全概率公式在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用

1、 概率統(tǒng)計模型前面幾章討論的模型中，有關(guān)的量都假定為確定性的，即所研究的問題和與問題有關(guān)的因素都是確定的. 然而實際問題中常有許多不確定的因素起作用，特別是隨機(jī)因素. 下面介紹幾類涉及隨機(jī)變量的模型.8.1 庫存問題一、問題的背景與提出工廠為了穩(wěn)定的生產(chǎn)，需要貯存一定的原料或零部件；商店為了滿足顧客的需要，要有足夠的庫存商品；銀行為了進(jìn)行正常的營業(yè)，需要一定的貨幣進(jìn)行周轉(zhuǎn)；醫(yī)院為了手術(shù)的急需，血庫必備充足血液. 總之庫存問題是普遍存在的. 早在1915年, 哈里斯(Harris)對商業(yè)中的庫存問題建立了一個簡單模型，并求得了最優(yōu)解, 但未被人們注意. 1918年威爾遜(Wilson)重新得出了

2、哈里斯的公式, 并將其發(fā)展. 他們的模型都是確定性的, 二次大戰(zhàn)后, 帶有隨機(jī)性因素的庫存模型得到研究. 目前, 庫存問題的興趣已轉(zhuǎn)到了多物品、多個庫存點的理論.二、模型假設(shè)(1) 只考慮一種物品, 其需求是隨機(jī)的, 需求量x是非負(fù)連續(xù)的隨機(jī)變量，密度函數(shù)為(x), 分布函數(shù)為(x);(2) 只考慮一個庫存周期，即在庫存周期開始時, 做一次決策, 決定進(jìn)貨量;(3) 瞬時供貨;(4) 決策前原有庫存量為I, 進(jìn)貨量為Q, 決策后的庫存量為y=I+Q;(5) 費用包括訂貨費、存貯費和缺貨費. 每次的訂購手續(xù)費為K, 貨物單價為p; 存貯費在周期末結(jié)算, 它與期末的庫存量成正比, 比例系數(shù)為h（單

3、位存貯費）, 缺貨費與缺貨量成正比, 比例系數(shù)為g（單位缺貨損失）;(6) 決策的準(zhǔn)則是期望總費用最小.三、模型的建立與求解庫存問題有補(bǔ)充庫存需求三個環(huán)節(jié). 在這一系統(tǒng)中, 若一次進(jìn)貨量多, 進(jìn)貨的次數(shù)就少, 進(jìn)貨的費用就少, 但庫存量大, 庫存費用就大, 造成需求缺貨就可能少, 缺貨損失就會少; 若一次進(jìn)貨量少, 進(jìn)貨的次數(shù)就多, 進(jìn)貨費用就大, 但庫存量小, 庫存費用就小, 造成需求缺貨就可能多, 缺貨損失就會大. 如何協(xié)調(diào)這些矛盾, 使該系統(tǒng)在某種準(zhǔn)則下運行最佳. 即如何確定進(jìn)貨量, 使其總費用最小.進(jìn)貨費用為 存貯費用為 期望存貯費用為 缺貨損失為 期望缺貨損失為 記 L(y)=Ec2

4、(y x)+Ec3(x y) (1)則總費用為 （2）目的是求 當(dāng)需要進(jìn)貨時有 令 （3）若S是使函數(shù)達(dá)到極小值的點, 則 (4)設(shè)s為庫存量進(jìn)貨點, 即當(dāng)初始庫存I0.204所以S=40, Q=SI=4010=30又因為K+pS+L(S)=60+80040+40(4030)0.2+1015(5040)0.4+(6040)0.2=4026080030+1015(4030)0.2+(5030)0.4+(6030)0.2=40240K+pS+L(S)所以s=30. 故存貯策略為每個階段開始時檢查存貯量I, 當(dāng)I30噸時不必補(bǔ)充存貯; 當(dāng)I30噸時補(bǔ)充存貯量到40噸.例2 某市石油公司希望確定一種油

