高考數(shù)學(xué)專題《數(shù)列》超經(jīng)典

1、.高考復(fù)習(xí)序列 -高中數(shù)學(xué)數(shù)列.一、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)的和的關(guān)系 ans1,n 1（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）snsn 1, n2 SnSn 1an (n2)（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用） Sna1a2Lan（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）s- sn- 1= an+ 1+a （注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）n + 1n二、等差與等比數(shù)列的基本知識(shí)1 、等差數(shù)列通項(xiàng)公式與公差：定義式： anan 1d一般式： ana1n1 dan pnq推廣形式：anam( nm)ddanam ；nm前 n項(xiàng)和與公差的關(guān)系： dSnSmnm ；2nm前 n 項(xiàng)和與通項(xiàng) a n 的關(guān)系：前 n 項(xiàng)和公式： s

2、nn ( a1a n )na 1n ( n1) ddn 2( a11 d ) n .2222前 n 項(xiàng)和公式的一般式：SnAn2Bn,其中 Ad , Ba11 d22應(yīng)用：若已知 fn2n2n ，即可判斷fn 為某個(gè)等差數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和，并可求出首項(xiàng)及公差的值。an 與 Sn 的關(guān)系： anSnSn 1 (n2) （注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）例：等差數(shù)列 Sn2n 1， anan 1（直接利用通項(xiàng)公式作差求解）常用性質(zhì)：若 m+n=p+q，則有 amanapaq；特別地：若 am是 an ,a p 的等差中項(xiàng)， 則有 2am ana p n 、m 、 p 成等差數(shù)列；等差數(shù)列的“間隔

3、相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”（如 a1 a2a3 , a4a5a6, a7a8a9 ，）仍是等差數(shù)列； a 為公差為 d 等差數(shù)列， Sn 為其前 n 項(xiàng)和，則 Sm , S2m Sm , S3mS2 m ， S4mS3m ，也成等差數(shù)列 ,n A 、構(gòu)成的新數(shù)列 公差為 D= m 2d ，即 m 2 d=(S 2m -S m)- S m；2SnSmSnd 等差數(shù)列。B、 對(duì)于任意已知 Sm ，Sn， 等差數(shù)列 an公差 dnm ，即也構(gòu)成一個(gè)公差為2nmn2若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2n項(xiàng)，則 S 偶S奇an；S 奇 nd ； S偶an12n1項(xiàng)，則 S 奇S 偶 anS奇n若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有a中

4、 ；。S偶n 1例：已知等差數(shù)列an ，其中 S10100, S10010, 則S110解析：法一，用等差數(shù)列求和公式na 1n ( n 1) d求出 a1 , d2法二， S10， S20S10 , S30S20 .S110 S100 成等差數(shù)列，設(shè)公差為D ，則：S110 S10010S1045D法三 ,63 . 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：3一般形式： ana1 qn 1a1 qn ( n N * ) ；q推廣形式：anamqnm ， qn manam其前 n 項(xiàng)的和公式為：sna1 (1 qn ) , q1，或 sna1an q ,q 11q1q.na1, q1na1, q 1數(shù)列 an 為等

5、比數(shù)列an 1q q 0an 2an 1 an 10 n 2, n Nana1 qn 1ana、q 0，n N*SnA q nB1常用性質(zhì)：若 m+n=p+q，則有amanap aq；特別地：若 am是 an , ap 的等比中項(xiàng)， 則有 am2anap n 、m 、 p 成等比數(shù)列 ;等比數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”（如 a1a2a3 , a4a5a6, a7 a8 a9 ，）仍是等比數(shù)列； an 為等比數(shù)列，Sn 為其前 n 項(xiàng)和，則 Sm , S2mSm , S3mS2m ， S4 mS3m ，也成等比數(shù)列（僅當(dāng)當(dāng)q 1或者 q 1且 m 不是偶數(shù)時(shí)候成立） ；設(shè)等比數(shù)列 bn

