因子分析理論與案例

1、共享知識分享快樂盛年不重來，一日難再晨。及時宜自勉，歲月不待人。因子分析理論與案例一、因子分析原理因子分析是一種將多變量化簡的多元統(tǒng)計方法，它可以看作是主成份分析的 推廣。因子分析的目的是分解原始變量，從中歸納出潛在的“類別”，相關(guān)性較強的變量歸為一類，不同類間的變量的相關(guān)性則較低。 每類變量代表了一個“共 同因子”，即一種內(nèi)在結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）。因子分析就是尋找這種內(nèi)在結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）的 方法。從全部計算過程來看作R型因子分析與作Q型因子分析都是一樣的，只不過 出發(fā)點不同，R型從相關(guān)系數(shù)矩陣出發(fā)，Q型從相似系數(shù)陣出發(fā)都是對同一批觀 測數(shù)據(jù)，可以根據(jù)其所要求的目的決定用哪一類型的因子分析。（一）模型主要

2、模型形式：X!a11F1a12F2a1mFm1/d棄qzp才X2a21F1a22F2a2mFm2（1）展開式XPa p1F1a22F2a Fpm mp（2）矩陣型式Xia11a12a1mF11Xa21a22a2mF22Xpa pia p2a pmFmp簡記為：XA F+(p1)(p m)( m1)( p1)且滿足：1) m p2) Cov(F,)=0103) D(F)=OIm即RL Fm不相關(guān)且方差=1.0 1卑微如身耳、粵期以棉共享知識分享快樂（二）相關(guān)概念解釋1、因子載荷aj稱為因子載荷（實際上是權(quán)數(shù)）。因子載荷的統(tǒng)計意義：就是第i個變量與第j個公共因子的相關(guān)系數(shù)，即表示變 量xi依賴于F

3、j的份量（比重），心理學(xué)家將它稱為載荷。2、變量共同度變量人的共同度一一因子載荷陣A中第行元素的平方和，m即：h2a2 i 1,L ,pj i為了說明他的統(tǒng)計意義，將下式兩邊求方差，即Xi QiF+a2F2 + L +aimFm+ iVar （X）二a：Var （F） +L +aimVar （FJ +Var（）_ 2 2 . 22- ai1 ai2 L aimih2 i2ii由于Xi已經(jīng)標準化了，所以有：i h223、方差貢獻率方差貢獻率指的是公因子對于自變量的每一分量所提供的方差總和，它是衡量公因子相對重要程度的指標。通常情況下，我們將因子載荷矩陣的所有方差貢 獻率計算出來并按照大小排序，從

4、而提煉出最具影響力的因子。二、主要計算方法及步驟（一）方法說明1、因子載荷矩陣估計方法因子載荷的求解方法主要有主成分法， 主軸因子旋轉(zhuǎn)法和極大似然法。主成 分法指在進行因子分析之前先對數(shù)據(jù)進行主成分分析，把前幾個主成分作為未旋 轉(zhuǎn)的公因子，但是此種方法得到的特殊因子間并不相互獨立，當變量的共同度較大時，特殊因子所起的作用較小，它們之間的相關(guān)性可以忽略。卑微如噸堅卿以大象共享知識分享快樂主軸因子法與主成分分析方法類似， 都是都分析矩陣的結(jié)構(gòu)入手，主軸因子 法的不同之處在于，其假定m個公因子只能解釋原始變量的部分方差， 利用變量 共同度來代替相關(guān)矩陣中對角元素1，并以新矩陣為出發(fā)點求解特征值和特征

5、向 量。極大似然估計法假定公因子與特殊因子服從正態(tài)分布，通過構(gòu)造似然函數(shù)求 因子載荷和特殊因子方差的極大似然估計。2、因子旋轉(zhuǎn)因子分析的目的不僅是找出主因子， 更重要的是知道每個主因子的意義。 主 因子的意義是根據(jù)主因子與可觀測變量 Xi的關(guān)系來確定的。因此希望主因子Fj 對Xi （i=1,2,p ）的載荷平方,有的值很大,有的值很小,（向0,1兩極分化）， 因子載荷矩陣的這種特征稱“因子簡單結(jié)構(gòu)”。但是用上述方法所求出的主因子解，初始因子載荷矩陣并不滿足“簡單結(jié)構(gòu) 準則”，各因子的典型代表變量不很突出，因而容易使因子的意義含糊不清，不 便于對因子進行解釋。為此須對因子載荷矩陣施行旋轉(zhuǎn)，因子軸