5、的存貯策略, 以確定應(yīng)貯存的油量. 該油的市場需求服從指數(shù)分布, 其密度函數(shù)為 該種油每近2元, 不需進(jìn)貨費. 由于油庫歸該公司管轄, 油池灌滿與沒灌滿時的管理費用實際上沒有多少差別, 故可以認(rèn)為存貯費用為零. 如缺貨就從鄰市調(diào)用, 缺貨費為3元/斤.解 由模型假設(shè)K=0, h=0, p=2, g=3計算 由 , 有 , 兩端取對數(shù)解出S因 ps+L(s)=2s+ K+pS+L(S)= 由觀察可知, 它有唯一解s=S. 所以當(dāng)庫存下降到斤以下就應(yīng)進(jìn)貨, 使庫存達(dá)到斤. 出現(xiàn)s=S, 是因為進(jìn)貨費為零, 可以頻繁進(jìn)貨, 又存貯費為零, 存貯量多一些也不會增加費用.五、模型討論由(3)可以看出,

6、缺貨費g越大, 概率越大, 庫存水平S應(yīng)越大, 這是符合常識的. 根據(jù)假設(shè)(4), Q=S-s, 由(1), (5)經(jīng)化簡便為 （6）在S確定的情況下(S由(4)可確定), 由(6)可求得Q, 進(jìn)而可求出s. 如 由(4)可解出 由(6)有 簡化后為 它可由數(shù)值方法或圖解法求解, 由上式亦可求得Q的近似解, 當(dāng)Q較小時, 取 展開到二階項, 此時可得到 , 則 8.2 維修問題一、問題的背景與提出現(xiàn)實中許多系統(tǒng)在使用過程中, 往往由于維修性問題考慮不周, 而使維修費用過大. 特別是系統(tǒng)突發(fā)性故障, 常常會造成巨大的損失, 有時會招致災(zāi)難性后果. 因而在故障前進(jìn)行預(yù)防性維修是提高系統(tǒng)可靠性、安全

7、性和經(jīng)濟(jì)性的有效措施. 維修問題最早起因與機(jī)器維修問題, 后發(fā)展為可靠性理論, 是應(yīng)用概率和應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計的一個重要分支.二、模型假設(shè)只考慮一個部件的故障, 部件壽命是隨機(jī)的, 遵從指數(shù)分布 ;部件故障需檢測才會發(fā)現(xiàn), ci為一次檢測費用, 檢測時間忽略不計, 檢測時間間隔為T;若發(fā)現(xiàn)部件故障, 則立即更換, cf為一次更換費用, 更換時間忽略不計. 若發(fā)現(xiàn)部件仍正常, 則讓部件繼續(xù)工作;部件故障沒能及時發(fā)現(xiàn), 造成的單位時間損失為cd;決策準(zhǔn)則是期望費用最小.三、建模與求解因部件故障需檢測才能知道, 所以檢測時間間隔過大, 致使設(shè)備經(jīng)常處于故障狀態(tài), 造成故障損失(停工損失或需要使用時不能及時

8、提供的損失); 檢測時間間隔過小, 造成不必要的過多檢測費用損失. 問題是尋找最優(yōu)的檢測時間間隔T.設(shè)相鄰兩次更換的時間間隔為一個周期. 當(dāng)部件壽命t滿足nTC時，值得咨詢；當(dāng)ERE(As)C時，不值得咨詢.四、模型試驗例4 某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品有三種生產(chǎn)方案A1,A2,A3, 其收益依未來市場而定. 市場對該產(chǎn)品的需求程度是不確定的, 簡單地歸結(jié)為兩種情況, 需求高S1; 需求低S2. 根據(jù)以往的情況估計概率為P(S1)=0.6, P(S2)=0.4, 已知在不同方案下的后果估計列入下表 后果策略 狀 態(tài) S1S2 A1180 000元-150 000元 A2120 000元-50 000元

