（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.7 解三角形的實(shí)際應(yīng)用課件

1、4.7解三角形的實(shí)際應(yīng)用 第四章 三角函數(shù)、解三角形 KAOQINGKAOXIANGFENXI 考情考向分析 以利用正弦定理、余弦定理測(cè)量距離、高度、角度等實(shí)際問題為主，常與三 角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合考查，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性題型主要 為填空題或解答題，中檔難度 NEIRONGSUOYIN 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí) 題型分類 深度剖析 課時(shí)作業(yè) 1基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí) PART ONE 知識(shí)梳理 測(cè)量中的有關(guān)幾個(gè)術(shù)語 ZHISHISHULIZHISHISHULI 術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示 仰角與俯角 在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中， 目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角， 目標(biāo)視線在水平

2、視線下方的叫做俯角 方位角 從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向 到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角. 方位角的范圍是0360 方向角 正北或正南方向線與目標(biāo)方 向線所成的銳角，通常表達(dá) 為北(南)偏東(西) 例：(1)北偏東： (2)南偏西： 坡角與坡比 坡面與水平面所成二面角的 度數(shù)叫坡度；坡面的垂直高 度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比 【概念方法微思考】 在實(shí)際測(cè)量問題中有哪幾種常見類型，解決這些問題的基本思想是什么？ 提示實(shí)際測(cè)量中有高度、距離、角度等問題，基本思想是根據(jù)已知條件， 構(gòu)造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解決問題. 基礎(chǔ)自測(cè) JICHUZICEJICHUZICE 題組一思考辨析 1

3、23456 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180. () (3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的， 均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系. () 題組二教材改編 123456 2.P18例1如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者 在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C的距離為50 m， ACB45，CAB105后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的 距離為_ m. 123456 3.P21T3如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為30，沿傾斜角為15的斜坡 向 上走a米到B，在B處測(cè)得山頂P的仰角為60，則山高h(yuǎn)_米. 1

4、23456 解析由題圖可得PAQ30，BAQ15， 在PAB中，PAB15， 又PBC60， PQPCCQPBsin asin 題組三易錯(cuò)自糾 123456 4.要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂 A的仰角是45，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角30，并測(cè)得水平面 上的BCD120，CD40 m，則電視塔的高度為_m. 40 在BCD中，由余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosBCD, 3x2x2402240 xcos 120， 即x220 x8000，解得x20(舍去)或x40. 故電視塔的高度為40 m. 123456 5.在某次測(cè)量中，在A處測(cè)得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是

5、60，C點(diǎn)的俯角 是70，則BAC_. 130 解析6070130. 6.海上有A，B，C三個(gè)小島，A，B相距 海里，從A島望C和B成45視角， 從B島望C和A成75視角，則B，C兩島間的距離是_海里. 123456 2題型分類深度剖析 PART TWO 題型一測(cè)量距離問題 自主演練自主演練 1.江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上， 由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30角， 則兩條船相距_m. 解析如圖， OMAOtan 4530(m)， 在MON中，由余弦定理得 2.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，要測(cè)出A，B

6、的距離， 測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，若測(cè)得CD km，ADBCDB 30，ACD60，ACB45，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_ km. 解析ADCADBCDB60，ACD60， 在BCD中，DBC45， 在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 45 解析由已知，得QABPABPAQ30. 又PBAPBQ60， AQB30，ABBQ. 又PB為公共邊，PABPQB，PQPA. 在RtPAB中，APABtan 60900，故PQ900， P，Q兩點(diǎn)間的距離為900 m. 3.如圖，為了測(cè)量?jī)勺椒迳螾，Q兩點(diǎn)之間的距離，選 擇山坡上一段長(zhǎng)度為 m且和P，Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)

7、 的路段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作為觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得PAB90， PAQPBAPBQ60，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為 _ m. 900 思維升華 求距離問題的兩個(gè)策略 (1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已 知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解. (2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理. 題型二測(cè)量高度問題 師生共研師生共研 例1 (2018海安測(cè)試)如圖，已知AB是一幢6層的寫字樓，每 層高均為3 m，在AB正前方36 m處有一建筑物CD，從樓頂A 處測(cè)得建筑物CD的張角為45. (1)求建筑物CD的高度； 解如圖，作AE

8、CD于點(diǎn)E，則AEBD. 所以DEAB18，AEBD36. 所以CE36tanCAE12. 答建筑物CD的高度為30米. (2)一攝影愛好者欲在寫字樓AB的某層拍攝建筑物CD.已知從攝影位置看景物 所成張角最大時(shí)，拍攝效果最佳.問：該攝影愛好者在第幾層拍攝可取得最佳 效果(不計(jì)人的高度)? 解設(shè)在第n層M處拍攝效果最佳， 則攝影高度為3(n1)米(如圖)(1n6，nN). 作MNCD于N，則DN3(n1)， CN303(n1)333n. tanCMDtan(CMNDMN) 所以當(dāng)n6時(shí)，張角CMD最大，拍攝效果最佳. 答該人在第6層拍攝時(shí)效果最好. 思維升華 (1)高度也是兩點(diǎn)之間的距離，其解

