數(shù)理統(tǒng)計(jì)例題

1、例題解析(1)1設(shè)隨機(jī)變量X和丫 相互獨(dú)立，X N( 1, ；),YN( 2, ；)oXi,X2,Xi6是X的一個(gè)樣本,丫1,丫2,，丫10是丫的一個(gè)樣本，測(cè)得數(shù)據(jù)16Xii 11684,X2i 110563, yii 11018,yi272i 1(1)分別求2的矩估計(jì)量；(2)分別求2的極大似然估計(jì)值;(3)在顯著水平0.05下檢驗(yàn)假設(shè)H 0:12H1：2(1)用樣本一階原點(diǎn)矩估計(jì)總體一階矩，即得2的矩估計(jì)值:1.8 o41641X 16i1Xi5.25,?21i1yi(2)正態(tài)總體X N( , 2)的參數(shù)2的極大似然估計(jì)量為?22(Xi X) o因止匕2和:的極大似然估計(jì)值為丄(X16 i

2、1x)21 n 2Xi16 i 116X27.625丄1010 i 11 n(yi y)210 i1y 16y23.96(3)比：2，是在0.05下的單側(cè)檢驗(yàn)。因?yàn)镾121L(Xi一 2x )8.13,S；n1 (y1 y)24.4。所以F同機(jī)量得9 i 12未知，雙總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)。待檢假設(shè)H: 12菁第1.847查F分布表,得 Fo.o5(15,9) 3.01 .經(jīng)比較知，F(xiàn) 1.847F.5(15,9) 3.01，故接受H ，認(rèn)為12不比2大o例2有三臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)同一種規(guī)格的鋁合金薄板，測(cè)量三臺(tái)機(jī)器所生產(chǎn)的 薄板厚度（單位：厘米），得結(jié)果如表所示。機(jī)器1機(jī)器2機(jī)器3試考察機(jī)器對(duì)薄板厚度

3、有無(wú)顯著的影響（0.05）解 檢驗(yàn)假設(shè)H。：!23。 i是各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的薄板總體的均值。經(jīng)計(jì)算 s 3口n2n3 5, n 15,2Xij0.963912,T33.8,Tj2 4.8102j 1352 I 2SrX：T2 0.0012453，j 1 i 115Sa-T2T20.0010533,5 j 1 j 15SeStSe 0.000192 .方差來(lái)源平均和自由度均方F比結(jié)論因素0.0010532顯著誤差12總0.001245314列出方差分析表如下因?yàn)镕.05（2,，2）3.89F比32.92，故拒絕H。，認(rèn)為各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的薄板厚度有顯著差異。在進(jìn)行方差分析時(shí)，還常要對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。下

4、面寫(xiě)出常用的幾個(gè)估計(jì): ?2 玉是的無(wú)偏估計(jì)。n s ？ x, ?j Xj分別是，j的無(wú)偏估計(jì)。?j Xj x是j的無(wú)偏估計(jì)，且 nj j 0兩總體N（ j，- 2）與N（2）的均差值k的置信度為1 的置信區(qū)間為(Xj Xk t 2(ns)、Se(1 nj 1 nQ)。求上例中未知參數(shù)2， j， j的點(diǎn)估計(jì)及均值差的置信度為的置信區(qū)間-S 0.000192 0.000016 n s 1531 Xi0.240，?2X20.256， ?3?30.262，x0.253， ? X1 X 0.011，又由 t0.025(15 3)2.1788，.Se(1 n1 nk . 16 10 621.256 10

5、513及23的置信度為的置知 to.o25(12) JSe(1/ nj ink 0.0055，故 i 2,信區(qū)間分別為()=(,)，()=(,)，()=(,)。例4某工廠在生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)使用了三種不同的催化劑和四種不同的原料，每種搭配都做一種試驗(yàn)，測(cè)的產(chǎn)品成品的壓強(qiáng)（單位：兆帕）數(shù)據(jù)如下表:催化劑原料A1AA3B1313335B2343637B3B4353739393842試在0.05下檢驗(yàn)不同催化劑和原料對(duì)壓強(qiáng)有無(wú)顯著影響。i為因素A在水平A的效應(yīng)，j為因素B在水平j(luò)的效應(yīng)。待檢驗(yàn)假設(shè)01 ：02因?yàn)閞STSaSb3, s 4，所以1159403 41 263466(436)25.17，3

6、4147732(436)3 4(436)98.67，Se1413StSa Sb 4.16 o269.34，列出方差分析表如下方差來(lái)源平方和自由度均方F比結(jié)論因素3顯著因素3顯著誤差6總和11因?yàn)?Foo5（2,6）5.14 F比 18.16,4.76 F比 33.35，所以拒絕H oi和H 02 ,認(rèn)為催化劑和原料的影響都是顯著的。例5設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和支出的維修費(fèi)用（單位：千元） y如下所示：x23456y求（1）關(guān)于x的回歸方程，2的無(wú)偏估計(jì)；（2）檢驗(yàn)回歸是否顯著，并求x 7時(shí)，維修費(fèi)用y的預(yù)測(cè)區(qū)間解 （1）左散點(diǎn)圖（略），數(shù)據(jù)分布呈直線趨勢(shì)。列計(jì)算表：xy2 xxy2 y243