9、A3100 000元-10 000元 在決策實施以前再進(jìn)行一次新的市場調(diào)查. 調(diào)查結(jié)果可能得到對市場情況樂觀的報告I1或者得到對市場情況悲觀的報告I2. 根據(jù)市場研究小組過去類似的調(diào)查經(jīng)驗，該小組的調(diào)研水平為P(I1|S1)=0.7, P(I2|S2)=0.6. 調(diào)查費用為5000元, 是否值得調(diào)查?解 根據(jù)假設(shè)v11=, v12=-, v21=, v22=-50000, v31=, v32=-10000如果不調(diào)查，三個方案的期望收益為E(A1)=0.6+0.4()=48000E(A2)=0.6+0.4(50000)=52000E(A3)=0.6+0.4(10000)=56000其中方案A3的

10、期望收益最大，決策便是執(zhí)行方案A3. 如果調(diào)查，計算概率有P(I1)=0.58, P(I2)=0.42q11=P(S1|I1)=0.72, q21=P(S2|I1)=0.28, q12=P(S1|I2)=0.43, q22=P(S2|I2)=0.57咨詢結(jié)果為I1時, 最大期望收益為 E(A1|I1)=89000咨詢結(jié)果為I2時, 最大期望收益為 E(A3|I2)=37100咨詢后的期望收益為 =67202因ERE(A3)=6720256000=11202C=5000, 所以值得調(diào)查. 五、模型的分析與討論(1) 靈敏度分析. 在咨詢前, 考察狀態(tài)概率的估計值對最優(yōu)策略的選擇是否靈敏, 即如果

11、概率值輕微的改變就會影響到最優(yōu)策略的選擇, 則咨詢是非常必要的; 相反, 如果概率旨在較大的范圍內(nèi)變化也不會改變原來的決策, 則咨詢應(yīng)停止. 靈敏度分析的步驟是：選擇某狀態(tài)的概率估計作為分析變量；通過計算期望值確定最優(yōu)策略Ai和次最優(yōu)策略Aj;令E(Ai)=E(Aj), 并從中解出分析變量的值；把上一步解出的值與原來的估計值相比較，觀察改變量對決策是否靈敏，并選擇新變量重復(fù)上述過程.以例4為例, 選擇狀態(tài)S1的概率p作為分析變量，由策略對應(yīng)的期望值知，最優(yōu)策略為A3, 次最優(yōu)策略為A2, 令E(A3)=E(A2), 即p+(1p) (10000)=p+(1p) (50000). 解得： , 這

12、說明當(dāng)S1的概率估計值在0.6到0.67之間都不會改變對A3的選擇，狀態(tài)概率的估計對決策較靈敏. 咨詢有必要.(2) 全信息的價值. 假定咨詢可以絕對準(zhǔn)確地預(yù)報未來出現(xiàn)的狀態(tài), 這稱為全信息. 通過全信息下的期望收益與未咨詢時的最大期望收益值差, 可考察在信息方面有多大的潛力可挖. 如例4，P(S1|I1)=1, P(S2|I2)=1. 咨詢后的期望收益為ER=0.6+(-10000) 0.4=, ERE(A3)=56000=48000. 這是全信息的價值，是咨詢費用的上界.8.4 對策問題一、問題的背景與提出在現(xiàn)實世界中，我們經(jīng)常見到帶有競爭或?qū)剐再|(zhì)的現(xiàn)象. 像體育比賽、市場競爭、軍事斗爭

