數(shù)論篇小升初

1、名校真題 測試卷10 （數(shù)論篇一）時間：15分鐘 滿分5分姓名 測試成績 1 （ 05年人大附中考題）有個四位數(shù)滿足下列條件：它的各位數(shù)字都是奇數(shù)；它的各位數(shù)字互不相同；它的每個數(shù)字都能整除它本身。2（ 05年101中學(xué)考題）9倍，問這個兩位數(shù)如果在一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字之間添寫一個零，那么所得的三位數(shù)是原來的數(shù)的 是 。3 (05年首師附中考題)120250513131313+ + 21 2121 212121 212121214 （04年人大附中考題）甲、乙、丙代表互不相同的 3個正整數(shù)，并且滿足：甲X甲=乙+乙=丙乂 135.那么甲最小是5 （02年人大附中考題）下列數(shù)不是八進(jìn)制數(shù)的是 （

2、）A 125 B 、 126 C 、 127 D 、 128【附答案】1【解】:62【解】:設(shè)原來數(shù)為 ab,這樣后來的數(shù)為 a0b,把數(shù)字展開我們可得：100a+b=9X (10a+b),所以我們可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原來的兩位數(shù)為 45。125133 【解】：周期性數(shù)字，每個數(shù)約分后為+=121 21 21 214 【解】：題中要求丙與135的乘積為甲的平方數(shù)，而且是個偶數(shù)（乙 +乙），這樣我們分解135=5 X 3X 3X 3,所以丙最小應(yīng)該是 2X 2X 5X 3,所以甲最小是：2X 3X 3X 5=90。5 【解】：八進(jìn)制數(shù)是由除以8的余數(shù)得來的，不可能出現(xiàn) 8

3、,所以答案是 Db第十講小升初專項訓(xùn)練 數(shù)論篇(一)、小升初考試熱點及命題方向數(shù)論是歷年小升初的考試難點，各學(xué)校都把數(shù)論當(dāng)壓軸題處理。由于行程題的類型較多，題型多樣，變化眾多，所以對學(xué)生來說處理起來很頭疼。數(shù)論內(nèi)容包括：整數(shù)的整除性，同余，奇數(shù)與偶數(shù)，質(zhì)數(shù)與合數(shù),約數(shù)與倍數(shù)，整數(shù)的分解與分拆等。 作為一個理論性比較強(qiáng)的專題，數(shù)論在各種杯賽中都會占不小的比重，而且數(shù)論還和數(shù)字謎，不定方程等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，其重要性是不言而喻的。二、2007年考點預(yù)測2007年的小升初考試將繼續(xù)以填空和大題形式考查數(shù)論，命題的方向可能偏向小題考察單方面的知識點， 大題則需綜合運用數(shù)的整除，質(zhì)數(shù)與合數(shù)，約數(shù)倍數(shù)以

4、及整數(shù)的分拆等方法，希望同學(xué)們?nèi)嬲莆諗?shù)論的 幾大知識點，能否在考試中取得高分解出數(shù)論的壓軸大題是關(guān)鍵。三、基本公式1) 已知 b|c,a|c,則a,b|c, 特別地，若(a,b)=1,則有 ab|c。講解練習(xí):若3a75b能被72整除，問a=,b=.(迎春杯試題)2) 已知 c|ab , (b,c)=1,則 c|a。3) 唯一分解定理：任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= pl a1 x p2 a2 x . Xp kak (#)其中p1p2.bcd那么從小到大的第5個就是dacb,它是5的倍數(shù)，因此b=0或5,注意到bcd,所以b=5; 從大到小排列的第2個是abdc,它是

5、不能被4整除的偶數(shù)；所以c是偶數(shù)，cv b=5, c=4或2 從小到大的第二十個是 adbc,第五個是dacb,它們的差在3000-4000之間，所以a=d+4;因為ab,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24,它是4的 倍數(shù)，和條件矛盾。因此 d=3,從而a=d+4=3+4=7。這24個四位數(shù)中最大的一個顯然是abcd,我們求得了 a=7,b=5,c=4,d=3所以這24個四位數(shù)中最大的一個是7543?！纠?】（） 一個5位數(shù)，它的各個位數(shù)字和為 43,且能被11整除，求所有滿足條件的 5位數(shù)？思路:現(xiàn)在我們有兩個入手的選擇，可以選擇數(shù)字和