6、 的前n 項(xiàng)積 為 Tn，則 Tk ， T2k, T3k， T4k 成等比數(shù)列TkT2 kT3kan為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列an 是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列 .判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：an 1and(常數(shù)）（ nN ）an 是等差數(shù)列中項(xiàng)法：2an 1anan 2（ nN )an 是等差數(shù)列一般通項(xiàng)公式法：4anknb(k ,b為常數(shù) )an 是等差數(shù)列一般前 n 項(xiàng)和公式法：SnAn 2Bn( A, B為常數(shù) )an 是等差數(shù)列判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：（ 1an1q（常數(shù)）an 為等比數(shù)列；）定義法：an（ 22a

7、n an 2(an 0)an 為等比數(shù)列；）中項(xiàng)法： an 1（ 3）通項(xiàng)公式法： ank q n (k, q為常數(shù)）an為等比數(shù)列；（ 4）前 n 項(xiàng)和法： Snk(1 q n ) （ k,q為常數(shù)）an 為等比數(shù)列。Snkkq n （ k, q為常數(shù)）an 為等比數(shù)列。數(shù)列最值的求解（ 1 ） a10 ， d0時(shí)， Sn 有最大值； a10 ， d0 時(shí)， Sn 有最小值；（ 2 ） Sn 最值的求法：若已知Sn ， Sn 的最值可求二次函數(shù)Sn an 2bn 的最值；可用二次函數(shù)最值的求法（nN ）；或者求出an中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：若已知 an ，則 Sn 最值時(shí) n 的值（ nN ）

8、可如下確定an0an0an或an 1。100例 1 ：等差數(shù)列an 中， a10，S9S12，則前項(xiàng)的和最大?！窘馕觥浚篴1，S12S90 a12a11a1000 S9 S12a11a12a10a12a10前 （或前項(xiàng)）項(xiàng)和最大2a11a12a10a1101110例 2 設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知a312， S120， S130求出公差d 的范圍，指出 S1，S2， ，S12 中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由?！窘馕觥浚?a1a32d122d,S1212 a1a12122122d 11d42d2214424同理： S1315652d,根據(jù)已知 S120， S130，d37由a， S

9、， S0及 d0，可知，n=12是前n項(xiàng)和正負(fù)分界項(xiàng)，31212013故 an0 n6 , an0 n7 ,所以， S6最大變式：若等差數(shù)列的首項(xiàng)為為31 ，從第 16項(xiàng)開始小于 1，則此數(shù)列公差 d 的取值范圍是解析： a161，但要注意此時(shí)還要一個(gè)隱含條件a151，聯(lián)立不等式組求解。3 、若數(shù)列的前n 項(xiàng)和 Snn210， nsn數(shù)值最小項(xiàng)是第項(xiàng)。n ，則 an【解析】：法一（導(dǎo)數(shù)法） ：根據(jù)等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的標(biāo)準(zhǔn)形式SnAn 2Bn ，可知該數(shù)列為等差數(shù)列，a1S1n 210n9,a2S2S17,da2a12,令an2n11nSn2n211nf ( n)nSn2(n)4n11時(shí) ,取得

10、最小值，2n11n, f11,當(dāng) f (n) 0時(shí)，即 n114其中 2，分別求出 f(2)14,f(3)15，可見(jiàn)當(dāng) n=3時(shí) ns 取得最小。43n法二（列舉法）：對(duì)于 a10且數(shù)值較小 , d0且數(shù)值較大時(shí) , 可用列舉法，分別求出 n=1 、2 時(shí)的 nsn的值，再進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)。4 、已知數(shù)列an， a133, an1an2n,則 an的最小值為n【 解 析 】： 法 一 （ 均 值 不 等 式 ）： 由 累 加 法 ： ana1 n2 - nann2 - n 33 ， 令f ( n)ann331,可見(jiàn)當(dāng) n33，即 n33時(shí)，an取得最小值， 5336，nnnnf (5)33， f

11、(6)63 ，可見(jiàn) n6時(shí)取得最小值。56法二（列舉法） ：實(shí)在沒(méi)招時(shí)使用該法。5 、 已知等差數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和 Sn , S100, S1525, 則n Sn的最小值為?！窘馕觥浚?dSnSm2nmd0 a1a100 a132nm, S103n Snn310n2,令(n)n220當(dāng) ，即20時(shí)取得最小值，3f (n) n Sn , fn,f( n) 0n336207,而f (6)，故取- 493-48 f (7)-496 、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：類型 1 ：等差數(shù)列型 an 1 anf ( n)思路：把原遞推式轉(zhuǎn)化為an 1anf (n) ，再使用累加法（逐差相加法）求解。例， 已知數(shù)

