2020學(xué)年廣東省深圳市南山區(qū)高二上期末數(shù)學(xué)試卷(有答案

1、2019-2020 學(xué)年廣東省深圳市南山區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有 且只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（5 分）設(shè)命題 P：? xR，x2+20則 P為（）ABCD? xR，x2+2 02（5 分）等差數(shù)列 an 前 n 項(xiàng)和為 Sn，公差 d=2，S3=21，則 a1 的值為（）A 10 B9 C6 D 53（5 分）“”是“ ”的（ ）A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D不充分也不必要條件4（5分）已知向量 =（2，1，4）， =（1，0，2），且 + 與k 互相垂直，則 k的值是（ A1

2、 BCD5（5分）在 ABC中，若 AB= ，BC=3，C=120，則 AC=（）A 1 B2 C3 D 46（5分）若雙曲線 =1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn) （3，4），則此雙曲線的離心率為 （ABCD7（5分）若 a，b 均為大于 1的正數(shù)，且 ab=100，則 lga?lgb的最大值是（）A 0 B1 C2 D8（5 分）已知數(shù)列 an ：a1=1，則 an=（）A 2n+13 B 2n1 C2n+1 D2n+2795 分）若直線 2ax+by 2=0（a 0，b0）平分圓x2+y22x4y6=0，的最小值是（ ）A 2B 1 C3+2D3210（5 分）設(shè) x，y 滿足約束條件，則 z=x 2

3、y 的取值范圍為（）11（5 分）如圖過拋物線 y2=2px（p0）的焦點(diǎn) F 的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn) A，B，C， 若| BC| =2| BF| ，且 | AF| =3，則拋物線的方程為（）Cy2= x Dy2=9x12（5分）在銳角 ABC中，角 A，B，C所對(duì)的邊分別為 a，b，c，若，a=2， 則 b 的值為（ABCD二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上）13（5 分）若 ABC中， AC= ，A=45，C=75，則 BC=14（5 分）已知數(shù)列an 滿足：，且 a2+a4+a6=9，則的值為 15（5分）設(shè)不等式（ xa）（x+a2）0則 P為（）ABC

4、D? xR，x2+2 0【解答】 解：命題是全稱命題，則命題的否定是特稱命題， 即P：，故選： B2（5 分）等差數(shù)列 an 前 n 項(xiàng)和為 Sn，公差 d=2，S3=21，則 a1 的值為（）A 10 B9 C6 D 5【解答】 解：公差 d=2，S3=21，可得 3a1+ 32（ 2）=21，解得 a1=9， 故選： B3（5 分）“”是“ ”的（ ）A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D不充分也不必要條件【解答】 解：當(dāng)+2k時(shí)，滿足但 不一定成立，即充分性不成立，當(dāng) 時(shí)，成立，即必要性成立，則“ ”是“ ”的必要不充分條件， 故選： C4（5分）已知向量 =（2，1，4），

5、=（1，0，2），且 + 與k 互相垂直，則 k的值是（ ） A 1 BCD【解答】 解： + =（3， 1， 6），k =（2k1，k，4k2）， + 與 k 互相垂直， 3（2k1）+k+6（ 4k2）=0， 解得 k= ，故選： D5（5分）在 ABC中，若 AB= ，BC=3，C=120，則 AC=（）A 1 B2 C3 D 4【解答】 解：在 ABC中，若 AB= ，BC=3， C=120， AB2=BC2+AC22AC?BCcosC， 可得： 13=9+AC2+3AC， 解得 AC=1或 AC= 4（舍去）故選： A6（5 分）若雙曲線=1 的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn) （3，4），則此雙曲

6、線的離心率為 （A解答】解：雙曲線 =1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（ 3，4），可得 3b=4a，即 9（c2a2） =16a2，解得 故選： D7（5分）若 a，b均為大于 1的正數(shù)，且 ab=100，則lga?lgb的最大值是（）A 0 B1 C2 D【解答】 解： a1，b1，lga0，lgb0 lga?lgb（）2=（）2=1 當(dāng)且僅當(dāng) a=b=10 時(shí)等號(hào)成立 即 lga?lgb 的最大值是 1 故選 B8（5 分）已知數(shù)列 an ：a1=1，則 an=（）A 2n+13 B 2n1 C2n+1 D2n+27【解答】 解：由 ，得 an+1+3=2（ an+3），a1+3=40，數(shù)列 an+