6、，也可以選擇被11整除，但我們發(fā)現(xiàn)被11整除性質(zhì)的運用要具體的數(shù)字，而現(xiàn)在沒有，所以我們選擇先從數(shù)字和入手【解】：5位數(shù)數(shù)字和最大的為 9X 5=45，這樣43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8, 8。這樣 我們接著用11的整除特征，發(fā)現(xiàn)符合條件的有99979, 97999, 98989符合條件?！纠?】（）由1, 3, 4, 5, 7, 8這六個數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被11整除的最大的數(shù)是多少?【解】：各位數(shù)字和為1+3+4+5+7+8=28所以偶數(shù)位和奇數(shù)位上數(shù)字和均為14為了使得該數(shù)最大，首位必須是8，第2位是7, 14-8=6那么第3位一定是5，第5位為1該

7、數(shù)最大為 875413。拓展:一個三位數(shù)，它由 0, 1, 2, 7, 8組成，且它能被9整除，問滿足條件的總共有幾個?【例4】（） 一個學(xué)校參加興趣活動的學(xué)生不到100人，其中男同學(xué)人數(shù)超過總數(shù)的4/7，女同學(xué)的人數(shù)超過總數(shù)的2/5 。問男女生各多少人？【來源】：06年理工附入學(xué)測試題【解】：男生超過總數(shù)的 4/7就是說女生少個總數(shù)的 3/7，這樣女生的范圍在 2/53/7之間，同理可得 男生在4/73/5之間，這樣把分?jǐn)?shù)擴(kuò)大，我們可得女生人數(shù)在28/7030/70之間，所以只能是 29人,這樣男生為41人。2 質(zhì)數(shù)與合數(shù)（分解質(zhì)因數(shù)）【例5】（）2005 X 684 X 375 X 最后4

8、位都是0,請問里最小是幾 ？【解】：先分析1X 2X 3X 4XX 10的積的末尾共有多少個 0。由于分解出2的個數(shù)比5多，這樣我們可以得 出就看所有數(shù)字中能分解出多少個5這個質(zhì)因數(shù)。而能分解出5的一定是5的倍數(shù)。注意：5的倍數(shù)能分解一個5, 25的倍數(shù)分解出2個5, 125的倍數(shù)能分解出3個5最終轉(zhuǎn)化成計數(shù)問題，如5的倍數(shù)有10/5=2個。2005=5X 401684=2 X 2X171375=3 X 5X 5X 5前三個數(shù)里有2個質(zhì)因子2, 4個質(zhì)因子5,要使得乘積的最后4位都是0 應(yīng)該有4個質(zhì)因子2和4個質(zhì)因子5，還差2個質(zhì)因子。因此里最小是 4。拓展:2005 X 684 X 375

9、X 最后4位都是0，且是7的倍數(shù)，問里最小是 【例6】（） 03年101中學(xué)招生人數(shù)是一個平方數(shù)，04年由于信息發(fā)布及時，04年的招生人數(shù)比03年多了 101人，也是一個平方數(shù)，問04年的招生人數(shù)？【解】：看見兩個平方數(shù)，發(fā)現(xiàn)跟平方差相關(guān)，這樣我們大膽的設(shè)03年的為A2 , 04年的為B2，從中我們發(fā)現(xiàn)04年的比03年多101人，這樣我們可以列式子B2- A 2 =101此后思路要很順，因為看見平方差只有一種方法那就是按公式展開，所以B2- A2= （A+B） （ A-B） =101，可見右邊的數(shù)也要分成2個數(shù)的積，還得考慮同奇偶性，但101是個質(zhì)數(shù)，所以101只能分成101 X 1,這樣A+

10、B=101, A-B=1，所以A=50, B=51,所以04年的招生人數(shù)為 51 X 5仁2601。拓展:一個數(shù)加上10,減去10都是平方數(shù)，問這個數(shù)為多少？（清華附中測試題）3 約數(shù)和倍數(shù)【例7】（）從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如 果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷的重復(fù)，最后剪得的正方形的邊長是多少毫米？(2002,847)=77【解】：邊長是2002和847的最大公約數(shù)，可用輾轉(zhuǎn)相除法求得輾轉(zhuǎn)相除示例：2002 - 847=2308847 - 308=2231308 - 231=