7、9416525636202590并計(jì)算下列數(shù)據(jù):nn2 1xxXiXii 1ni 190 15(20)210,n1nn1xyXi yix:iyi112.3 -20 25 12.3i 1n i 1i 152nn2 1yyyiyi140.781(25)215.78,i 1n i 15解得b竺1 xx12.3To-1.23,-Yi n i ibx 5 1.23 40.08。所以，線性回歸方程為?0.08 1.23x。2的無(wú)偏估計(jì)為?2-(lyy l?xy)1 (140.78 1.23 112.3)0.8837。n 23(2)將X。7代入回歸方程得8.69。因?yàn)閚 5,t.025(3)2.35，所以y

8、的置信度為的置信區(qū)間為(?0 t 2(n 2)?.1一1 n(x。X)2lxx)(8.69 2.35 0.94 1.45)(5.487,11.893)。計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量t 呂71.23 V9013.187。?0.8837因?yàn)?0.025(3)3.1824 t 13.187，故知回歸效果是顯著的。例6 (單因素方差分析)下表給出了小白鼠在接種三種不同菌型傷寒桿菌后的存 活天數(shù)，問(wèn)三種菌型的平均存活天數(shù)有無(wú)顯著差異表4-3菌型接種后存活天數(shù)9Xii 11型（A1 ）2 4 3 2 4 7 7 2 536兒型（A）5 6 8 5 10 7 12 6 665川(A3)7 11 6 6 7 9 5 10 6

9、67SS9Xjj 19Xjj 1S,36, S2SS SSQe65, S367176515 5331224r Si2rs2i 1S2) 27Si1296 4225 4489(168)2766.88893SSi 13 S216176 515 5331112.2222 111.7778計(jì)算：X,4, X27.22, X37.444, X 6.222QeQa111.7778 66.8889 178.6667列成表格 如下，其中,r 3, n 27方差來(lái)源平方和自由度均方F值因素Qa 66.8889誤差Qe 111.7778總和Qt178.6667QA66.8889r 1233.4445生 HIP4.

10、657nr 24F0 if 牆a09，查表 F005 2,24 340對(duì)給定的顯著水平 0.05, 查表甩05（2,24） 3.40,因F 7.1809F.05（2,24） 3.40，故拒絕H。，即認(rèn)為這三種不同菌型的傷寒桿菌 的平均存活天數(shù)有顯著差異關(guān)于未知求2， i， i （ i = 1,2,3 ）的參數(shù)估計(jì)Qen rS；4.6574?1X1X4.0006.2222.222?X2X7.2226.2221.000?X3X7.4446.2221.222的區(qū)間估計(jì)Fd.05 (1,nr)F.05(1,24)4.26的置信區(qū)間為1，2， 舶95%置信區(qū)間為均值之差i- 的1-的置信區(qū)間為Ik(X-

11、Xk t (n2t (n r)to.o25(24) 2.06242t (n r) |丄JSE =型 4.65 2.1002n in.912， 3, 23的95%的置信區(qū)間為(-(-);(-);例7.（正交試驗(yàn)）為了制造軸承，尋求新鋼種最佳等溫淬火工藝?？疾煸囼?yàn)指 標(biāo)是徑向抗壓負(fù)荷與硬度，對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有影響的主要因素：加熱溫度（單位：C）,等溫溫度（單位：C），淬火返修次數(shù)（單位：次），將因素列如下表。水平ABC列號(hào) 加熱溫度等溫溫度淬火返修次數(shù)190025002880260138602702因?yàn)槭?兀素3水平，選擇正交表L9（34）合適。制定試驗(yàn)方案表表頭設(shè)計(jì)ABC、列號(hào) 試驗(yàn)號(hào)123411 (

12、900)1 (250)3 (2)222（880）11（ 0）333（860）12（ 1）1412（ 260）235223163212713（ 270）118232293333確定試驗(yàn)方案 在上表中，每一個(gè)橫行就代表了一個(gè)試驗(yàn)條件，共有9個(gè)試驗(yàn)條件。等1號(hào)試驗(yàn)條件是：加熱溫度是900C（ A），等溫溫度是250C（ BJ，返修次數(shù)是2次（C3），記作為 ABQ3，類似地第2號(hào)試驗(yàn)條件是AzBQs， 第9號(hào)試驗(yàn)條件是A3B3C3試驗(yàn)方案的實(shí)施按正交表中的試驗(yàn)條件嚴(yán)格操作。將各次的試驗(yàn)結(jié)果記錄下并 列如下表中。其中Tjk第j列因素水平k（k 1,2,3），TjkTjk3第j列因素水平k的3次試驗(yàn)指標(biāo)