7、3是以 4為首項(xiàng)，以 2為公比的等比數(shù)列， 則，故選： A9（5 分）若直線 2ax+by2=0（a0，b0）平分圓 x2+y22x 4y6=0，則 + 的最小值 是（ ）A 2B 1 C3+2D32【解答】 解：由題意可得直線 2ax+by2=0（a0，b0）經(jīng)過圓 x2+y22x4y6=0 的圓心 （1，2），故有 2a+2b=2，即 a+b=1再根據(jù) + = + =3+ + 3+2=2+2 ，當(dāng)且僅當(dāng) = 時(shí)，取等號(hào)，故 + 的最小值是 3+2 ，故選： C10（5 分）設(shè) x，y 滿足約束條件，則 z=x 2y 的取值范圍為（）A（ 3， 3） B3，3 C 3，3） D 2，2【解答

8、】 解：由 z=x2y 得 y=，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分） ：，過點(diǎn) C（ 3， 0）時(shí)，直線y= 的截距最小，此時(shí)z 最大，代入目標(biāo)函數(shù) z=x2y，得 z=3，目標(biāo)函數(shù) z=x 2y 的最大值是 3當(dāng)直線 y=，過點(diǎn) B 時(shí)，直線 y= 的截距最大，此時(shí) z 最小，由 ，得，即 B（ 1， 2）代入目標(biāo)函數(shù) z=x2y，得 z=12 2=3目標(biāo)函數(shù) z=x 2y 的最小值是 3故3z3， 故選： BA， B， C，11（5 分）如圖過拋物線 y2=2px（p0）的焦點(diǎn) F 的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)【解答】 解：如圖分別過點(diǎn) A， B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn) E，D

9、， 設(shè)| BF| =a，則由已知得： | BC| =2a，由定義得： | BD| =a，故BCD=30， 在直角三角形 ACE中， | AF| =3，| AC| =3+3a， 2| AE| =| AC| 3 +3a=6，從而得 a=1， BDFG，求得 p= ， 因此拋物線方程為 y2=3x，12（5分）在銳角 ABC中，角 A，B，C所對(duì)的邊分別為 a，b，c，若，a=2， 則 b 的值為（ ）ABCD【解答】 解：在銳角 ABC中， sinA=，SABC= ， bcsinA= bc = ， bc=3，又 a=2，A 是銳角，cosA= ，由余弦定理得： a2=b2+c22bccosA， 即

10、（b+c） 2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（ 1+ ）=12， b+c=2 由得：解得 b=c= 故選 A二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13（5 分）若 ABC中， AC= ，A=45，C=75，則 BC=【解答】 解： AC= ，A=45，C=75，B=180AC=60，由正弦定理，可得： BC=故答案為： 14（5 分） 已知 數(shù)列 an 滿足：， 且 a2+a4+a6=9， 則的值為 5 【解答】 解：由，得 log3（ 3an） =log3an+1，an+1=3an，且 an 0，數(shù)列 an是公比為 3 的等比數(shù)列，又 a2+a4+a6=9，

11、=35 = 故答案為： 515（5分）設(shè)不等式（ xa）（x+a2）0的解集為 N，若 xN是的必要條件，則 a 的取值范圍為【解答】 解：若 xN是的必要條件， 則 M? N，若a=1時(shí)，不等式（xa）（x+a2）0的解集 N=?，此時(shí)不滿足條件若 a1，則 N=（ 2 a，a），則滿足，此時(shí) a16（5 分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，過 F1且與 x 軸垂直的，即 5c2=a2，解得 e為直線交橢圓于 A， B 兩點(diǎn)，直線 AF2 與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為 C，若=2 ，則橢圓的離心率得故答案為： 三、解答題（本大題共 6 小題，共 70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

