（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十五章 圓錐曲線與方程 15.1 橢圓課件

1、第十五章圓錐曲線與方程 15.1橢圓 高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) 1.橢圓的定義 把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的 點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. 符號表示:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|),軌跡是橢圓. 當(dāng)|PF1|+|PF2|=2a(2a=|F1F2|)時(shí),軌跡是線段F1F2; 當(dāng)|PF1|+|PF2|=2a(2ab0)與+=k(ab0,k0)有相同的離心率. 2 2b a 1 2 2 2 x a 2 2 y b 2 2 x a 2 2 y b 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 1.利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)如果明確橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,那么設(shè)所求的橢圓方程為+

2、=1(a b0); (2)如果明確橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,那么設(shè)所求的橢圓方程為+=1(a b0); (3)如果橢圓中心在原點(diǎn),但不確定焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上,那么方 程可以設(shè)為mx2+ny2=1(m0,n0,mn). 2 2 x a 2 2 y b 2 2 y a 2 2 x b 方法技巧 方法1 2.利用定義及性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)根據(jù)動點(diǎn)滿足的等式的幾何意義,寫出標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)建立關(guān)于a,b,c,e的方程或方程組; (3)解方程或方程組,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 例1(1)已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍,且過點(diǎn)A(3,0),并且以坐標(biāo) 軸為對稱軸,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)(201

3、6江蘇如東高級中學(xué)期中,17)已知圓C:x2+y2+2x=15,M是圓C上的 動點(diǎn),N(1,0),MN的垂直平分線交CM于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的軌跡方程. 解析(1)設(shè)橢圓方程為+=1(m0,n0,mn), 由題意知或 解得或 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1或+=1. (2)由題意知|NP|+|PC|=|MP|+|PC|=4|NC|, 故點(diǎn)P的軌跡是以C、N為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓. 所以點(diǎn)P的軌跡方程為+=1. 2 x m 2 y n 9 1, m 2 m3 2 n 9 1, m 2 n3 2 m, m9, n1 m9, n81. 2 x 9 2 y 81 2 x 9 2 x 4 2 y 3 求橢圓的離

4、心率或離心率的取值范圍求橢圓的離心率或離心率的取值范圍 考的知識點(diǎn)通常有兩類:一是求橢圓的離心率;二是求橢圓離心率的取 值范圍. (1)若給定橢圓的方程,則根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置確定a2,b2,求出a,c的值,利 用公式e=直接求解. (2)若橢圓方程未知,則根據(jù)條件及幾何圖形建立a,b,c,e滿足的關(guān)系式,化 為關(guān)于a,c的齊次方程,求出a,c的關(guān)系或化為e的方程求解. 例2(2016江蘇常州一中、江陰南菁高中聯(lián)考,7)已知F是橢圓+= 1(ab0)的左焦點(diǎn),A為右頂點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn),PFx軸.若|PF|=|AF|, 則該橢圓的離心率是. c a 2 2 x a 2 2 y b 1 4 方法2

5、 解析由題意得,A(a,0),F(-c,0). PFx軸,|PF|=. 因?yàn)閨PF|=|AF|,所以=(a+c),即(3a-4c)(a+c)=0,a,c0,3a-4c=0,e =. 2 b a 1 4 2 b a 1 4 c a 3 4 答案 3 4 例3(2015福建文改編,11,5分)已知橢圓E:+=1(ab0)的右焦點(diǎn)F, 短軸的一個端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于兩點(diǎn)A,B,若|AF|+|BF|=4, 點(diǎn)M到直線l的距離不小于,則橢圓E的離心率的取值范圍是. 2 2 x a 2 2 y b 4 5 解析直線l:3x-4y=0過原點(diǎn),從而A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,于是|AF|+|

6、BF| =2a=4,所以a=2,不妨令M(0,b),則由點(diǎn)M到直線l的距離不小于得 ,即b1,所以e2=,又0e1,所以0e , 即橢圓E的離心率的取值范圍是0e. 4 5 22 4b 3( 4) 4 5 2 2 c a 22 2 ab a 2 4b 4 3 4 3 2 3 2 答案0e 3 2 橢圓中的最值問題橢圓中的最值問題 解決橢圓中的最值問題主要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程兩大數(shù)學(xué)思想, 具體方法有以下幾種: (1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義,尤其是橢圓的性質(zhì)求最值或取值范圍. (2)利用函數(shù),尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍. (3)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范圍. (4)利用判

