立體幾何解題方法技巧

1、專題六立體幾何解題方法技巧一、內(nèi)容提要：立體幾何需要我們?nèi)ソ鉀Q的問題概括起來就是三個方面，證明位置關(guān)系、求距離和求 角；具體內(nèi)容見下表：立 體 幾 何提 要主要內(nèi)容重點內(nèi)容位置 關(guān)T系兩條異面直線相互垂直、直線與平面平仃、直 線與平面斜交、直線與平面垂直、兩個平面斜交、 兩個平面相互垂直兩條異面直線相互垂直、直線 與平面平行、直線與平面垂 直、兩個平面相互垂直距離兩條異面直線的距離、點到平面的距離、直線到 平面的距離、兩個平面的距離兩條異面直線的距離、點到平 面的距離角 度兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角、 二面角兩條異面直線所成的角、 直線 和平面所成的角、二面角、主要解題方法:（一

2、）位置關(guān)系1、兩條異面直線相互垂直證明方法：證明兩條異面直線所成角為90o；證明兩條異面直線的方向量相互垂直2、直線和平面相互平行證明方法：證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行；（3）證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。3、直線和平面垂直證明方法：證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，（證明直線的方向量與這個平面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直；（證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行。4、平面和平面相互垂直證明方法：（證明這兩個平面所成二面角的平面角為90o；（證明一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面； （證明兩個平面的法向量相互

3、垂直。（二）求距離求距離的重點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點到這個平面的距離。1、兩條異面直線的距離求法：如果知道兩條 異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度，線段長度的求法也可以用向量來幫助解決，求線段AB的長度，可以利用2 2AB （AM MN NB）來幫助解決，但是前提條件是我們要知道 d |ABn|AM,MN, NB的模和每兩個向量所成的角。 利用公式d（其中A B|n|9-分別為兩條異面直線上的一點，n為這兩條異面直線的法向量）2、點到平面的距離求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出

4、來。等體積法。向量法，利用公d I AB n |-式d（其中a為已知點，b為這個平面內(nèi)的任意一點，n這個平面的法向量）|n|（三）求角1、兩條異面直線所成的角求法：先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得； 通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是（0 ，向量所成的角范圍是0,，如果求出的是鈍角，要，2注意轉(zhuǎn)化成相應的銳角。2、直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。（2）向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角 a,那么所要求的角為一 或一2 23、平面與平面所成的角求法：“一找

5、二證三求”， 找出這個二面角的平面角， 然后再來證明我們找出來的這個角 是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。2通過射影面積來求S射影cos(在其中一個平面內(nèi)找出一個三角形，然后找這個三角形在另外一個平面的S原射影，那么這個三角形的射影面積與原三角形面積之比即為cos a,注意到我們要求的角為a或n a);向量法，先求兩個平面的法向量所成的角為a,那么這兩個平面所成的二面角的平面角為 a或n a。我們現(xiàn)在來解決立體幾何的有關(guān)問題的時候，注意到向量知識的應用， 如果可以比較容易建立坐標系，找出各點的坐標，那么剩下的問題基本上就可以解決了，如果建立坐標系不好做的話，有時求距離、角的時

6、候也可以用向量，運用向量不是很方便的時候，就用傳統(tǒng)的 方法了！三、注意的問題：1、我們現(xiàn)在提倡用向量來解決立體幾何的有關(guān)問題，但是當運用向量不是很方便的時候， 傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運用自如。2、我們?nèi)绻峭ㄟ^解三 角形去求角、距離的時候，做到“一找二證三求”，解題的過程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“/a是我們所要求的角”、“線段AB的長度就是我們所要求的距離”等等。讓人看起來一目了然。3、 用向量來求兩條異面直線所成角時，若求出COS a= X,則這兩條異面直線所成的角為a=a rccos|x|4、在求直線與平面所成的角的時候，法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方向量所成角的補交與我們

7、所要求的角互余，所以要一 或一，若求出的角為銳角，2 2就用，若求出的鈍角，就用2 25、 求平面與平面所成角的時，若用第、種方法，先要去判斷這個二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍?！緦ｎ}訓練】1、已知三棱錐 PABC中PB丄底面ABC BCA 90 ,PB=BC=CA= E是 PC的中點，點 F 在 PA上，且 3PF=FA.(1) 求證：平面PACL PBC(2) 求平面BEF與底面ABC所成角(用一個反三角函數(shù)值表示)2、如圖，四棱錐 P ABCD勺底面是正方形,PA丄底面 ABCD PA=AD=2點M N分別在棱PDPC上，且 PCL平面 AMN.(1) 求

8、證：AML PD(2) 求二面角 P AM- N的大?。?3) 求直線CD與平面AMN所成角的大小.一 一 13、如圖，平面 ABC丄平面 ABEF ABCD是正方形，ABEF是矩形，且 AF - AD a, G是2EF的中點，(1 )求證平面 AGC_平面 BGC(2 )求GB與平面AGC所成角的正弦值(3 )求二面角B AC G的大小.4、如圖，在正方體 ABCDAiBCiDi中，E是棱AiDi的中點,H為平面EDB內(nèi)一點，H62m,2m, m (m 0)。(1) 證明HCi 平面EDB ；(2) 求BCi與平面EDB所成的角；(3) 若正方體的棱長為 a，求三棱錐A EDB的體積。*.

9、5i在 Rt BCM 中,HO a，在 RtEHO 中，.EHI02即平面BEF與底面ABC所成二面角的大小為 arctan 5若利用面積射影法，指出 HDB是厶EFB在底面ABC上的射影，并計算出其面積s射影1 2 a 167分計算出S EFB 6 a216即平面BEF與底面ABC所成二面角的大小為arccos62、( 1)證明：T ABCD是正方形， CDLAD/ PAL底面 ABCD： PAL CD. CDL平面 PAD/ AM 平面 PAD CDLAM./ PCL平面 AMN： PCL AM. AML平面 PCD. AML PD.(2)解：T AML平面 PCD(已證). AML PM

10、 AML NM. / PMN為二面角P-AM-N的平面角./ PNL平面 AMN： PNL NM.在直角 PCD中，CD=2, PD=2,2 , PC=2 3 ./ PA=AD AML PD z.M 為 PD的中點，PMPD= . 2 2由 Rt PMM Rt PCD 得 MN CD PM .PC即二面角P AM- N的大小為arccos-3.33、( 1)證明：正方形 ABCD CB AB 面 ABCL面 ABEF且 交于 AB, CBL面 ABEF / AG GB 面 ABEF CBLAG CBL BG又AD=2a, AF= a , ABEF是矩形，G是EF的中點, AG=BG=2a , AB=23, AB2=aG+bG,. AGLBG v CGH BG=B. AGL平面 CBG 而 AG 面AGC 故平面AGC_平面BGC(2)解：如圖，由(I)知面 AGCL面BGC且交于 GC在平面 BGC內(nèi)作BHLGC垂足 為H,貝U BHL平面 AGCBGH是GB與平面 AGC所成的角在 Rt CBG 中 BHBC BGBC BG2