12、 .）17（10分）已知正項(xiàng)數(shù)列 an的前 n項(xiàng)的和為 Sn，且滿足：，（nN+）（1）求 a1，a2，a3 的值（2）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式【解答】 解：（1）由，取 n=1，得，an0，得 a1=1，取 n=2，得，解得 a2=2，取 n=3，得，解 a3=3；（2）+an， ，得 （an+1+an）（an+1 an1）=0， an0， an +1+an 0，則 an+1an=1， an是首項(xiàng)為 1，公差為 1 的等差數(shù)列， an=1+（n1） 1=n18（12 分）在 ABC中，角 A，B， C所對(duì)的邊分別為 a，b，c，且 bcosC=（2ac）cosB （1）求角 B 的值；（2）若

13、 a，b，c 成等差數(shù)列，且 b=3，求 ABB1A1面積 【解答】（本題滿分為 12 分） 解：（1）bcosC=（2ac）cosB，由正弦定理 sinBcosC=（2sinA sinC）cosB，sinBcosC+cosBsinC=2sinAcos，B （2 分）sin（B+C）=2sinAcosB，（3 分）又 A+B+C=，sinA=2sinAcosB， （ 4 分）又 B為三角形內(nèi)角 （5 分）（ 6 分）2）由題意得 2b=a+c=6，（7 分）（ 9 分）ac=9（ 10 分） （ 12 分）19（12 分）已知遞增的等比數(shù)列 an滿足： a2?a3=8， a1+a4=9（1）求

14、數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列 bn的前 n項(xiàng)的和 Tn【解答】 解：（1）由題意，得 a2a3=a1a4=8，又 a1+a4=9，所以 a1=1，a4=8，或 a1=8， a4=1，由 an是遞增的等比數(shù)列，知 q1 所以 a1=1，a4=8，且 q=2，即 an=2n 1；（2）由（ 1）得，所以所以 ，兩式相減，得，得20（12分）已知點(diǎn) A（ ，0），B（ ，0），P是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線 PA與 PB交于 點(diǎn) P，且它們的斜率之積是 （1）求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C的方程；（2）設(shè)直線 l：y=kx+1與曲線 C交于 M 、N兩點(diǎn)，當(dāng)線段 MN的中點(diǎn)在直線 x+2y=0上時(shí)

15、，求 直線 l 的方程【解答】 解：（1）設(shè)，由2）設(shè) MN 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ x0，y0），聯(lián)立得（ 2k2+1） x2+4kx=0，所以由 x0+2y0=0，得 k=1，所以直線的方程為： y=x+1 21（12分）如圖，在以 A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面 ABEF為正方形， AF=2FD， AFD=90，且二面角 DAFE與二面角 CBEF 都是 60（1）證明平面 ABEF平面 EFDC；（2）證明： CD EF（3）求二面角 EBCA 的余弦值【解答】 證明：（1） ABEF為正方形， AFEF AFD=90， AFDF，DFEF=F，AF平面 EFDC， AF? 平面

16、ABEF， 平面 ABEF平面 EFDC（2）由 AFDF，AF EF， 可得 DFE為二面角 D AFE的平面角， 由 CEBE， BEEF， 可得 CEF為二面角 CBEF的平面角 可得 DFE=CEF=60AB EF，AB?平面 EFDC，EF? 平面 EFDC， AB平面 EFDC，平面 EFDC平面 ABCD=CD，AB? 平面 ABCD， ABCD，CDEF解：（3）以 E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè) FD=a，則 E（0，0，0）， B（0，2a，0），C（ ，0，），A（2a， 2a，0）， =（0，2a，0）， =（ ，2a，）， =（ 2a，0，0），設(shè)平面 BEC的法向量 =（x1， y1，z1），取 x1= ，則 =（設(shè)平面 ABC的法向量為 =（ x，y，z），取 y= ，得設(shè)二面角 EBCA 的平面角為 則 cos = =面角 EBCA 的余弦值為22（12 分）已知 O 是坐標(biāo)系的原點(diǎn)， F是拋物線 C：x2=4y的焦點(diǎn)，過點(diǎn) F的直線交拋物線于 A，B 兩點(diǎn)，弦 AB的中點(diǎn)為 M，OAB的重心為 G（）求動(dòng)點(diǎn) G 的軌跡方程；）設(shè)（）中的軌跡與 y軸的交點(diǎn)為 D