7、別式求最值或取值范圍. 例4(2017鎮(zhèn)江高三上學(xué)期期末,18)已知橢圓C:+=1的離心率為 ,且點(diǎn)在橢圓C上. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; 2 2 x a 2 2 y b 3 2 1 3, 2 方法3 (2)若直線l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),線段PQ的中點(diǎn)為H,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且OH= 1,求POQ面積的最大值. 解析(1)由已知得=,+=1, 易得a2=4,b2=1, 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是+y2=1. (2)當(dāng)PQx軸時(shí),H位于x軸上,且HOPQ, 由OH=1可得PQ=, 此時(shí)SPOQ=OHPQ=. 當(dāng)PQ不垂直于x軸時(shí), 設(shè)直線l的方程為y=kx+t,P(x1,y1),Q(x2,y2), 由得

8、(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0, c a 3 2 2 3 a 2 1 4 b 2 x 4 3 1 2 3 2 2 2 x y1, 4 ykxt 所以從而H, 由已知OH=1可得t2=(*). 因?yàn)镻Q2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2 =(1+k2) =(1+k2), 設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為d,則d2=, 從而=(1+k2), 12 2 2 12 2 8kt xx, 14k 4t4 x x, 14k 22 4ktt , 14k14k 22 2 (1 4k ) 16k1 2 222 22 64k t16(t1)(1 4k ) (1 4k ) 22 22 16(1 t

9、4k ) (4k1) 2 2 t 1k 2 POQ S 1 4 22 22 16(1 t4k ) (1 4k ) 2 2 t 1k 將(*)式代入得,=, 令1+16k2=p, 則= =1, 當(dāng)且僅當(dāng)p=3時(shí),取“=”,此時(shí)POQ的面積最大,且最大值為1. 0,n0, y10,m0. 22 xy 1, 43 xmyn 12 2 2 12 2 6nm yy, 3m4 3n12 y y. 3m4 2 3nm 3m4 2 1 y 2 2 4n 3m4 22 22 9n m (3m4) 2 2 4n 3m4 2 2 3m4 3m1 1 2 2 2 6|m|n 3m4 2 6|m| 3m1 2 2 3m

10、 3m4 n SOBC=, 當(dāng)且僅當(dāng)3m=,即m=時(shí)取等號, 此時(shí)n=, 所求直線l的方程為x=y+,即y=x+. 2 6m 3m1 6 1 3m m 6 2 3 3 1 m 3 3 10 2 3 3 10 2 3 30 2 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題 圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法: (1)引進(jìn)參數(shù)法:引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研 究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系,找到定點(diǎn). (2)特殊到一般法:根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn),再證明該定 點(diǎn)與變量無關(guān). 例6(2017江蘇丹陽高三上學(xué)期期初考試,17,15分)如圖,在平面直角坐 標(biāo)系xOy中,A,

11、B分別是橢圓G:+y2=1的左,右頂點(diǎn),P(2,t)(tR,且t0)為 直線x=2上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P任意作一條直線l與橢圓G交于C,D,直線 PO分別與直線AC,AD交于E,F. (1)當(dāng)直線l恰好經(jīng)過橢圓G的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)時(shí),求t的值; 2 x 4 方法5 (2)記直線AC,AD的斜率分別為k1,k2. 若t=-1,求證:+為定值; 求證:四邊形AFBE為平行四邊形. 1 1 k 2 1 k 解析(1)由題意得,橢圓的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),易 得直線l的方程為y=-x+1, 令x=2,得t=1-. (2)證明:由題意可設(shè)直線AC的方程為y=k1(x+2), 由得C, 同理,D,由C,D,P三點(diǎn)共線得kCP=kDP, 即=,化簡得4k1k2=t(k1+k2), 3 3 3 2 3 3 1 2 2 yk (2), x y1 4 x 2 11 22 11 28k4k , 14k14k 2 22 22 22 28k4k , 14k14k 1 2 1 2 1 2 1 4k 14k 28k 2 14k t 2 2 2 2 2 2 2 4k 14k 28k 2 14k t t=-1時(shí),+=-4(定值). 要證四邊形AFBE為平行四邊形,即只需證EF的中點(diǎn)為點(diǎn)O, 由得xE=,同理xF=, 將t=分別代入得, x