6、方差最大正交旋 轉(zhuǎn)的目的即使因子載荷矩陣成為“簡單結(jié)構(gòu)”的因子載荷矩陣。使得因子載荷的 平方按列向0和1兩極轉(zhuǎn)化，較大的載荷值只集中在少數(shù) X變量上,達到其結(jié)構(gòu) 簡化的目的。易于因子命名。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，主因子對Xi的方差貢獻（變量共同度）并不改變，但各主因 子的方差貢獻可能有較大的改變， 即不再與原來相同，因此，可以通過適當?shù)男?轉(zhuǎn)求得令人滿意的主因子。為了對公因子F能夠更好的解釋，可通過因子旋轉(zhuǎn)的方法得到一個好解釋的 公因子。所謂對公因子更好解釋，就是使每個變量僅在一個公因子上有較大的載荷， 而在其余的公因子上的載荷比較小。這種變換因子載荷的方法稱為因子軸的旋 轉(zhuǎn)。因子旋轉(zhuǎn)的方法很多，常用的為

7、方差最大正交旋轉(zhuǎn)。3、因子得分在分析中，人們往往更愿意用公共因子反映原始變量，這樣更有利于描述 研究對象的特征。因而往往將公共因子表示為變量（或樣品）的線性組合，即：f 111 X112 X 2L1pXp稱上式為因子得分函數(shù)，2用它可計算每個樣品的公因子得分。 L法很多。fxmm 1 八 1（二）計算步驟估計因子得分的方m 2 X2 Lxmp p1、數(shù)據(jù)標準化2、建立相關(guān)系數(shù)矩陣3、求解特征根及相應(yīng)特征向量4、因子旋轉(zhuǎn)5、計算因子得分三、實證分析（一）、背景介紹隨著市場競爭的日益激烈，公司在人才選擇方面更加注重人才的綜合素質(zhì)， 并結(jié)合職位特定選擇專門人才。在本文中選取一家集生產(chǎn)與銷售于一體的大

8、公司 在人才招聘中數(shù)據(jù)，從綜合素質(zhì)以及招聘職位來選擇優(yōu)秀的員工?！叭A威”公司是一家集生產(chǎn)、銷售為一體的大型國際著名公司?，F(xiàn)公司計劃 錄用6名的員工。經(jīng)過初選，公司對48位應(yīng)聘者進行面試，面試共有15項指標, 這15項指標分別是：求職信的形式（FL）、外貌（APP）、專業(yè)能力（AA）、討人喜歡 （LA）、自信心（SC）、洞察力（LC）、誠實（HON）、推銷能力（SMS）經(jīng)驗（EXP）、駕 駛水平（DRV）、事業(yè)心（AMB）理解能力（GSP）、潛在能力（POT）、交際能力（KJ） 和適應(yīng)性（SUIT）。每項指標的分數(shù)是從0分到10分，0分最低，10分最高。每 位求職者的15項指標的得分在文件（應(yīng)聘

9、者得分記錄.xls ）中。試從綜合素質(zhì) 選出6名優(yōu)秀員工，若將這6名員工分別分配到管理、銷售和生產(chǎn)部門各 2 名, 指出合理的分配方案。（二八分析過程詳解1、數(shù)據(jù)標準化由于數(shù)據(jù)均為在面試中的打分成績，量綱相同，并且觀察數(shù)據(jù)的分布，并無 異常值的出現(xiàn)，因此數(shù)據(jù)沒有必要進行標準化，可以直接進行分析。2、建立相關(guān)系數(shù)矩陣利用SPSS軟件，correlate功能計算相關(guān)系數(shù)矩陣，計算皮爾森相關(guān)系數(shù)并 進行卡方雙尾檢驗，可以看出變量間存在這很大的相關(guān)性。外EE信自4sHcl62鯛m器r-外0.14 d2.10.-引0.830.-III-0.心 信 自09 .43Q00 o30.1A力 察 同 .JU.3

10、2d37Ci!;=;480.80.-IX530.560.410630.1270,49 a05o63o80 a20o24 a-55d41a274 Ji 0.020.15 n-0.153 .340.190.930.To0.p0.823.80.340.iA業(yè) 爭82o55 o041o3o8 oo 29e(3.o2 cSTOQ340.51 a200o50.72a8 s0.&311780.300.17o7eoJlx力 在 f3TIX51 a920.6161 an-42:1750.530.79 ooS80.47 .82a23-0960.48a35o450.560.-20,61Q55o55 Q.540.-性

