概率論第4章習題參考解答

1、精品文檔概率論第4 章習題參考解答1. 若每次射擊中靶的概率為 0.7, 求射擊 10 炮 , 命中 3 炮的概率 , 至少命中 3 炮的概率 ,最可能命中幾炮.解 : 設 為射擊 10 炮命中的炮數(shù) , 則 B(10,0.7), 命中 3 炮的概率為P3C1030.730.370.0090至少命中3 炮的概率 ,為 1減去命中不到3炮的概率 , 為2P31P31C10i0.7i0.310 i0.9984i 0因 np+p=10 0.7+0.7=7.7 不是整數(shù) , 因此最可能命中 7.7=7 炮.2. 在一定條件下生產某種產品的廢品率為0.01, 求生產 10 件產品中廢品數(shù)不超過2 個的概

2、率 .解 : 設 為 10件產品中的廢品數(shù) , 則 B(10,0.01),則廢品數(shù)不超過2 個的概率為2C10i0.01i0.9910 iP20.9999i 03. 某車間有 20 部同型號機床 , 每部機床開動的概率為 0.8, 若假定各機床是否開動彼此獨立 , 每部機床開動時所消耗的電能為 15 個單位 , 求這個車間消耗電能不少于 270 個單位的概率 .解 : 設每時刻機床開動的數(shù)目為 , 則 B(20,0.8), 假設這個車間消耗的電能為 個單位 , 則 =15 , 因此P270 P15270P270 P181520C 20i0.8i0.220i0.2061i 184. 從一批廢品率

3、為 0.1 的產品中 , 重復抽取 20 個進行檢查 , 求這 20 個產品中廢品率不大于 0.15 的概率 .解 : 設這 20 個產品中的廢品數(shù)為, 則 B(20,0.1),假設這 20 個產品中的廢品率為 ,則 =/20. 因此3P0.15P0.15P3C 20i0.1i0.920 i=0.86720i 05.生產某種產品的廢品率為 0.1,抽取 20 件產品 , 初步檢查已發(fā)現(xiàn)有2件廢品, 問這 20件中 , 廢品不少于3 件的概率 .解 : 設 為這 20 件產品中的廢品數(shù), 則B(20,0.1),又通過檢查已經知道 定不少于 2件的條件 , 則要求的是條件概率P3 |P322P2因

4、事件 2 3, 因此322因此.精品文檔20P3PiP3 |i 32220PPii 220PiP2P2i 212020PiPii2i 21P21C2020.120.91810.920200.10.9191Pi1i 00.28520.531210. 60836. 拋擲 4 顆骰子 , 為出現(xiàn) 1 點的骰子數(shù)目 , 求 的概率分布 , 分布函數(shù) , 以及出現(xiàn) 1點的骰子數(shù)目的最可能值.解 : 因擲一次骰子出現(xiàn)一點的概率為1/6, 則 B(4,1/6),因此有154 kPkC 4k(k0,1,2,3,4),6k60k4x0kF ( x)C 4k 150 x 4k x661x4或者算出具體的值如下所示

5、：01234P0.48230.38580.11570.01540.00080x00.48230x10.86811x2F ( x)2x30.98380.99923x41x4從分布表可以看出最可能值為0, 或者 np+p=(4/6)+1/6=5/6小于 1 且不為整數(shù) , 因此最可能值為 5/6=0.7. 事件 A 在每次試驗中出現(xiàn)的概率為 0.3, 進行 19 次獨立試驗 , 求(1) 出現(xiàn)次數(shù)的平均值和標準差 ; (2)最可能出現(xiàn)的次數(shù) .解 : 設 19 次試驗中事件 A 出現(xiàn)次數(shù)為 , 則 B(19,0.3), 因此(1)的數(shù)學期望為E=np=19 0.3=5.7方差為 D=np(1- p

6、)=19 0.3 0.7=3.99標準差為D3.991.997.精品文檔(2)因 np+p=5.7+0.3=6 為整數(shù) , 因此最可能值為5和6.8. 已知隨機變量 服從二項分布 , E=12, D =8, 求 p 和 n.(1)解 : 由 E =np=12和 D =np(1-p)=8(2)由 (1)得 n=12/p, 代入到 (2)得12(1-p)=8, 解出 p=(12-8)/12=1/3=0.3333代回到 (1)式得 n=12/p=12 3=369. 某柜臺上有4 個售貨員 , 并預備了兩個臺秤, 若每個售貨員在一小時內平均有15 分鐘時間使用臺秤 ,求一天 10 小時內 , 平均有多