13、、政治談判等，這類現(xiàn)象的共同特點是參加的往往是利益相沖突的雙方或幾方，為了達(dá)到各自的目標(biāo)和利益，各方必須考慮對手的各種可能的策略，并力圖選取對自己最有力或最為合理的策略. 對抗的結(jié)果并不只取決于某一方所選取得策略, 而是與各方所選取得策略有關(guān). 這類帶有對抗性質(zhì)的現(xiàn)象, 稱為對策現(xiàn)象. 用數(shù)學(xué)方法來研究對策現(xiàn)象, 就是研究在對策現(xiàn)象中, 對抗各方是否存在著最合理的策略, 以及如何找到這個合理的策略.二、模型的假設(shè)(1)由兩個對策參與者, 即局中人, 局中人集合為I=1,2;(2)局中人1, 2的策略集合分別為S1=1, 2, m,S2=1, 2, n;(3)局中人1的贏得函數(shù)為aij=H(i,

14、 j), 局中人2的贏得函數(shù)為aij, 即局中人1贏得aij, 局中人2就失去aij;(4)局中人1, 2是理智的.三、建模與求解由假設(shè)(3)有局中人1的贏得矩陣為A=(aij)mn.我們的問題是考慮，在這個對策現(xiàn)象中，是否存在一個局勢(, ), S1, S2, 使得局中人1采取策略是最合理的，居中人2采取策略是最合理的. 如果存在我們稱該局勢為平衡局勢. 考慮到對策雙方的行為是理智的, 誰也不會去冒險, 必然采取最穩(wěn)妥的策略. 最穩(wěn)妥的策略是指: 局中人采取各種策略時, 最不利的情況是什么, 而從這些最不利的情況中選擇最有利的一種. 即對局中人1來講最穩(wěn)妥是考慮 所對應(yīng)的策略，同樣對局中人2

15、來講最穩(wěn)妥是考慮 所對應(yīng)的策略. 由此, 當(dāng) = = 時，平衡局勢 存在，否則平衡局勢不存在. 當(dāng)平衡局勢不存在時, 雙方都不能連續(xù)不變的使用某中策略. 因一方連續(xù)的使用某種策略而獲利時, 另一方必察覺, 從而改換其策略以對付. 所以雙方必須考慮如何隨機(jī)地使用自己的策略, 從而使對方難以捉摸.設(shè)X=(x1,x2,xm)是局中人1在策略集合S1=1, 2, m上的一個概率分布，即局中人1采取策略i概率為xi, , 稱為局中人1的一個混合策略. Y=(y1,y2,yn)是局中人2在策略集合S2=1, 2, n上的一個概率分布，即局中人2采取策略j概率為yj, , 稱為局中人2的一個混合策略.由于局

16、中人1,2采取策略是相互獨立的, 所以局中人1贏得aij的概率為xiyj, 局中人1的期望贏得為 此時局中人2的期望贏得為E(X,Y).類似于前面的討論，對局中人1來講希望達(dá)到 ，對于局中人2來講希望達(dá)到 ，則當(dāng) = 時，是雙方最好的選擇.根據(jù)對策論的結(jié)論, = = 成立的充要條件是, 存在數(shù)v, 使得X*,Y*分別是不等式組 （1）和不等式組 （2）的解，且v=E(X*,Y*).如果局中人1的贏得矩陣A=(aij)的每一個數(shù)都加上一個常數(shù)k以后，贏得矩陣就變?yōu)?aij+k). 由上面（1），（2）兩式，顯然兩個局中人的最優(yōu)策略不會改變，只是值由v變成v+k. 所以我們不妨設(shè)aij0, (I=

17、1,2,m, j=1,2,n), v0. 這樣不等式（1），（2）就可改寫成 （3）將不等式組（3）變成一組對偶線性規(guī)劃問題：找 滿足 （4）找 滿足 （5）由（4），（5）即可找到局中人1,2的最好選擇X*,Y*.四、模型試驗例5 某公司計劃將30萬元投資與三種不同的行業(yè)A1、A2、A3. 一年后所得利潤(單位:萬元)將隨該年內(nèi)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展而定, 對不同的經(jīng)濟(jì)狀況, 這筆投資可能獲得的利潤預(yù)測如下: 狀態(tài)利潤行業(yè) 經(jīng)濟(jì)展望 不良一般良好 A1202 A2031 A3121 試問該公司應(yīng)如何決定其投資方案.解 我們將投資公司看作局中人1, 三種行業(yè)A1、A2、A3看作三個策略1、 2、3, 將經(jīng)

