數(shù)列綜合問題-精選文檔

1、數(shù)列綜合問題數(shù)列是特殊的函數(shù)， 是高中數(shù)學的重點內容， 也是與高等數(shù) 學內容的接軌之處， 因而深受高考命題人青睞， 是每年高考的必 考內容?？v觀近幾年的高考數(shù)列試題， 我們可以看出高考命題主要圍 繞以下方面進行考查：（1）數(shù)列自身內部問題的綜合考查（如與的關系問題、遞 推數(shù)列問題的考查一直是高考的熱點， 求數(shù)列的通項與求數(shù)列的 和是最常見的題目， 數(shù)列求和與極限等綜合性探索性問題也考查 較多）。（2）構造新數(shù)列思想，如“累加、累乘、錯位相減、倒序 相加、裂項求和”等方法的應用與創(chuàng)新 .（3）數(shù)列與其他知識的交匯綜合考查，如數(shù)列與函數(shù)、方 程、不等式、數(shù)學歸納法、三角、解析幾何等知識的綜合 .（

2、4）數(shù)列的應用問題，主要是增長率、分期付款等數(shù)列模 型.等差數(shù)列、 等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個特殊數(shù)列， 高考中考查 的非等差數(shù)列、等比數(shù)列問題，主要是將其轉化為這兩種數(shù)列， 進而得解，其核心思想是轉化與化歸 . 在高考中，文科試題與解 方程、求特殊數(shù)列的和有關，理科試題中數(shù)列與函數(shù)、不等式、 數(shù)學歸納法等的綜合問題是熱點， 復習過程中要加強邏輯思維能 力與推理能力的訓練與培養(yǎng) . 對于等差數(shù)列與等比數(shù)列混合交匯 的綜合問題，突破的關鍵是熟練掌握并靈活應用其定義、性質、 通項、前項和，并能熟記相關的“二手結論” . 本文通過幾道考 查數(shù)列性質的題與高考題目鏈接對比來分析數(shù)列在高考中的基 本考向 .

3、例1 （人教A版必修5習題2.3B組第2題）已知數(shù)列是等 差數(shù)列，是其前項的和 . 求證：，也成等差數(shù)列。這是一道反映等差數(shù)列基本量思想的題目， 利用通項與前項 和的公式很容易解答，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學思想 . 由此得 出的結論具有典型性和代表性： “已知數(shù)列是等差數(shù)列， 是其前 項的和，設，則有，也成等差數(shù)列” . 在選擇題、填空題中可 作為“二手結論”直接使用，在高考中有不少試題可以體現(xiàn) .既然等差數(shù)列有這樣的結論，類比到等比數(shù)列，請問：等比 數(shù)列是否也有類似的結論呢？通過類比引導學生再回顧課本， 可 得到等比數(shù)列也有類似的結論。人教A版必修5習題2.5B組第2題就蘊涵著等比數(shù)列前項

4、和的這一重要性質：已知等比數(shù)列的前項和為，求證：，也成 等比數(shù)列 .鏈接高考：（ 2010年高考數(shù)學安徽卷理科第 10 題）設是任 意等比數(shù)列，它的前項和、前項和、前項和分別為，則下列等式 中恒成立的是（ ）A.B.C.D.此題可以直接用上面提煉出的結論，（）也成等比數(shù)列， 代入、化簡、整理即可解答 . 由此可以看出高考試題并不神秘， 很多試題都直接或間接來源于課本，或是原題，或是變式題，或 是直接由課本題提升而得的結論 . 這說明我們在高考復習中要緊 扣教材、回歸教材、抓綱務本。例 2：成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上 1， 3， 9 后又成等比數(shù)列，求這三個數(shù)。此題充

5、分將等差數(shù)列等比數(shù)列進行了交匯結合 . 要解答此 題，就需要引導學生分析入手點，即如何設出滿足條件的數(shù)列， 可技巧性的設成等差數(shù)列的三個數(shù)為，直接求得 . 這不僅訓練了 學生已知三個數(shù)的和且成等差數(shù)列的技巧設法， 而且將基本量思 想和方程思想也進行了綜合訓練 . 由此讓學生歸納總結出一般規(guī) 律：（1）若已知奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列并知道其和，可設這個等差數(shù)列為，（公差為）；（ 2）若已知偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列并知道其和，可設這個等差數(shù)列為，（公差為）；再啟發(fā)引導學生思考：若已知個數(shù)成等比數(shù)列并知道其積， 又如何設該數(shù)列呢？例 3：有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等 比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四

6、個數(shù)的和是 37，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是 36，求這四個數(shù)這是一道有關等差數(shù)列、 等比數(shù)列的綜合問題， 可以讓學生 體會在等差數(shù)列、等比數(shù)列中方程思想的應用 . 可根據前三個數(shù) 成等差數(shù)列設其為；或根據后三個數(shù)成等比數(shù)列，設其為；或設 其為等， 讓學生感受利用等差數(shù)列、 等比數(shù)列的有關知識靈活設 元而得到的不同的解法 . 然后由學生比較、總結，得出簡潔合理 的最優(yōu)化運算途徑， 以此培養(yǎng)學生運用數(shù)學概念分析問題、 解決 問題的能力， 既培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性， 又培養(yǎng)學生思維的聚合 性.鏈接高考：（ 2011年高考數(shù)學湖北卷文科第 17 題）成等差 數(shù)列的三個正數(shù)的和等于 15，并且這三個數(shù)分別

7、加上 2，5， 13 后成為等比數(shù)列中的 .求數(shù)列的通項公式； 數(shù)列的前項和為，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。本題涉及等差數(shù)列， 等比數(shù)列及其求和公式等基礎知識， 同 時訓練學生的基本運算能力和推論論證能力， 難度適中， 是一道 好題 .解題的關鍵是尋找如何設出此數(shù)列，找到突破口問題就簡 單多了 . 基本量法求解等差數(shù)列、 等比數(shù)列的有關問題是基本功， 必須過關， 其求解的基本思路是： 需要緊扣等差數(shù)列與等比數(shù)列 的概念、性質，做出合理的分析與比較，根據他們的五個基本量 （）的內在關系及題目中的條件建立方程 （組），通過解方程（組） 尋找突破口求解相關問題。例 4：有兩個等差數(shù)列，求 . 解：設等差數(shù)列，的前項和為， . 此題看似平凡， 實則是一道難得的好題， 它將等差數(shù)列的通 項、前項和及性質進行了綜合復習， 并體現(xiàn)了轉化與化歸思想和 構造法，體現(xiàn)了數(shù)列與函數(shù)的綜合 . 解法 1 用的是構造法，要注 意性質“當時，”的正確使用；解法 2 用的是待定系數(shù)法，充分 利用了等差數(shù)列前項和是關于的二次函數(shù)形式； 解法 3 利用了等 差數(shù)列前項的和與通項之間蘊涵的一個關系：是等差數(shù)列，此 式在選擇題、填空題中可作為“二手結論”直接使用。由此題再啟發(fā)學生思考：設等差數(shù)列，的前項和為，且滿 足（ 1）如何求？（ 2）如何求？進而得出一般性結論：鏈接高考：（