12、列 an 滿足 an 1an2n 1， a11 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解：由 an 1 an 2n1得 an 1an2n 1則7anan12(n 1) 1an 1an22(n2)1?a2a12 *11以上逐次累加， ann 2所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 ann2變式：已知數(shù)列 an 滿足 an 12an3 2n ， a12，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解： an12an32n 兩邊除以 2n 1 ，得 an 1an3，則 an 1an3，此時(shí) f (n)3，故數(shù)列 an2n 12n22n 12n222n是以 a121為首項(xiàng)，以 3 為公差的等差數(shù)列， 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得 an1 (

13、n1) 3，所以數(shù)列 an21222n2的通項(xiàng)公式為 an( 3 n1)2 n22評(píng)注：本題 an 1、 an 前的系數(shù)不一致， 不能直接使用前述方法，解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an12an3 2n轉(zhuǎn)化為an 1an3anan1 (n3，2n 1n，說(shuō)明數(shù)列 n 是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出n1)22222進(jìn)而求出數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。類型 2 ：等比數(shù)列型 an 1f (n) an把原遞推式轉(zhuǎn)化為an1f (n) ，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。an例（ 2004年全國(guó) I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列 an 滿足a11， ana12a23a3L(n 1)an 1 (n2

14、) ，求 an 的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?ana12a23a3L( n1)an1( n2)所以 an 1a12a23a3 L(n 1)an 1nan用式式得an 1annan . 則 an 1( n1)an (n2) ；故 an 1n1(n2)an所以 ananan1 La3a2n(n1) L43a2n! a2 .an 1an2a22由 ana12a23a3L(n1)an 1(n 2) ，取 n2得 a2a12a2 ，則 a2a1 ，又知 a11，則 a21，8代入得 an1 3 4 5 L nn! 。所以， an 的通項(xiàng)公式為 ann! .22評(píng) 注 ： 本 題 解 題 的 關(guān) 鍵 是 把 遞

15、推 關(guān) 系 式 an 1 (n 1)an (n 2) 轉(zhuǎn) 化 為an 1n 1(n 2) ， 進(jìn) 而 求 出ananan 1La3 a2 ，從而可得當(dāng) n2時(shí)， an 的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。an 1an 2a2類型 4 ：待定系數(shù)法處理an 1panq 或 an 1pa nqn 型數(shù)列推 式 an 1 pan q, 轉(zhuǎn) 化an 1 t p( ant ),tp把 原遞為; 轉(zhuǎn)化思路：1 q令an 1tp(an - t ), 此式與原式比較，得到 t1p，則數(shù)列 an 1t為等比數(shù)列qan - t例，數(shù)列an , a11, an 12an3,求 an解：令 an 1 t2(a

16、n t),比較原遞推式，2-1，所以an 111 是公比為 2 的等t3an2 即 an11比 數(shù) 列 ， an1 = （ a11 ） 2n -1 ， 或 令 an1bn ， bn是公比為 2 的等比數(shù)列，所以bn b1 * 2n 1 , 其中 b1 a1 12, bn 2n ，變式 1 ：已知數(shù)列 an 滿足 an 12an35n ， a16 ，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式。思路：等式兩邊同時(shí)除于5n 1an 12 a n3anbn ，；原遞推式變成n 1*5n, 令n555523225n 1a162bn 15 bn5bn 1 t5 (bnt ) t131 bn1 b1 5, b15 5n 1n

17、151 * 22n 12n 1bn1 bn1 * 2bn1 an2n 15n55 55n5n評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 12an35n 轉(zhuǎn)化為 an 1 tp(an - t ) ，最后再求出數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。9變式 2 ：已知數(shù)列 an 滿足 an 12an, a1 1 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。an2思路：將原遞推式兩邊倒數(shù)后換元，再轉(zhuǎn)化為an 1pa nq,變式 3 ：已知數(shù)列 an 滿足 an 13an 5 ， a17 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。思路：將原遞推式兩邊求對(duì)數(shù)后換元，再轉(zhuǎn)化為an 1pa nq,變式 4 ：已知數(shù)列 an 滿足 an 111 ，求數(shù)列 a