18、濟(jì)展望的不同狀態(tài)看作局中人2的三個策略1、 2、3. 就可將此問題看作一個對策問題.根據(jù)上面的討論, 我們只需解線性規(guī)劃 用線性規(guī)劃方法可解的 所以局中人1的最優(yōu)策略為 , 局中人2的最優(yōu)策略為 , 矩陣對策的值為 .由此可知，在不能肯定下一年的經(jīng)濟(jì)狀況的條件下，該公司的最合理的投資方案為：向A1投資 （萬元），向A3投資 （萬元），不向A2投資. 該公司至少可獲得利潤 (萬元).五、模型的分析與討論當(dāng)矩陣對策的贏得矩陣階數(shù)較高時, 解(4)、（5）線性規(guī)劃的計算量是較大的. 考慮到頻率是概率的近似, 局中人1的一個混合策略X=(x1,x2,xm)，可設(shè)想成當(dāng)兩個局中人多次重復(fù)進(jìn)行對策時，局中

19、人1分別采取策略1, 2, m的頻率. 同樣, Y=(y1,y2,yn) 可設(shè)想成局中人2分別采取策略1, 2, n的頻率. 于是, 求解矩陣對策可以用一種近似的方法迭代法. 其基本思想是: 假設(shè)兩個局中人反復(fù)進(jìn)行對策多次, 在每一局中各局中人都從的策略即中選取一個使對方獲得最不利結(jié)果的策略, 即第k局對策策略的選取欲使對手在前k-1局中的累計所得（或累計所失）最少（或最多）. 具體做法是: 在第1局種, 從兩個局中人中任選一人, 例如局中人1, 讓他先采取任意一個策略, 例如 . 然后局中人2隨之采取策略 使采取了 的局中人1的所得為最少. 在第2局種, 局中人1認(rèn)為局中人2還將采取 ,故采

20、取某一策略 使局中人2所失為最多, 然后局中人2有采取某一策略, 使局中人1在前兩局中的累計贏得為最少. 在第3局種, 局中人1又采取某一策略使局中人2在前兩局中的累計所失為最多, 然后局中人2又采取某一策略使局中人1在前兩局中的累計所得為最少. 以后各局均照此方式對策下去, 直到迭代的結(jié)果達(dá)到一定的滿意程度為止. 當(dāng)?shù)Y(jié)束時, 我們就用局中人各策略在已進(jìn)行的N局對策(N步迭代)中出現(xiàn)的頻率分布作為最優(yōu)混合策略中概率分布的一個近似.設(shè) , , 其中 (i=1,2,m), (j=1,2,n)分別表示局中人1,2在第k局對策中取策略 , 的次數(shù). , 分別為X*,Y*的近似值. 算法如下:(1)

21、. 給定N, k:=1, 任取 .(2). 求 得 .(3). 一般地，設(shè)已求得 如果 ，則令 如果 ，則令 ， (4). 如果k=N, 計算結(jié)束. 如果k 時, 則以檢驗水平推斷該因素影響顯著; 否則認(rèn)為不顯著.以例6為例, 第2列為空列, 因此Se/fe=88.67/2=44.34, 而第1列的S1/f1=4.67/2=2.34比 小，故將此列并入誤差，有 =Se+ S1=88.67+4.67=93.34, = fe+ f1=2+2=4, , , F0.1(2,4)=4.32. 故回火時間C顯著，回火溫度B不顯著.習(xí) 題1某商店要訂購一批商品零售，設(shè)購進(jìn)價為c，售出價p，一次訂購手續(xù)費k，

