彈性力學(xué)試題及標(biāo)準(zhǔn)答案

1、彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題及其答案一、填空題1、 彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。_2、在彈性力學(xué)中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長時為正，縮短時為負(fù)，與正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)。3、在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時為正，變大時為負(fù)，與切應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)。4、物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力，它的集度稱為應(yīng)力。與物體的形變和材料強度直接有關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量,也就是正應(yīng)力和切應(yīng)力。應(yīng)力及其分量的量綱是 L-1 MT -2。5、彈性力學(xué)的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性 6、平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)

2、變問題。7、 已知一點處的應(yīng)力分量x 100 MPa， y 50 MPa， xy 10 50 MPa，則主應(yīng)力i 150MPa，2 QMPa，135 16。&已知一點處的應(yīng)力分量， X 200 MPa， y 0MPa， xy 400 MPa，則主應(yīng)力 1 512 MPa，2MPa，1-37 57。9、 已知一點處的應(yīng)力分量，x 2000 MPa, y 1000 MPa, xy 400 MPa，則主應(yīng)力 1 1052MPa,2-2052 MPa ,1-82 32。10、在彈性力學(xué)里分析問題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。11、表示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡

3、微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界 條件和混合邊界條件。13、按應(yīng)力求解平面問題時常采用逆解法和半逆解法。14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)，然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法講行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。15、 每個單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是由于其 他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、每個單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點不相同的，即所謂變量應(yīng)變；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，是各點相同的，即所謂常量應(yīng)變。17、為了能從有

4、限單元法得岀正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變，還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。18、為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)， 就不僅要使它們在公共結(jié)點處具有相同的位移時，也能在整個公共邊界上具有相同的位移。19、 在有限單元法中，單元的形函數(shù)Ni在i結(jié)點Ni=1;在其他結(jié)點 Ni=0及刀Ni=1。20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小，以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況；二是采用包含更高次項的位移模式，使位移和應(yīng)力的精度提高。、判斷題（請在正確命題后的括號內(nèi)打“V”，

5、在錯誤命題后的括號內(nèi)打“X1、連續(xù)性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。（V）5、如果某一問題中，z zx zy 0 ,只存在平面應(yīng)力分量x , y , xy，且它們不沿Z方向變化，僅為x, y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)力問題。（V）6、如果某一問題中,z zx zy 0，只存在平面應(yīng)變分量x , y , xy，且它們不沿z方向變化,僅為x, y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)變問題。（V）9、當(dāng)物體的形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。（V）10、當(dāng)物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。（V）14、在有限單元法中，結(jié)點力是指結(jié)點對單元的作用力。（V）15、在

6、平面三結(jié)點三角形單元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變。（V ）三、分析計算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應(yīng)力分量存在的必要條件， 可能在彈性體中存在。（1）xAx By , y Cx Dy , xyEx Fy ；（2）xA（x2 y2）, y B（x2y2）, xy Cxy ；其中，A, B, C, D, E, F為常數(shù)。并考慮下列平面問題的應(yīng)力分量是否解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件:2 2（2 ）在區(qū)域內(nèi)的相容方程 一2 2xx yxyx0X（1）在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程y;yxy0yxy 0 ；（ 3 ）在邊界上的應(yīng)力邊界條件yx sxy s2、已知應(yīng)力分量xQxy2 Gx3

7、,y |C2xy2, xy C2y3 C3x2y，體力不計，Q 為常數(shù)。f x s-；（4 ）對于多連體的位移單值條件。f y s試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù)C1, C2, C3。解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程yx xyX2 2 2 2Qy 3Gx 3C2 y C3x 03C2xy 2C3xy 02 23Ci C3X Q 3C2 y 03C2 2C3 xy 0由x, y的任意性，得3C1 C3 0Q 3C2 03C2 2C3 0由此解得，C1詈,C2 f, C3 f3、已知應(yīng)力分量y q , xy 0，判斷該應(yīng)力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應(yīng)力分量x q，yq ，xy 0，代

