多維柯西不等式[稻谷書屋]

1、柯西不等式【柯西不等式的主要內(nèi)容】1. 柯西主要貢獻(xiàn)簡介： 柯西（Cauchy），法國人，生于1789年，是十九世紀(jì)前半葉最杰出的分析家. 他奠定了數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收斂原理、柯西中值定理、柯西積分不等式、柯西判別法、柯西方程等等. 2.二維形式的柯西不等式： 若，則, 當(dāng)且僅當(dāng) 時, 等號成立. 證法10.（綜合法） 當(dāng)且僅當(dāng) 時, 等號成立. 證法20.（構(gòu)造法） 分析： 而的結(jié)構(gòu)特征 那么， 證：設(shè)， 0 恒成立. . 得證. 證法30.（向量法）設(shè)向量， 則，. ，且，有. . 得證. 變式10. 若，則或； 變式20. 若，則 ； 變式30.

2、（三角形不等式）設(shè)為任意實數(shù)，則： 3. 一般形式的柯西不等式：設(shè)為大于1的自然數(shù)，(1,2,)，則： .當(dāng)且僅當(dāng) 時, 等號成立. (若時，約定，1,2,).變式10. 設(shè) 則： .當(dāng)且僅當(dāng) 時, 等號成立. 變式20. 設(shè) 則：. 當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立. 如果一個定理與很多學(xué)科或者一個學(xué)科的很多分支有著密切聯(lián)系，那么這個定理肯定很重要. 而柯西不等式與我們中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)恒等式、復(fù)數(shù)、向量、幾何、三角、函數(shù)等各方面都有聯(lián)系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ 柯西不等式的應(yīng)用：例1. 已知實數(shù)滿足， . 試求的最值 例2 在實數(shù)集內(nèi) 解方程 例3 設(shè)是三角形內(nèi)的一點，是到三邊的距離，是外接

3、圓 的半徑，證明： 例4 (證明恒等式) 已知 求證：。例5 (證明不等式)設(shè) 求證:【同步訓(xùn)練】 1.已知，求證： 2.已知是不全相等的正數(shù)，求證： 3.已知. 4.設(shè) 求證： 5.已知實數(shù)滿足, 求的取值范圍. 6.已知 且 求證： 7.已知正數(shù)滿足 證明 8.若n是不小于2的正整數(shù)，試證：。 參考答案: 一般形式的柯西不等式： 設(shè)為大于1的自然數(shù)，(1,2,)，則：， 其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立(當(dāng)時，約定，1,2,). 等號成立當(dāng)且僅當(dāng) 柯西不等式不僅在高等數(shù)學(xué)中是一個十分重要的 不等式，而且它對初等數(shù)學(xué)也有很可的指導(dǎo)作用，利用它能高遠(yuǎn)矚、居高臨下，從而方便 地解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)問題

4、。例1 解：由柯西不等式得，有 即 由條件可得， 解得，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立， 代入時， 時 例2解：由柯西不等式，得 又. 即不等式中只有等號成立. 從而由柯西不等式中等號成立的條件，得它與聯(lián)立，可得 例3證明：由柯西不等式得，記為的面積，則故不等式成立。例4 證明：由柯西不等式，得 當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取等號， 于是 。 例5 分析：這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證：證明：為了運用柯西不等式，我們將寫成于是 即 故我們進(jìn)一步觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點是：不等式左邊是兩個因式這和，其中每一個因式都是項平方和，右邊是左邊中對立的兩兩乘積之和的平方，證題時，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明。練習(xí) 1證： 2、 3 4、 5 6 7證明：利用柯西不等式 又