9、法同測(cè)量水平面上兩點(diǎn)間距離的方法是 類似的，基本思想是把要求的高度(某線段的長(zhǎng)度)納入到一個(gè)可解的三角 形中. (2)在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最 好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不 容易搞錯(cuò). 跟蹤訓(xùn)練1 如圖所示，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為，在塔 底C處測(cè)得A處的俯角為.已知鐵塔BC部分的高為h，則山高CD_. 解析由已知得BCA90，ABC90，BAC，CAD. 題型三角度問題 師生共研師生共研 例2 如圖所示，一艘巡邏船由南向北行駛，在A處測(cè)得山頂P 在北偏東15(BAC15)的方向，勻速向北航行20分鐘后

10、到 達(dá)B處，測(cè)得山頂P位于北偏東60的方向，此時(shí)測(cè)得山頂P的 仰角為60，已知山高為 千米. (1)船的航行速度是每小時(shí)多少千米？ (2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達(dá)D處，問此時(shí)山頂位于D處南偏 東多少度的方向？ 所以，山頂位于D處南偏東45的方向. 思維升華 解決測(cè)量角度問題的注意事項(xiàng) (1)首先應(yīng)明確方位角和方向角的含義. (2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān) 鍵、最重要的一步. (3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的 “聯(lián)袂”使用. 跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C 的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40

11、的方向上，燈 塔B在觀察站C的南偏東60的方向上，則燈塔A在燈塔B的 _的方向上. 北偏西10 解析由已知得ACB180406080， 又ACBC，AABC50，605010， 燈塔A位于燈塔B的北偏西10的方向上. 3課時(shí)作業(yè) PART THREE 解析如圖所示， 由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcos B 10040021020cos 120700， 1.已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得 ABC120，則A，C兩地間的距離為_ km. 基礎(chǔ)保分練 12345678910111213141516 1234567891011121314151

12、6 2.在直徑為30 m的圓形廣場(chǎng)中央上空，設(shè)置一個(gè)照明光源，光源射向地面的 光呈圓錐體，且其軸截面的頂角為120，若要求光源恰好照亮整個(gè)廣場(chǎng)，則 光源的高度為_ m. 12345678910111213141516 3.某人在C處測(cè)得A地和B地距離C地分別為20米和30米，且測(cè)得張角ACB 120，則A，B兩地的距離為_ 米. 解析由余弦定理得 又0CAD180，所以CAD45， 所以從頂端A看建筑物CD的張角為45. 12345678910111213141516 4.如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m， 50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD

13、的 張角為_. 45 又CD50，所以在ACD中， 12345678910111213141516 5.如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一 水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得BCD15，BDC 30，CD30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60，則塔高 AB_. 解析在BCD中，CBD1801530135. 12345678910111213141516 6.如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此 時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC_m. 12345678910111213141516 解析如圖，ACD30，ABD75，AD60 m， 在RtACD

14、中， 12345678910111213141516 7.如圖，某工程中要將一長(zhǎng)為100 m，傾斜角為75的斜坡改 造成傾斜角為30的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長(zhǎng) _m. 解析設(shè)坡底需加長(zhǎng)x m， 12345678910111213141516 8.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一 艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相 距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，則 cos _. 12345678910111213141516 解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120， 由余弦定理得BC2

15、AB2AC22ABACcos 1202 800， 由ACB30，得cos cos(ACB30) 12345678910111213141516 9.一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線 上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏 西75，則這艘船的速度是每小時(shí)_海里. 10 解析如圖所示，依題意有BAC60，BAD75， 所以CADCDA15，從而CDCA10， 在RtABC中，得AB5， 12345678910111213141516 10.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB， C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條

16、平行于AO的小 路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到 C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形 的半徑為_米. 解析如圖， 連結(jié)OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60. 由余弦定理得OC2100215022100150cos 6017 500， 12345678910111213141516 11.如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD， 為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角，在山坡的A處測(cè)得DAC15，沿 山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處，又測(cè)得DBC45，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos _. 12345678910111213

17、141516 解析由DAC15，DBC45，可得DBA135，ADB30. 12345678910111213141516 12.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與 島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā) 沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東的方 向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上. (1)求漁船甲的速度； 12345678910111213141516 解依題意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA. 在ABC中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC 12220221220cos 120784， 解得BC28. 123

18、45678910111213141516 (2)求sin 的值. 解在ABC中，因?yàn)锳B12，BAC120， BC28，BCA， 技能提升練 12345678910111213141516 13.如圖，在水平地面上有兩座直立的相距60 m的鐵塔AA1和BB1.已知從塔AA1 的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍，從兩 塔底部連線中點(diǎn)C分別看兩塔頂部的仰角互為余角，則從塔BB1的底部看塔 AA1頂部的仰角的正切值為_；塔BB1的高為_ m. 45 12345678910111213141516 解析設(shè)從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角為， 則AA160tan

19、，BB160tan 2. 從兩塔底部連線中點(diǎn)C分別看兩塔頂部的仰角互為余角， AA1BB1900，3 600tan tan 2900， 12345678910111213141516 14.如圖，據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭南偏東45方向600 km處的熱帶風(fēng) 暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心450 km以內(nèi)的地區(qū)都 將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為_h. 15 12345678910111213141516 解析記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A，t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點(diǎn)位置， 在OAB中，OA600，AB20t，OAB45， 拓展沖刺練 12345678910111213141516 15.某艦艇在A處測(cè)得一艘遇險(xiǎn)漁船在其北偏東40的方向距離A處10海里的C處， 此時(shí)得知，該漁船正沿南偏東80的方向以每小時(shí)9海里的速度向一小島靠近， 若艦艇的時(shí)速為21海里，則艦艇追上漁船的最短時(shí)間是_小時(shí). 123456789