8、入平衡微分方程xyxX 0xyyY 0yx可知，已知應(yīng)力分量x q，yq，xy0一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計時才滿足。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題的相容方程:將已知應(yīng)力分量x)2(1xyx yy q， xy 0代入上式，可知滿足相容方程。按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題的相容方程:將已知應(yīng)力分量2 2/(x 廠 y) 7( y 1x)22 xy1 x yq， xy 0代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在。（1）x Axy，y By3，xy C Dy2 ；（2）x Ay2，y Bx2y，xy Cxy ；（3）x 0，y0，x

9、yCxy ；其中，A， B， C，D為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即2 2 2xyxy22y x x y將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知：（1）相容。（2） 2A 2By C （ 1分）；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：B=0，2A=C。(3) 0=C；5、證明應(yīng)力函數(shù)這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：C=0，則x 0， y 0， xy 0（ 1分）。by2能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計,b 0 )。解：將應(yīng)力函數(shù)by2代入相容方程cijh/2xIh/2“ 1/21/2 .!x4可知，所給應(yīng)力函數(shù)by2能滿足相容方程。由于

10、不計體力，對應(yīng)的應(yīng)力分量為xy20x y22b， y對于圖示的矩形板和坐標(biāo)系, 力分別為：當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四個邊上的面h上邊,y 2，1 0，m 1，fx ( xy)y 2 0，fy( y)y 號 0 ；下邊,h，l 0， m 1， fx (2xy) h 0， f y ( y 2左邊,x) l 2b，x 一2(xy)X右邊,x)X2b,fy (xy )x可見,上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應(yīng)力函數(shù)2by能解決矩形板在x方向受均布拉力（b0）和均布壓力（b0）的問題。6、證明應(yīng)力函數(shù) （體力不計，axy能滿足相容方程，并考察在如圖

11、所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題 a 0 ）。rh/21 rh/2.l/2 1l/2r1axy代入相容方程444解：將應(yīng)力函數(shù)可知，所給應(yīng)力函數(shù)axy能滿足相容方程。由于不計體力，對應(yīng)的應(yīng)力分量為xy對于圖示的矩形板和坐標(biāo)系, 力分別為：當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四個邊上的面上邊,1，fxxy)下邊,h-，l0，m1，fx(xy)y(y)左邊,(x)xy) l a ；x 一1 右邊，X , I 1，m 0， fx ( X)l 0， fy ( xy) l2 xx -2 2可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a,而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力a。因此，應(yīng)力函

12、數(shù)axy能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。O由此可知gbX解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓,將上式對y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達式x,yfi(x)y f2(x)將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得44d h(x) d f2(x) y 一 dxdx40這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解（全柱內(nèi)的 和自由項都應(yīng)該等于零，即y值都應(yīng)該滿足它），即設(shè)x 0?？梢娝南禂?shù)d4h(x) 0dx4，d4 f2(x)dx40這兩個方程要求32f1 (x) Ax Bx Cx I ，32f2(x)

13、 Dx Ex Jx K代入應(yīng)力函數(shù)表達式，并略去對應(yīng)力分量無影響的一次項和常數(shù)項后，便得y(Ax3 Bx2 Cx) Dx3 Ex2對應(yīng)應(yīng)力分量為x2y(6Ax 2B) 6Dx 2E gy以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，x 0， I 1， m 0，22xy 3 Ax 2Bx Cx y沿y方向無面力，所以有(xy )x 0 C 0右邊，x b， l 1， m 0,沿y方向的面力為q,所以有(xy)x b 3Ab2 2Bb q上邊，y 0,10, m 1，沒有水平面力，這就要求xy在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即b0 （ xy ） y 0 dx 0將xy的表達式代入，并考慮到 C=0，

14、則有：（3Ax2 2Bx）dx Ax3 Bx2 0Ab3 Bb2 0b而0（ xy）y 0 0dx 0自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求y在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即bb0（ y）y 0dx 0，0（ y）y 0xdx 0將y的表達式代入，則有b2b2o（6Dx 2E）dx 3Dx 2Ex 0 3Db 2Eb 0b32b32o（6Dx 2E）xdx 2Dx Ex 0 2Db Eb 0由此可得A 耳，B q，C 0，D 0，E 0b2b應(yīng)力分量為x o, y 2q-y 1 3土gy, xy 注 2b bb b雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但