11、1 77231 - 77=3所以最后剪得的正方形的邊長是 77毫米。求2個數(shù)的最大公約數(shù)，就用大數(shù)除以小數(shù) 用上一個式子的除數(shù)除以余數(shù)一直除到除盡為止用上一個式子的除數(shù)除以余數(shù)一直除到除盡為止 最后一個除盡的式子的除數(shù)就是兩個數(shù)的最大公約數(shù)【例8】（） 一根木棍長100米，現(xiàn)從左往右每6米畫一根標(biāo)記線，從右往左每 5米作一根標(biāo)記線，請 問所有的標(biāo)記線中有多少根距離相差4米？【解】：100能被5整除，所以每5米作標(biāo)記線從左往右還是從右往左都是一樣的。這樣我們都以從左往右作，可見轉(zhuǎn)化成討論5, 6的最小公倍數(shù)中的情況，畫圖可得有2根距離為4米，所以30, 60 , 90里各有2條,但發(fā)現(xiàn)最后96和

12、100也是距離4米，所以總共2 X 3+仁7。拓展:在一根長木棍上，有三種刻度線第一種刻度線將木棍分成十等份；第二種將木棍分成十二等份；第三種將木棍分成十五等份 如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段？2以外都是奇數(shù)質(zhì)因數(shù)，可見我【例9】（） 1、2、3、42008這2008個數(shù)的最小公倍數(shù)等與多少個2與一個奇數(shù)的積？【解】：最小公倍數(shù)就是分解質(zhì)因數(shù)中共有的最多因數(shù)，這樣我們發(fā)現(xiàn)除們只要找需要多少個2,所以只要看12008中2 v n誰最大，可見2 v 10=1024,所以為10個2?！纠?01（ ）有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，它們是1號到15號。1號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，2號

13、說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說“這個數(shù)能被3整除”，依次下去，每位同學(xué)都說，這個數(shù)能 被他的編號數(shù)整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)都對，問：（1）說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)。（寫出解題過程）【解】：1）首先可以斷定編號是 2, 3, 4, 5, 6, 7號的冋學(xué)說的一定都對。不然，其中說的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學(xué)說的不對”不符合。因此，這個數(shù)能被2, 3, 4, 5, 6, 7都整除。其次利用整除性質(zhì)可知，這個數(shù)也能被2 X 5, 3X 4

14、, 2 X 7都整除，即編號為10, 12, 14的同學(xué)說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9。2）這個數(shù)是 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15的公倍數(shù)由于上述十二個數(shù)的最小公倍數(shù)是60060因為60060是一個五位數(shù)，而十二個數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號同學(xué)寫的數(shù)就是 60060。4 數(shù)論的綜合題型【例11】（）某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1, 2,12.他們的電話號碼依次是12個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，已知這些電話號碼的首位數(shù)字 都小于6,并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被

15、13整除，問：這一家的電話號碼是什么數(shù)？【解】：設(shè)第一戶電話號是 x+1,第二戶x+2,.第12戶電話號x+12根據(jù)條件得 x+i是i的倍數(shù)（i=1,2,12）因此x是1, 2,.12的公倍數(shù)1,2,.12=27720 所以 x=27720m27720m+9是13的倍數(shù)，27720除以13余數(shù)為4所以4m+9是13的倍數(shù) m=1,14,27.第一家電話號碼是 27720m+1 m取14合適；因此第一家電話號碼是27720*14+1=388081拓展:寫出連續(xù)的11個自然數(shù)，要求第1個是2的倍數(shù)，第二個是 3的倍數(shù)第11個是12的倍數(shù)？【例121（ ）有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，它們是1號到

16、15號。1號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，2號說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說“這個數(shù)能被3整除”，依次下去，每位同學(xué)都說，這個數(shù)能 被他的編號數(shù)整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)都對，問：（1）說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)。（寫出解題過程）【解】：1）首先可以斷定編號是 2，3，4，5，6，7號的冋學(xué)說的一定都對。不然，其中說的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學(xué)說的不對”不符合。因此，這個數(shù)能被2，3，4，5，6，7都整除。其次利用整除性質(zhì)可知，這個數(shù)也能被2 X

