數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例（經(jīng)典實(shí)用） (2)

1、數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 分析分析：?jiǎn)栴}的目標(biāo)是：?jiǎn)栴}的目標(biāo)是“放放 穩(wěn)穩(wěn)”?！胺欧€(wěn)放穩(wěn)”可以用各可以用各 腳離地面的高度這一數(shù)量腳離地面的高度這一數(shù)量 指標(biāo)來(lái)表達(dá)。于是，引入指標(biāo)來(lái)表達(dá)。于是，引入 各腳離地面的高度的數(shù)學(xué)各腳離地面的高度的數(shù)學(xué) 記號(hào)。記號(hào)。 問(wèn)題問(wèn)題：適當(dāng)變換方桌的方位，能否將方桌放穩(wěn)？適當(dāng)變換方桌的方位，能否將方桌放穩(wěn)？ A B C D 1.1 1.1 方桌問(wèn)題方桌問(wèn)題 A B C D 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 A B C D A f B f c f D f )( )( )( )( DCBA ffff 依次記依次記A、B、C、D離地面的高度為離地面的高度為： 設(shè)想方

2、桌從設(shè)想方桌從BD位置旋轉(zhuǎn)至位置旋轉(zhuǎn)至 位位置置DB A B C D 記記轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)過(guò)過(guò)的的角角度度為為 。唯一確定唯一確定 可由可由則四腳離地面的高度均則四腳離地面的高度均 于于是是這這四四個(gè)個(gè)高高度度均均 的的函函數(shù)數(shù)可可視視為為 ,續(xù)續(xù)曲曲面面若若置置放放方方桌桌的的地地面面為為連連 ，其具有連續(xù)性其具有連續(xù)性是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)而而 ：故可以證明故可以證明 ：，記記為為負(fù)負(fù)的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)且且它它們們均均非非這這四四個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)均均是是 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 )()()( )()()( CA DB ffg fff , 則有則有0)()( gf 使使存存在在一一個(gè)個(gè)方方位位， 0)()(gf 注意到

3、，在任何情況下，總有三只腳能同時(shí)著地，且這三注意到，在任何情況下，總有三只腳能同時(shí)著地，且這三 只腳中總有兩只腳處在對(duì)角位置上，于是我們記：只腳中總有兩只腳處在對(duì)角位置上，于是我們記： :方方桌桌能能放放穩(wěn)穩(wěn)即即可可表表達(dá)達(dá)為為在在這這些些記記號(hào)號(hào)下下， 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 0)()( )()( gf gf 有有且對(duì)且對(duì) 非負(fù)連續(xù)非負(fù)連續(xù)及及 0)()( gf，使使存存在在 方桌問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型方桌問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 :已已知知 :求證求證 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 1 1為了證明方桌適當(dāng)移動(dòng)后可以放穩(wěn)，我們用為了證明方桌適當(dāng)移動(dòng)后可以放穩(wěn)，我們用 “兩相對(duì)角離地面的高度之和兩相對(duì)角離地面的高度之和”構(gòu)造

4、出兩個(gè)函構(gòu)造出兩個(gè)函 數(shù)，達(dá)到了證明目的。必須這樣做嗎？請(qǐng)?jiān)囉脭?shù)，達(dá)到了證明目的。必須這樣做嗎？請(qǐng)?jiān)囉?其它形式構(gòu)造函數(shù)，以達(dá)到同樣的目的。其它形式構(gòu)造函數(shù)，以達(dá)到同樣的目的。 思思考考題題 2 2關(guān)于長(zhǎng)方形桌，請(qǐng)?jiān)嚱o出能否放穩(wěn)的結(jié)論。關(guān)于長(zhǎng)方形桌，請(qǐng)?jiān)嚱o出能否放穩(wěn)的結(jié)論。 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 一批彈子鎖具中每把鎖均有一批彈子鎖具中每把鎖均有5 5個(gè)槽，每個(gè)槽，每 個(gè)必須裝且至多可裝個(gè)必須裝且至多可裝6 6個(gè)彈子，制鎖工藝要求任兩個(gè)彈子，制鎖工藝要求任兩 鄰槽所裝的彈子數(shù)相差不超過(guò)鄰槽所裝的彈子數(shù)相差不超過(guò)4 4個(gè)，問(wèn)這批鎖具共個(gè)，問(wèn)這批鎖具共 有多少把互不相同的鎖？有多少把互不相同的鎖？ 1