11、應(yīng)適g50.83G41 o330.52Q42o000.560.960.o43 o530.570.40-M進行相關(guān)系數(shù)矩陣檢驗一一KMOffl度和巴特利特球體檢驗：KMOS: 0.9以上非常好；0.8以上好；0.7 般；0.6差；0.5很差；0.5以F不能接受。巴特利特球體檢驗原假設(shè) H0:相關(guān)矩陣為單位陣KMO and Bartle tts Te stKaiser-Meyer-Olk in Measure of Sampli ng Adequacy.784Bartletts Test ofApprox. Chi-Square645.317Sphericitydf105Sig.000通過觀察上面

12、的計算結(jié)果，可以知道，KMOfi為0.784，在較好的范圍內(nèi)；而 巴特利球體檢驗的sig值為0.00,拒絕原假設(shè)，說明相關(guān)矩陣并非單位矩陣， 變量的相關(guān)系數(shù)較為顯著。3、求解特征根及相應(yīng)特征向量Spss 選項:An alyze Data Reduct ion Factor用Extraction ，選擇提取共因子的方法（如果是主成分分析，則選Principal Components ），卑微如珞蚊、堅弓剔以大彖共享知識分享快樂用Rotation，選擇因子旋轉(zhuǎn)方法（如果是主成分分析就選Non ,用Scores計算因子得分，再選擇 Save as variables（因子得分就會作為變量存在數(shù)據(jù)中的

13、附加列上）和計算因子得分的方法（比如Regression ）；要想輸出 Component Score Coefficient Matrix 表，就要 選擇 Display factor score coefficient matrix；輸出結(jié)果如下：碎石圖：Scree PlotepavnegE86 _4 一2123456789101112131415Component Nu mber0 一通過此圖可以明顯看出前五個因子可以解釋大部分的方差，至鄧六個因子以后，線逐漸平緩，解釋能力不強。因此我們提取5個公因子。方差貢獻率Initial EigenvaluesExtractiori Sums of

14、 Squared Loadings ComponentTotal% of Vari an coCumulative %Total% of VarianceCumulative %17.51450 0925D.0927,614500925009222.0561370863.6012.05613.70063.30131 4569.70573.5061.4569.70573.506d1.1987.98681.4921.1987.98E81.425.73S4.92S0E,42O.73G49263S.4206.4953.297B9.711?.3512.34292.O5S8.3102.06694.125g

15、.257171395.83810.1851.23397X7111.1531.01S98X8812096.6509873913.09999.33114.055.43199.7&215.03623S100.000選擇5個公因子，從方差貢獻率可以看出,其中第一個公因子解釋了總體方差的50.092%,四個公因子的累計方差貢獻率為86.42%,可以較好的解釋總體方差Extraction Method: Principal Component Analysis.因子載荷矩陣Com ponent Matrix aComp onent12345求職信形式.445.615.381-.103.098外貌.584-

16、.051-.028.287.748專業(yè)能力.110.340-.519.696-.183討人喜歡能力.617-.186.562.378-.111自信心.796-.357-.291-.189.004洞察力.863-.188-.181-.078-.178誠實.433-.581.343.456-.055推銷能力.889-.042-.224-.217.032經(jīng)驗.367.793.100.074-.089駕駛水平.864.066-.096-.171-.173事業(yè)心.872-.098-.252-.218.140理解能力.909-.033-.141.082-.071潛在能力.914.032-.088.206-

17、.109交際能力.711-.118.564-.220-.096適應(yīng)性.647.603.108-.022.070a. 5 comp onents extracted.卑微如珞蚊、粵郢以大彖共享知識分享快樂通過因子載荷矩陣可以看出因子的意義并不是十分明確，為了對因子進行解釋與說明，進行因子旋轉(zhuǎn)，選取方差最大因子旋轉(zhuǎn)方法，并保留因子得分。4、因子旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣:Rotate d Comp one nt Matrix3Comp onent12345求職信形式.107.830.097-.147.101外貌.325.149.216.057.899專業(yè)能力.065.120-.013.946.038

18、討人喜歡能力.230.240.875-.042.092自信心.907-.110.142-.068.150洞察力.877.092.267.041.005誠實.217-.247.848.022.161推銷能力.897.220.078-.050.168經(jīng)驗.097.849-.046.231-.039駕駛水平.817.346.175-.012-.032事業(yè)心.891.157.053-.074.270理解能力.808.249.313.157.145潛在能力.747.320.398.247.135交際能力.460.362.565-.481-.031適應(yīng)性.370.795.051.071.152a. Rot