7、少時間臺秤不夠用 .解 : 每個時刻構成一 n=4 的貝努里試驗 , 且 p=15/60=0.25, 因此 , 設 為每個時刻要用秤的售貨員數(shù) , 則 B(4, 0.25), 當 2 時 , 臺秤不夠用 . 因此每時刻臺秤不夠用的概率為P(2) C430.2530.75 0.2540.0508因此 10 個小時內平均有0.0508 10=0.508 個小時臺秤不夠用.10. 已知試驗的成功率為 p, 進行 4 重貝努里試驗 , 計算在沒有全部失敗的情況下 , 試驗成功不止一次的概率 .解 : 設 為4 次試驗中的成功數(shù), 則 B(4,p),事件 沒有全部失敗 即事件 0,而事件 試驗成功不止一

8、次即事件 1, 因此要求的是條件概率P 1|0, 又因事件 1 被事件 0 包含 , 因此這兩個事件的交仍然是 1,因此P1|0P11 P0 P1P01P01q44 pq31q4其中 q=1- p11. 服從參數(shù)為 2,p 的二項分布 , 已知 P(1)=5/9, 那么成功率為 p 的 4 重貝努里試驗中至少有一次成功的概率是多少 ?解 : 因 B(2,p), 則必有 P(1)1P(0)1(1p) 25 / 9, 解得(1p) 215 / 94 / 91p2 / 3p12 / 31/ 3則假設 為成功率為 1/3 的 4 重貝努里試驗的成功次數(shù), B(4,1/3), 則41 16P(1) 1P

9、(0) 1 (1 p) 4120.80238112. 一批產品 20 個中有 5 個廢品 , 任意抽取 4 個 , 求廢品數(shù)不多于 2 個的概率解 : 設 為抽取 4 個中的廢品數(shù) , 則 服從超幾何分布 , 且有2C5i C154 i0.968P2C204i 013. 如果產品是大批的 , 從中抽取的數(shù)目不大時 , 則廢品數(shù)的分布可以近似用二項分布公式計算 . 試將下例用兩個公式計算 , 并比較其結果 . 產品的廢品率為 0.1, 從 1000 個產品.精品文檔中任意抽取3 個 , 求廢品數(shù)為1 的概率 .解 : 設任抽 3 個中的廢品數(shù)為, 則 服從超幾何分布, 廢品數(shù)為0.1 1000=

10、100P1C1001C90020.2435C10003而如果用二項分布近似計算, n=3, p=0.1, B(3,0.1)P1 C310.10.920.2430近似誤差為0.0005,是非常準確的 .14.從一副樸克牌 (52張)中發(fā)出 5 張 ,求其中黑桃張數(shù)的概率分布 .解 : 設 為發(fā)出的5 張中黑桃的張數(shù) ,則服從超幾何分布 , 則PiC13iC525 i13(i 0,1,2,3,4,5)C525則按上式計算出概率分布如下表所示:012345P0.22150.41140.27430.08150.01070.000515.從大批發(fā)芽率為0.8 的種子中 , 任取 10 粒 , 求發(fā)芽粒數(shù)

11、不小于8 粒的概率 .解 :設 為 10粒種子中發(fā)芽的粒數(shù), 則 服從超幾何分布 , 但可以用二項分布近似, 其中 p=0.8, n=10, 則10P8C10i0.8i0.210 i=0.6778i816. 一批產品的廢品率為 0.001, 用普哇松分布公式求 800 件產品中廢品為 2 件的概率 , 以及不超過 2 件的概率 .解 : 設 為 800 件產品中的廢品數(shù), 則 服從超幾何分布, 可以用二項分布近似,則 B(800, 0.001), 而因為試驗次數(shù)很大廢品率則很小, 可以用普阿松分布近似, 參數(shù)為=np=800 0.001=0.8P20.82e 0.80.143820.8iP22

12、0. 80.9526ei 0i!17.某種產品表面上的疵點數(shù)服從普哇松分布, 平均一件上有0.8個疵點 , 若規(guī)定疵點數(shù)不超過 1 個為一等品 , 價值 10元 , 疵點數(shù)大于1 不多于 4 為二等品 ,價值 8 元, 4 個以上為廢品 , 求產品為廢品的概率以及產品的平均價值.解 : 設 為產品表面上的疵點數(shù) ,則 服從普哇松分布 , =0.8,設 為產品的價值 , 是的函數(shù) . 則產品為廢品的概率為P41P4140.8ie 0 .80.0014i 0i !.精品文檔P10P10.8i0. 80.80881i !ei 0P8P1440.8ie0.80.1898i!i 2則產品的平均價值為E=

