q定： fn 1 T(x)f (x) 1 1 x2 dx 在 MA TLAB 中編程實(shí)現(xiàn)的切比雪

2、夫逼近法函數(shù)為：Chebyshev 。 功能：用切比雪夫多項(xiàng)式逼近已知函數(shù)。 調(diào)用格式： f Chebyshev(y,k,x0) 其中， y 為已知函數(shù)； k 為逼近已知函數(shù)所需項(xiàng)數(shù)； f 是求得的切比雪夫逼近多項(xiàng)式在 x0 處的逼近值。 程序源代碼( m文件)： function f = Chebyshev(y,k,x0) %用切比雪夫多項(xiàng)式逼近已知函數(shù) %已知函數(shù)： y %逼近已知函數(shù)所需項(xiàng)數(shù)： k %逼近點(diǎn)的 x坐標(biāo)： x0 %求得的切比雪夫逼近多項(xiàng)式或在 x0處的逼近值： f syms t ; T(1:k+1) =t; T(1) = sym( 1 ); T(2) = t; c(1:k+

3、1) = sym( 0 ); c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y),sym( c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y),sym( f = c(1)+c(2)*t; t )*T(1)/sqrt(1-t2),t,-1,1)/pi; t )*T(2)/sqrt(1-t2),t,-1,1)/pi; for i=3:k+1 T(i) = 2*t*T(i-1)-T(i-2); c(i) = 2*int(subs(y,findsym(sym(y),sym( f = f + c(i)*T(i); f = vpa(f,6); t )*T(i)/sqrt(1-t2)

4、,t,-1,1)/2; if (i=k+1) if (nargin = 3) f = subs(f, else t ,x0); f = vpa(f,6); end end end 應(yīng)用實(shí)例： 切比雪夫應(yīng)用實(shí)例。用切比雪夫公式(取 6項(xiàng))逼近函數(shù) 1 ，并求 2x 當(dāng)x=0.5時(shí)的函數(shù)值。 解： 利用程序求解方程，在 MATLAB命令窗口中輸入： Chebyshev(1/(2-x),6) % 調(diào)用創(chuàng)建的函數(shù) euler ，輸出切比雪夫多項(xiàng)式的 6個(gè)項(xiàng) 再在 MATLAB命令窗口中輸入： Chebyshev(1/(2-x),6,0.5) % 調(diào)用創(chuàng)建的函數(shù) euler ，輸出當(dāng) x=0.5 時(shí)的函

5、數(shù)值 輸出結(jié)果： 流程圖： 是 、拉壓桿系的靜不定問(wèn)題。由 n 根桿（ CB1，CB2.CBn）組成的桁架結(jié)構(gòu)如 圖 2-1 所示，受力 P 作用，各桿的橫截面積分別為 Ai ，材料彈性模量為 E，長(zhǎng)度 為 Li，求各桿的軸力 N i以及節(jié)點(diǎn) C 處的位移。 1、假設(shè)：由 P的作用， C點(diǎn)移動(dòng)到 C點(diǎn)； C到 C的水平距離為 dx， 垂直距離為 dy ；各桿與水平面夾角分別為 1，2i n；每根桿長(zhǎng)度的變 化為 dL1，dL2dLidLn；力 P 與水平面夾角為 。 2、思路： （1）如圖 2-2 所示，以 CBi 為例說(shuō)明各桿的幾何關(guān)系，由于， 0，因此 dLi =BiC-BiCBiC-Bi

6、D=DC，過(guò) C點(diǎn)作 DC的平行線 CG，因 ，故，所以 CF=dxcosi ，F(xiàn)G=dysini , 故可得幾 何方程。 圖 2-2 2）根據(jù)圖 2-3 所示各軸力以及外力 x,y 方向合力為 0，建立平衡方程、： 圖 2-3 3）由公式、共有 n+2 個(gè)公式，求解 n 個(gè)軸力，以及 A 點(diǎn)位移 dx 、 dy ，建立如下所示的線性方程組： ( 4)建立Pcos 陣 ,Psin ，0， 0，00 的常數(shù)矩陣， (5)再用求逆法求解此線性方程組，即用常數(shù)矩陣除以系數(shù)矩陣，得出結(jié)果。 3、源程序：(文件名稱為 main) clear;clc; Ei=input( 請(qǐng)輸入各桿的剛度 :( 注意用