5、.2 1.2 鎖具問(wèn)題鎖具問(wèn)題 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 1.3 貨物調(diào)配問(wèn)題 工廠單一生產(chǎn)某工廠單一生產(chǎn)某個(gè)倉(cāng)庫(kù)個(gè)倉(cāng)庫(kù)某公司現(xiàn)有兩個(gè)工廠某公司現(xiàn)有兩個(gè)工廠，4 由由個(gè)個(gè)客客戶戶供供貨貨的的工工廠廠和和倉(cāng)倉(cāng)庫(kù)庫(kù)均均可可向向所所轄轄種種產(chǎn)產(chǎn)品品。50 變更的內(nèi)容變更的內(nèi)容更更公司擬對(duì)倉(cāng)庫(kù)作適當(dāng)變公司擬對(duì)倉(cāng)庫(kù)作適當(dāng)變于經(jīng)營(yíng)需要于經(jīng)營(yíng)需要， 建建一一個(gè)個(gè)可可在在已已選選定定的的地地址址上上新新號(hào)號(hào)庫(kù)庫(kù)擴(kuò)擴(kuò)容容可可對(duì)對(duì)是是指指;1: 公司不主張倉(cāng)庫(kù)的個(gè)數(shù)公司不主張倉(cāng)庫(kù)的個(gè)數(shù)號(hào)倉(cāng)庫(kù)號(hào)倉(cāng)庫(kù)號(hào)或號(hào)或可關(guān)閉可關(guān)閉倉(cāng)庫(kù)倉(cāng)庫(kù)。32; 和和倉(cāng)倉(cāng)庫(kù)庫(kù)改改建建的的費(fèi)費(fèi)用用由由于于向向客客戶戶供供貨貨的的運(yùn)運(yùn)費(fèi)費(fèi)個(gè)個(gè)超超過(guò)過(guò)。

6、4 。，案案故故需需建建模模為為公公司司選選擇擇方方均均由由公公司司負(fù)負(fù)擔(dān)擔(dān) 應(yīng)于類似地更一般應(yīng)于類似地更一般應(yīng)將所建模型推廣為適應(yīng)將所建模型推廣為適若有可能若有可能， 。情情形形下下的的方方案案選選擇擇 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 問(wèn)題分析問(wèn)題分析 問(wèn)題分析問(wèn)題分析 能小能小公司的目標(biāo)是費(fèi)用盡可公司的目標(biāo)是費(fèi)用盡可 總費(fèi)用 運(yùn)輸費(fèi)用 倉(cāng)庫(kù)改建費(fèi)用 工廠到倉(cāng)庫(kù) 工廠到客戶 倉(cāng)庫(kù)到客戶 1號(hào)庫(kù)的擴(kuò)建費(fèi)用 5號(hào)庫(kù)的新建費(fèi)用 2、3號(hào)庫(kù)節(jié)約費(fèi)用 費(fèi)用是怎樣構(gòu)成的費(fèi)用是怎樣構(gòu)成的 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 C55 C6 16 c 26 c 11 c 25 c 55, 1 d 56 d 55, 1 c 55, 2 c

7、 16 d 55, 1 d 運(yùn)運(yùn)輸輸費(fèi)費(fèi)用用結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)圖圖 1 B 5 B 1 A 2 A 15 c 21 c 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 5 1 55 6 55332211 2 1 55 1 min kj kjkj ij ijij eeeeydxcz . .ts 55 1 )( , 2 , 1 j iij iQx生產(chǎn)能力限制 55 6 2 1 )( , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , ji ikkj kxy倉(cāng)庫(kù)輸出限制 )( ,55, 7 , 6 2 1 5 1 客戶需求 ik jkjij jqyx )( 3 , 2 )1 ( 2 1 44 2 1 555 2 1 2 1 111 庫(kù)容量限制

8、i i i i i jjij i i Mx Mx jMx MMx )(2 532 倉(cāng)庫(kù)個(gè)數(shù)限制 . 10, ,55, 7 , 6 ; 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ,55, 2 , 1 ; 2 , 1 , 0 5321 或均取 jky jix kj ij 數(shù) 學(xué) 模 型 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 1.4 價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題 A、B兩個(gè)加油站位于同一公路旁，為在公路 上行駛的汽車提供同一種汽油，彼此競(jìng)爭(zhēng)激烈。 一天，A站推出降價(jià)銷售，以吸引顧客，造成B站 的顧客被拉走。B站決定也降價(jià)銷售以拉回顧客。 請(qǐng)你站在B加油站的立場(chǎng)上為其提供決策支持。 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 分析： 目標(biāo)：利潤(rùn)。 主要影響因素： 銷售量?jī)r(jià)格 社會(huì)價(jià)格 A站價(jià)格 B站價(jià)格 成本價(jià)格 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 符號(hào) RB站銷售利潤(rùn) P汽油的社會(huì)銷售價(jià)格（元/升）。 L降價(jià)前B站的銷量（升/日）。 W汽油成本價(jià)格 XB站銷價(jià) YA站銷價(jià) 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單實(shí)例 模型 子模型： 總模型： )()()(yxCyPbxPaLQ ),()(),(yxQwxyxR