17、 5，3X 4，2 X 7都整除，即編號為10，12，14的同學(xué)說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9。2）這個數(shù)是 2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍數(shù)由于上述十二個數(shù)的最小公倍數(shù)是60060因為60060是一個五位數(shù)，而十二個數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號同學(xué)寫的數(shù)就是 60060。小結(jié)本講主要接觸到以下幾種典型題型:參見例1，2，3，4。參見例5，6參見例7，8，9，10參見例11，121）數(shù)的整除。2）質(zhì)數(shù)與合數(shù)（分解質(zhì)因數(shù)）3）約數(shù)和倍數(shù)。4）數(shù)論的綜合題型。【課外知識】打開另一扇心窗很久以前，在意大利的龐貝古城里，一個普通人家出生了一個

18、叫莉蒂雅的女孩。莉蒂雅自小雙目失明，但她并不怨天怨地，也沒有垂頭喪氣，反而熱愛生活，對生活充滿信心和希望。稍稍長大后，她像 常人一樣勞動，靠賣花自食其力。不久，維蘇威火山爆發(fā)，龐貝城面臨一次大的災(zāi)難，整座城市被籠罩在 濃煙塵埃之中。濃密的火山灰，遮掩了太陽、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，驚慌失措的居民跌跌 撞撞地根本找不到出路，人們好像生活在人間的地獄中。莉蒂雅雖然看不見，但這些年來，她走街串巷在 城里賣花，對城市的各條道路了如指掌。她就靠自己的觸覺和聽覺找到了生路，不但救了自己的家人，還 救了許多市民。后來，莉蒂雅的事跡一直被后人所傳頌，并出現(xiàn)在很多的文學(xué)作品中。啟迪：莉蒂雅的不幸反而成

19、了她的大幸，她的殘疾反而成了她的財富。不要總以為自己是最倒霉的。其實,上蒼很公平。有時候，命運向你關(guān)閉這一心窗的同時，又為你開啟了另一心窗，同樣可以享受人生的快樂作業(yè)題(注：作業(yè)題-例題類型對照表，供參考)題1, 4 類型1 ;題2，6類型3;題3，5，8類型2;題7類型21. ()在1100這100個自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少?解：1+2+100=50509+18+27+99=9 X (1+2+ +11)=495隨意1-100中所有不能被9整除的數(shù)的和是 5050-495=455512. ( )某班學(xué)生不超過60人，在一次數(shù)學(xué)測驗中，分?jǐn)?shù)不低于90分的人數(shù)占-，得8089分的人

20、711數(shù)占一，得7079分得人數(shù)占，那么得70分以下的有 人。23111解：有一、一、一，說明總?cè)藬?shù)一定為 7的倍數(shù)、2的倍數(shù)、3的倍數(shù)，故為7、2、3 = 42的倍數(shù)；72 3又由于人數(shù)不超過 60人，故這班的人數(shù)只能為42人。f 111、從而70分以下的有：42X 1 一一 一一 |= 1人。I 723丿3. ( )自然數(shù) N是一個兩位數(shù)，它是一個質(zhì)數(shù)，而且N的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，這樣的自然數(shù)有個。解：枚舉法：23, 37, 53, 73,有4個4. （）三個自然數(shù)，其中每一個數(shù)都不能被另外兩個數(shù)整除，而其中任意兩個數(shù)的乘積卻能被第三個數(shù)整除，那么這樣的三個自然數(shù)的和的最小值是多少？解：這三個自然數(shù)最小是6, 10, 15 （分別是2X 3,2X 5,3X 5）和的最小值為31。5、（）五個連續(xù)偶數(shù)之和是完全平方數(shù)，中間三個偶數(shù)之和是立方數(shù)（即一個整數(shù)的三次方），這樣一組數(shù)中的最大數(shù)的最小值是多少？解：設(shè)中間一個數(shù)為 2x那么5個數(shù)的和為10x=mA2中間3個數(shù)的和為6x=nA3設(shè) x=2Ap X 3Aq X 5Ar再根據(jù)一個數(shù)是完全平方數(shù)等價于它的各個質(zhì)因子的幕都是偶數(shù)，一個數(shù)是立方數(shù)等價于他的各個質(zhì)因子的幕都是3的倍數(shù)可以求得 p=5