7、括起來(lái) ) );%輸入剛度矩陣 Ei Li=input( 請(qǐng)輸入各桿的長(zhǎng)度 :( 注意用 括起來(lái)) ); %輸入桿的長(zhǎng)度矩陣 Li Ai=input( 請(qǐng)輸入各桿的橫截面積 :( 注意用 括起來(lái) ) ); %輸入桿的橫截面積 矩陣 Ai ai=input( 請(qǐng)輸入各桿與水平面的夾角 :( 注意用 括起來(lái) ) ); %輸入桿與水平 面的夾角矩陣 ai P=input( 請(qǐng)輸入外力 P: ); %輸入外加力 P a=input( 請(qǐng)輸入 P與水平面的夾角 : ) %輸入外加力 P與x 的夾角 n1=length(Ei);n2=length(Li);n3=length(Ai); if (n1=n2|

8、n2=n3|n1=n3) disp( 輸入數(shù)據(jù)錯(cuò)誤 ) else n=n1 ; end%判斷數(shù)據(jù)大小是否一致 Ki=Li./(Ei.*Ai); C=zeros(n+2,1); C(1,1)=P*cos(a); C(2,1)=P*sin(a); C(3:n+2,1)=zeros(n,1); %建立方程組等號(hào)右邊常數(shù)的矩陣 D=zeros(n+2,n+2); D(1,:)=cos(ai),0,0; D(2,:)=sin(ai),0,0; for (i=1:n) D(i+2,i)=Ki(i); end D(3:n+2,n+1)=(-cos(ai); D(3:n+2,n+2)=(-sin(ai);%建

9、立方程組系數(shù)矩陣 x=DC;x=x; %求解該線性方程組，得出 C 點(diǎn)位移以及每根桿的軸力 disp ( 節(jié)點(diǎn)在 x、y 方向上的位移分別： ) x(n+1:n+2) disp( 各桿的軸力分別為： ) x(1:n) %輸出結(jié)果 4、流程圖： 結(jié)束 5、程序舉例應(yīng)用： 設(shè)三根桿組成的支架如圖 2-4 所示，掛一重物 P=3000N。設(shè) L=3m，各桿的橫 截面積分別為： A1=150 10-6m2，A2=200 10-6m2，A3=300 10-6m2，材料的彈性模量均 為 E=200 109N/m2，求各桿所受力的大小以及 C 點(diǎn)位移 圖 2-5 解：運(yùn)行 main 文件(即前文中寫的源程序

10、) ； 輸入題中所給數(shù)據(jù)； 200e9,200e9,200e9; 3/sin(pi/3),3/sin(pi/2),3/sin(pi/4); 150e-6,200e-6,300e-6; pi/3,pi/2,3*pi/4; 3000; 0; 得出結(jié)果； 1) 一、流程圖： 結(jié)果 二、源程序代碼： 建立被積函數(shù)文件 funo funo.m function f=funo(x) f=(1./(2*pi).0.5).*exp(-x.2./2); 計(jì)算積分，在 MATLAB 命令窗中輸入： quad(funo,0,1) 三、結(jié)果： ans = 0.3413 2) 流程圖： 建立函數(shù)文件 輸入 MATLAB

11、 指令 若不成立 修改 結(jié)果 二、源程序代碼： 計(jì)算積分，在 MATLAB 命令窗中輸入： syms x; y=sin(x)./x; eval(int(y,x,0,1) %eval() 函數(shù)的功能就是將括號(hào)內(nèi)的字符串視為語(yǔ)句并運(yùn)行 三、結(jié)果： ans = 0.9461 （ 3）; 一、流程圖： 結(jié)果 建立函數(shù)文件 、源程序代碼： 建立被積函數(shù)文件 funs funs.m function f=funs(x) f=x.(-x); 計(jì)算積分，在 MATLAB 命令窗中輸入： quad(funs,0,1) 三、結(jié)果： ans = 1.2913 4); 、流程圖： 建立函數(shù)文件 輸入 MATLAB 指令 若不成立 修改 結(jié)果 二、源程序代碼： 建立被積函數(shù)文件 funf funf.m function f=funf(x) f=exp(2x)*sin(x).2; 計(jì)算積分，在 MATLAB 命令窗中輸入： d=pi/1000; x=0:d:2*pi; nt=length(x); y=funs(x); sc=cums