15、按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為Vfxx，其中v是勢函數(shù),則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示為,2xy，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。x yx， y， xy應(yīng)當(dāng)滿足平證明：在體力為有勢力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時，應(yīng)力分量衡微分方程xxyy還應(yīng)滿足相容方程22xyxy2 222yxV0yx（1分）xyV0xyfxfy1-（對于平面應(yīng)力冋題）xyfxfyxy（對于平面應(yīng)變問題）并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（1分）。對于多連體，有時還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為xVyx0xyyVxy0yx

16、這是一個齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第-個方程改寫為yx根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A （x, y）,使得同樣，將第二個方程改寫為可見也一定存在某一函數(shù)B（ x，由此得x VAyyxAxy Vyx（1 分）yxy）,使得BBy VyxxyABxy因而又一定存在某一函數(shù)x,y，使得A，By代入以上各式，得應(yīng)力分量xyx y為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程,應(yīng)力函數(shù)x,y必須滿足一定的方程，將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問題的相容方程，得簡寫為x22-7 Vxx2(12v將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問題的相容方程，簡寫為x2x2x22V9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，試用純?nèi)蔚?/p>

17、應(yīng)力函數(shù)求解。而梁的密度為gy解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為相應(yīng)的應(yīng)力分量表達式為2-一t xfx 2cx 6dy,y3 axbx2 y cxy2 dy3222yfy 6ax 2by gy ,xy2bx 2cyxx y這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個系數(shù)，是否能滿足應(yīng)力邊界條件。上邊，y 0,10, m 1,沒有水平面力，所以有對上端面的任意 x值都應(yīng)成立，可見同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有對上端面的任意 x值都應(yīng)成立，可見因此，應(yīng)力分量可以簡化為x 2cx(xy)y 0 2bx 0(y)y 0 6ax6dy， ygyxy2cy斜面，yxtan ， I co

18、ssinm coscos ，沒有面力，所以有由第一個方程,2cx 6dxtansin對斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求由第二個方程,2cxtan sin對斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求由此解得從而應(yīng)力分量為x gxcot設(shè)三角形懸臂梁的長為I，高為向的分量為0，沿y方向的分量為應(yīng)當(dāng)合成為反力2gih。x X|dyyxxyy xtany xtan2cxtan cos4cxsin6dxtan sin 04c 6dtan 0gxtan2cta ngcotcos 2cxtan singxs in0(12 gycot2h，則 tangl cot分）， d分）i-gcotgy， xygycot-。根據(jù)力

19、的平衡,I因此，所求gycot2 dy固定端對梁的約束反力沿x在這部分邊界上合成的主矢應(yīng)為零,glhcot2 2gh cot 0h0 xyhxpy0gycot dygh2cot可見，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件。x方xy，下端作為無限長，承受重力及液體壓10、設(shè)有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角力，楔形體的密度為1，液體的密度為2，試求應(yīng)力分量。X解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如圖所示。在楔形體的任意一點，每一個應(yīng)力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應(yīng)當(dāng)與1 g成正比（g是重力加速度）；另一部分由液體壓力引起，應(yīng)當(dāng)與2g成正比。此

20、外，每一部分還與，x，y有關(guān)。由于應(yīng)力的量綱是 l-1mt-2,1g和 2g的量綱是 l-2mt-2，是量綱 一的量，而x和y的量綱是L,因此，如果應(yīng)力分量具有多項式的解答， 那么它們的表達式只可能是 A 1gX，B 1gy，C 2gx，D 2gy四項的組合，而其中的A，B, C，D是量綱一的量，只與有關(guān)。這就是說，各應(yīng)力分量的表達式只可能是x和y的純一次式。其次，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長度量綱高二次，應(yīng)該是 x和y純?nèi)问?，因此，假設(shè)3 axbx2 y cxy2 dy3相應(yīng)的應(yīng)力分量表達式為222x2 xfx 2cx 6dy,y2yfy 6ax 2byQy, xy2bx 2cyyxx y這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個系數(shù)，是否能滿足應(yīng)力邊界條件。左面，x 0， l 1， m 0，作用有水平面力2gy，所以有（x）x 0 6dy 2gy對左面的任意y值都應(yīng)成立，可