19、ati on con verged in 5 iterati ons.通過上表中旋轉(zhuǎn)的結(jié)果，我們可以看出第一個公因子在自信心， 洞察力，推 銷能力，駕駛水平，事業(yè)心，理解能力，潛在能力上有較大的載荷，可以將其命 名為基本素質(zhì)；第二個因子在求職信形式，經(jīng)驗，適應(yīng)性上有較大的載荷，可以 理解為工作經(jīng)驗素質(zhì)；第三個因子在討人喜歡能力，誠實，交際能力上有較大的 載荷，可以命名為外在能力；第四個因子在專業(yè)能力上載荷較大，但在交際能力 上的載荷為負相關(guān)，也從側(cè)面反映了專業(yè)能力較強的人在交際上有一定的欠缺， 這和目前一部分高校畢業(yè)生書本專業(yè)知識較強， 但日常待人接物能力較差的現(xiàn)象 相吻合，將其命名為專業(yè)素質(zhì)

20、；第五個因子僅在外貌上有較大的載荷， 可以將其 命名為外表。最后，通過上面的因子選注我們的評價指標可以通過五個主要的因子來表 示，分別為基本素質(zhì)，工作經(jīng)驗素質(zhì)，外在能力，專業(yè)素質(zhì)和外表。接下來計算 各因子得分，并按照要求篩選優(yōu)秀的應(yīng)試者。5、計算因子得分Com ponent Score Coe fficie nt M atrixComp onent12345求職信形式-.112.375.002-.162.085外貌-.128-.006-.052-.0411.033專業(yè)能力-.005-.004.073.737-.071討人喜歡能力-.140.070.506.037-.062自信心.249-.17

21、3-.107-.055.007洞察力.216-.078.012.051-.209誠實-.089-.160.494.102.039推銷能力.211-.019-.151-.066.029經(jīng)驗-.066.371-.028.137-.112駕駛水平.188.052-.040-.009-.232事業(yè)心.202-.049-.184-.096.168理解能力.138-.007.044.124-.043潛在能力.095.028.121.202-.069交際能力.001.127.231-.339-.169適應(yīng)性-.025.311-.061.001.082各因子得分的計算公式為：fl0.112*求職信形式 0.1

22、28*外貌0.005*專業(yè)能力 0.14*討人喜歡能力0.249*自信心 0.216洞察力0.025*適應(yīng)性f5 0.085*求職信形式1.033*外貌 0.071*專業(yè)能力0.062*討人喜歡能力0.007*自信心 0.209洞察力0.082*適應(yīng)性分別計算各應(yīng)試者的五個因子得分，按照相對方差貢獻率進行加權(quán)，得到最終各應(yīng)試者的綜合評價綜合得分：編號綜合得分編號綜合得分編號綜合得分10.9925170.236933-0.063420.9315180.148034-0.510730.7912190.237835-0.471840.6150200.207336-0.397950.696821-0.

23、071137-0.125560.7259220.870438-0.278570.6070230.099339-0.547680.6007240.032540-0.6171卑微如峻蚊、堅弓剔以大彖共享知識分享快樂90.429925-0.285141-0.9400101.0461260.229642-0.7864110.430927-0.327543-1.1902120.362328-0.076344-1.0797130.5168290.211245-0.9281140.842430-0.303246-0.9682150.340331-0.068547-0.9455160.211732-0.378

24、948-1.0527將綜合得分進行排序，前六名為我們重點考慮的對象，編號分別為：10,1,2, 22, 14, 3。我們重點分析這六個人的各方面得分，從而指定較為合理的部門 分配。編號基本素質(zhì)工作經(jīng)驗素質(zhì)外在能力專業(yè)素質(zhì)外表綜合得分102.04521-0.50527-1.611841.493955-0.284521.04613911.1476231.5521981.0407290.4904-1.421990.99254221.0096941.5858421.1658840.556039-1.53665 10.931513 1221.960285-0.54789-2.703561.486739-

25、0.222070.870439141.629787-0.83238-0.908291.651657-0.365390.8424330.8334521.4421630.1683010.4294080.363725 10.791189 161.1213590.4013010.698105-0.61087-0.170640.725859通過對排在前六名的應(yīng)試者各因子得分分析可知：10號和22號在基本素質(zhì) 包括自信心，洞察力，推銷能力，駕駛水平，事業(yè)心，理解能力，潛在能力上的 得分最高，這也是他最大的優(yōu)勢所在，在專業(yè)素質(zhì)上的得分也很高，說明此人專 業(yè)水平和好，但是在外在能力也就是交際能力，討人喜歡能力以及第五因子外表 上得分均為負值，說明此人的外在條件并不是很好；另外此人的工作經(jīng)驗素質(zhì)的 得分也為負值，其中包括求職信形式，經(jīng)驗，適應(yīng)性等，說明欠缺