18、n 的通項(xiàng)公式。(1 4an 1 24an )，a116思路：換元 bn124an ，則 an1 (bn2 1)，再代入原遞推式，再轉(zhuǎn)化為an 1panq,24類型 5已知 Sn、 an 遞推式 Snf an求 anS1 , n1這種類型一般利用anSnSn 1 ,n導(dǎo)出 anSnSn 1 ，消去 Sn ，得到 an 與 an 1 的遞推式，再利用前1an （知識(shí)遷移： anS1 , n1面的方法求解出an 1Sn）Sn2 , n 2an 前 n 項(xiàng)和 Sn 4 an1例，已知數(shù)列n 2 ，求：（1 ） an 1與 an的關(guān)系 ，（2 ）通項(xiàng) an 。2解：（ 1）an 1Sn 1Sn(4 a

19、n 111)an 111112n 1 )(4 an2n 2an22n 22n 12111111n 1nan 12an2n 12*2n 12 an2n2an 12an2（ 2 ）由上式： 2n 1 an 12n an 22n 1 an 12n an2 ，令 bn2n an ，即有 bn 1bn2 ，而， b12 a12S12 ，所以，bn 為 b12，公差為 2,的等差數(shù)列， bn 2n, bn 2n anann2n 110類型 6： a1ga2 gL ganf (n) 求 anf (1),( n 1)用作商法： anf (n)f (n,( n 2)1)數(shù)列求和的常用方法然數(shù)和公式：12nn n

20、12；1222n2n n 1 2n 16；n221323n3n 14一、利用等差等比數(shù)列的求和公式求和1 、 等差數(shù)列求和公式：Snn( a1an )na1n(n1) d22na1q n )(q1)2 、等比數(shù)列求和公式：Sna1 (1a1an q(q1)1 q1q例 1已知 log 3 x1，求 x x2x3xn的前 n 項(xiàng)和 .log 2 3log 3x1log 3 xlog 3 21解： 由x，由 等比數(shù)列 求和公 式得log 2 321(11)1 1Snxx2x3x n x(1xn ) 22 n（利用等比數(shù)列求和公式）1x112n2例 2設(shè) Sn 1+2+3+n ，n N * ,求 f

21、 (n)Sn的最大值 .(n32) Sn 1解：由等差數(shù)列求和公式得Sn1 n(n1) ， Sn11 (n1)( n2)22 f ( n)Snn2n111( n 32)Sn34n850164n3464( n250n)n11n8f (n)max1n 8508na n b n n a n b n. 3Sn13x5x27 x3(2n1) xn1 (2n1) xn 12n 1 xn 1xSn1x3x25x 37x 4(2n1) xn .(1 x)Sn12x2x 22x 32x 42x n1( 2n1)x n(1x)Sn12x1xn 1( 2n 1)x n1xSn( 2n1)xn1(2n1)xn(1x)

22、(1x) 2 42 ,42,63 , 2nn,n.22222n2n1n n22Sn2462n222232n12462nSn2223242n12-1222222n212n(12 )Sn2 2223242 n2n 12n 12 n 1Sn4n22 n 1nn ( a1an ) . 5sin21sin2 2sin2 3sin2 88sin2 89S sin2 1sin2 2sin2 3sin2 88sin2 89 . 12將式右邊反序得S sin2 89sin2 88sin2 3sin2 2sin2 1. 又因?yàn)?sin xcos(90x), sin 2 xcos2 x 1，+得2S(sin 2 1

23、 cos2 1 ) (sin 2 2 cos2 2 )(sin 2 89cos2 89 ) 89 S 44.5題 1 已知函數(shù)（ 1）證明：；（ 2）求的值 .解：（ 1 ）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊= 右邊（ 2）利用第（ 1 ）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得：所以.四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例 5求數(shù)列的前n 項(xiàng)和：1 1,a4, a 27, a n 1n1113 2， 13解：設(shè) S (1 1) (14) (17)( 1nna2an13 2)a將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得Sn(1111(1473n2)aa2an 1 )當(dāng) a 1 時(shí)， Sn(3