13、 10 P =10+8 P =8=10 0.8088+8 0.1898=9.6064(元 )18. 一個合訂本共 100 頁 , 平均每頁上有兩個印刷錯誤 , 假定每頁上印刷錯誤的數(shù)目服從普哇松分布 , 計算該合訂本中各頁的印刷錯誤都不超過4 個的概率 .解 : 設 為每頁上的印刷錯誤數(shù)目 , 則 服從普哇松分布 , =2, 則 1 頁印刷錯誤都不超過 4 個的概率為P42i20.94734ei 0i!而 100 頁上的印刷錯誤都不超過4 個的概率為P4 1000.00445419. 某型號電子管的 “壽命” 服從指數(shù)分布 , 如果它的平均壽命 E=1000 小時 , 寫出的概率密度 , 并計

14、算 P(1000600|500), 因此.精品文檔P600eP600 |500P500e6001000500 e 0. 1 0.905100022. 若服從具有2的概率密度為n 個自由度的 -分布 , 證明xn1x2e 2n(x)1n2 220x 0x 0稱此分為為具有n 個自由度的-分布證 : 設, 則因 的概率密度函數(shù)為1n1xx2e2x0( x)nn2220x0的分布函數(shù)為F ( x) P(x)P(x)P(x2 )F ( x2 )( x 0)對兩邊求導得2x n 2x 2xn 1x 2) 2xe 2e 2( x 0)( x) 2 x ( xnnn2 22 21n2223. N(0,1),

15、 求 P 0, P| |3, P03, P-1 3 解 : 根據(jù) 的對稱性質及查表得 :P 0=1- 0(0)=0.5P| |3=2 0(3)-1=20.99865-1=0.9973P03=1- 0(3)=1-0.99865=0.00135P-1 3= 0 (3)-0(-1)= 0(3)+ 0(1)-1=0.99865+0.8413-1=0.839952在一次試驗中幾乎必然出現(xiàn) ?24. N(,), 為什么說事件 | -|2解: 因為 N(0,1)P|2 P220 (2)120.9772510.95451因此在一次試驗中幾乎必然出現(xiàn).精品文檔25. N(10,22), 求 P(10 13),

16、P(|-10|2).解: 因為10 N(0,1)2P1013P 0101.50 (1.5)0 (0)0.933190.5 0.43319210P13P1.5 10 (1.5)10.933190.066812P|10 |2P1020 (1)12 0.84131 0.68261226. 若上題中已知P| -10|c=0.95, P d=0.0668,分別求 c 和 d.解 :因為10 N(0,1) , 則有2P|10 |cP10c20 ( c )10.95222解得0 ( c )10.950.975 , 查表得 c1.96,得 c=3.92222再由PdP10d100( d10 )0.0668 0

17、.5222知 d100, 因此0( d10)10 (10d )0.0668210d )22即0(10.06680.9332,2查表得 10d1.5 , 解得 d10372227.或 0.95, 或 0.99, 分別查表找出相應的 k若 N(,), 對于 P -k+k=0.90,值.解 : 先求 P -k+k=0.90 對應的 k 值 .因 N (0,1), 因此PkkPk20 (k)10.9010.900.95 , 查表得 k=1.64即0(k )2同理 ,由 0 (k )10.950.975 , 查表得 k=1.96210.990.995 , 查表得 k=2.57由0(k )2N(50, 0

18、.252)分布 , 求產品長度在28.某批產品長度按49.5cm 和 50.5cm 之間的概率 , 長.精品文檔度小于49.2cm 的概率 .解 : 設 為產品長度 , 則 N(50, 0.252),且有50 N(0,1) , 則0.25P 49.550.5P502P50220.250.2520(2)1 20.97725 10.9545P49.2P5049.2 500 ( 3.2)10 (3.2)0.250.2510.99931290.0006871i12313i ,3)2,求29. N(0,1)(i =1,2,3),并 且 , 相 互 獨 立 ,3 i 1( ii 1cov(, 1 ), E,cov(,)解 : 此題要用到 , 兩個獨立的服從正態(tài)分布的隨機變量相加后得到的隨機變量仍然服從正態(tài)分布 . 因此 , 因為E0, DD 1 3i1, 則 N(0,1)3 i 133131 E121cov(1 )E(1 )E1i3i133E( i) 2E(i22 i2 )E i22cov( i ) E 2121123333( i) 23) 23 2因此EEE( i2i1i 13i 也服從正態(tài)分布 , 且有cov( i, ) E ( i) E i E 2