22、隨機(jī)需求量x的密度函數(shù)為f(x)，每件商品的貯存費h. 問如何確定訂購量才能使商店的平均利潤最大. 這個平均利潤是多少. 為使這個平均利潤為正值, 需要對訂購費k加什么限制?2. 某企業(yè)對于某中材料的月需求量為隨機(jī)變量，具有如下表概率分布： 需求量（噸）5060708090100110120 P(x=k)0.050.100.150.250.200.100.100.05 每次訂貨費為500元，每月每噸保管費50元，每月每噸缺貨費為1500元，每噸材料的購價為1000元. 該企業(yè)應(yīng)如何進(jìn)貨? 實施結(jié)果咨詢意見成功 失敗 可以投資1523 不宜投資387 3. 某人有5萬元資金, 若用于某項投資,

23、估計成功率為0.9, 一年后可獲利20%; 一旦失敗, 則將喪失全部資金. 若把資金存入銀行, 則可穩(wěn)得年利6%. 為獲得更多信息, 可求助于咨詢公司, 咨詢費500元. 據(jù)統(tǒng)計, 咨詢公司過去200次類似咨詢的情況如表所示, 試問此人將如何使用這筆資金. 4. 某公司有一份擁有鉆探某處油井權(quán)力的租約. 該公司可自行鉆井開采. 也可將此租約出售, 從而獲利5萬元. 鉆井的可能結(jié)果如下表所示. 假定有一試驗需花費5千元, 可以確定地下構(gòu)層類型. 局以往統(tǒng)計, 有25口井隨機(jī)擇自此地附近. 其情況如下表所示. 如試驗不加防范, 將有90%的可能會泄密, 出現(xiàn)這種情況此租約就不再能出售; 如嚴(yán)加防范

24、需花費7千元, 能使泄密的可能性降至10%. 時對此做出決策. 可能的結(jié)果概率獲利(萬元)構(gòu)層井類 干井0.16-15干井 4 0 0 氣井0.405氣井 1 9 0 油氣井0.2410油氣井 0 6 0 油井0.2020油井 0 0 5 1 2 3 123 4 -1 5 0 5 3 3 3 7 5. 一工廠, 用三種不同的設(shè)備1, 2, 3加工三種不同的產(chǎn)品1, 2, 3, 已知這三種設(shè)備分別加工三種產(chǎn)品時, 單位時間內(nèi)創(chuàng)造的價值如下表所示. 其中負(fù)值表示設(shè)備消耗大于所創(chuàng)造的價值. 試求一組合理的加工方案. 類型 療效方案 A10.50.50.50.510.1 A210.3000.1 A31

25、0.5001 6. 某種疾病, 知道是由五種不同類型細(xì)菌中的一種所引起的, 但目前尚不能肯定是有哪一種所引起的. 對此醫(yī)生針對五種不同情況, 使用三種治療方案, 其療效如下表所示. 問醫(yī)生應(yīng)采取怎樣的治療方案最有利. 7. 某毛紡廠為了摸索洗呢工藝對織物彈性的影響, 從而找出較優(yōu)洗呢工藝, 進(jìn)行了二水平四因素試驗, 因素間的交互作用均可忽略. 考核指標(biāo)為織物彈性(次數(shù)越多越好), 因素水平如下表. 選用表L8(27), 因素A、B、C、D依次排在第1、2、4、7列上. 8次實驗結(jié)果為:150,135,156,147,130,131,144,131. 使用方差分析法選出較優(yōu)工藝及因素的主次順序(取檢驗水平=0.05) 因素水平A洗呢時間B洗呢溫度C洗滌劑濃度D煮呢槽規(guī)格 1220303050510單槽雙槽 參 考 文 獻(xiàn)1 姜啟源，數(shù)學(xué)模型，高等教育出版社，1993.2 徐光輝等，運籌學(xué)基礎(chǔ)手冊，科學(xué)出版社，1999.3 劉來福，曾文藝,數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模，北京師范大學(xué)出版社，1997.4 雷功炎，數(shù)學(xué)模型講義，北京大學(xué)出版社，1999.5 數(shù)學(xué)建模