13、的平均例Tn（負(fù)荷）5.5 5.7 8.4 19.6,對(duì)因素 B，有硬度 T23（57.25 3）/357.253Sj（負(fù)荷）Tjk63.2 各因素的3個(gè)水平的負(fù)荷之和k 1Sj（硬度）3 Tjk3 k 158.15各元素的3個(gè)水平平均硬度Rj（負(fù)荷）=max Tjk1 k 3min Tjk1 k 3Rj （硬度）=max Tjk1 叫 irnTjk試驗(yàn)號(hào)列號(hào)X1(A)2(B)3(C)試驗(yàn)指標(biāo)負(fù)荷硬度11 (900)1 (250)3（2）22( 880)11（ 0）33( 860)12（ 1）412( 260)252236321713( 270)182329333Tj1負(fù)荷負(fù)荷單位：t硬度硬度

14、單位：HRCTj2負(fù)荷硬度Tj3負(fù)荷硬度負(fù)荷硬度負(fù)荷硬度行3負(fù)荷硬度Rj負(fù)荷硬度正交試驗(yàn)結(jié)果的分析1. 直接看：（1）比較9次試驗(yàn)的負(fù)荷：抗壓負(fù)荷最高的試驗(yàn)條件是 A2B3C2 ,即第8號(hào)試驗(yàn)，其次是AB3C（第7號(hào)試驗(yàn)），A3B2C1 （第6號(hào)試驗(yàn)），A2BQ1（第2號(hào)試驗(yàn)）。（2）再比較9次試驗(yàn)的硬度是：硬度的高低主要取決于等溫溫度，加熱溫度和返修次數(shù)對(duì)硬度無(wú)明明顯影響。綜合考慮，等2號(hào)試驗(yàn)的條件問(wèn)好。2. 計(jì)算分析；（1）負(fù)荷因素A 平均負(fù)荷是T127.67880C因素B 平均負(fù)荷是T238.27因素C 平均負(fù)荷是T317.87由此分析出A2B3C1是最好的試驗(yàn)條件。但這個(gè)條件在表中沒(méi)有

15、出現(xiàn)。類似 （1）硬度一一ABQ根據(jù)每個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響不同，區(qū)分出主次。由上表可見(jiàn)主-次負(fù)荷因素BCA水平270C00次8800C硬度因素BAC水平250C0各水平各水平用極差大小來(lái)區(qū)分主次：若某因素的極越大，則該因素對(duì)指標(biāo)的影響就越大。 結(jié)果可以看出是因素B。綜合平衡考慮：硬度不能低于58（HRC）在這一條件下高負(fù)荷的好水平組合為 A2B2C1。試驗(yàn)結(jié)果的分析很分別的在 正交表中進(jìn)行。3. 方差分析這是3元素3水平的無(wú)重復(fù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)問(wèn)題。jjkijkijk333其效應(yīng)模型為i 0,j 0,k 0約束條件i 1j 1k 1ijk N(0, 3E 2),各jk是相互獨(dú)立設(shè)丫1,丫2, ，丫9

16、表示從第1號(hào)試驗(yàn)到第9號(hào)試驗(yàn)的試驗(yàn)指標(biāo)。具體效應(yīng)模型表示如下丫11131丫22112丫33123丫41224丫52235丫63216丫71317丫82328丫93339H01 :1230檢驗(yàn)假設(shè)H02:1230Ho3：1230總離差平方SSt9yi 12丫4SSjj 1其中SSj 第j列的離差平方和，由于正交表具有均衡分散性和綜合可比性的特點(diǎn)，所以SSjTjr3iTjr19(iYi)23E丫1丫4丫7Yi丫2丫5丫8Yi丫3 丫6丫9YiSSci辱2(3 1),辱逬2(9 1)冬2(3 1),辱2(3 1)E SS42 2記S3SSa為因素A的平方和SS2SSb為因素B的平方和E SSj 3

17、12 2 2232oSS, SSC 為因素C的平方和SS41)，s 2 2(3 1)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)里FAS/2八卄sSA/2 F(2,2)分布;檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)里FB-SSl2 F (2,2)分布;SSCJ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)里FCSS公F(2,2)分布。當(dāng)H!為真時(shí),當(dāng)H02為真時(shí),當(dāng)H03為真時(shí),SSc.2 2(3若給定顯著系性水平，拒絕域F F 2,2 , 當(dāng)拒絕H1，則認(rèn)為因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；當(dāng)拒絕H2，則認(rèn)為因素B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；當(dāng)拒絕Ho3，則認(rèn)為因素C對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；利用正交表進(jìn)行方差分析時(shí)，要確定自由度可以用如下方法。f總總試驗(yàn)組數(shù)(n)1 SS ；正交表每列的自由度正交表總的自由度f(wàn)列 該列數(shù)字種數(shù) 1即每個(gè)因素平方和的自由度f(wàn)因素 該因素水平數(shù)1正交表總的自由度=各自由度之和，即f總正交表空白列的自由度=誤差平方和的自由度。若無(wú)空白列，則將最小的離差平方和作為誤差平方和，即ssCi 1mjinkSS 將例7的關(guān)于抗壓負(fù)荷的方差列如下表方差分析表方差來(lái)源平方和自由度均方F因素ASSA 2.0356fA 2SSa 1.0178FA 1.3315因素BSSB 7.0756fB 2SSb 3.5378FB 4.6282SSC 4.3356fc 2SSC 2.1678Fc 2.8359因素CSS