求展開式系數(shù)的六種常見類型

1、求展開式系數(shù)的六種常見類型求展開式中的系數(shù)是高考常考題型之一，本文以高考題為例，對二項式定理 試題中求展開式系數(shù)的問題加以歸類與解析，供讀者參考。一、(a b)n(n N )型例1. (x2y)10的展開式中x6y4項的系數(shù)是()(A) 840(B) 840(C) 210(D) 210解析：在通項公式T1二G0(-x,2y)rX10中令r=4,即得(x-dy)10的展 開式中x6y4項的系數(shù)為G4)(-、2)4=840,故選A例2.(x -纟)8展開式中VXx5的系數(shù)為O解析：通項公式Tr 13，由題意得I?，5 ,則r = 2，故所求x5的系數(shù)為(-1)2C； =28評注：常用二項展開式的通

2、項公式求二項展開式中某特定項的系數(shù)，由待定系數(shù)法確定r的值。二、(a b)n(c d)m(n,m N )型例3. (x-)4 (x )8的展開式中整理后的常數(shù)項等于.xx解析；(X3 -2)4 的通項公式為 Tr 1 =C；(-2)r(x3)4-C；(-2)rx12_4r ,令xx12 -4r =0，則r = 3,這時得(x3 -2)4的展開 式中的常數(shù)項 為-C：23 = 32,x(x -1)8的通項公式為Tk1二c；)*8C；X8令8-2k = 0,則k = 4,這時得xx(x )8的展開式中的常數(shù)項為c；=70,故(x-)4 (x丄)8的展開式中常數(shù)項xxx等于- 32 70 =38。例

3、4.在(1 - x)5 - (1 - x)6的展開式中，含x3的項的系數(shù)是()(A) -5(B) 5(C)-10(D) 10解析：(1 -X)5中X3的系數(shù)-c5 = -10 , -(1- X)6中X3的系數(shù)為 -c6 (1)3 =20,故(1 _x)5 (1 X)6的展開式中X3的系數(shù)為10,故選D。評注：求型如(a b) _(c d)m(n,m N )的展開式中某一項的系數(shù)，可分 別展開兩個二項式，由多項式加減法求得所求項的系數(shù)。三、(a b)n(c d)m(n,m N )型例5. (x2,1)(x-2)7的展開式中X3項的系數(shù)是。解析：(x-2)7的展開式中x、X3的系數(shù)分別為 C；(-

4、2)6和C；(-2)4，故(X2 +1)(x-2)7 的展開式中 X3項的系數(shù)為 c7(-2)6+C；(-2)4=1008。8例6. (x -1 丫 x +1 )的展開式中x5的系數(shù)是()(A )-14( B ) 14(C ) -28(D)28略解：(X 1)8的展開式中X4、X5的系數(shù)分別為C84和C：,故x-1 x 1 8展 開式中x5的系數(shù)為Cs -Cs =14,故選B。評注：求型如(a b)n(c d)m(n,mN “)的展開式中某一項的系數(shù)，可分別展開兩個二項式，由多項式乘法求得所求項的系數(shù)。四、(a b c)n (n N )型例7. (X,2)5的展開式中整理后的常數(shù)項為2 x解法

5、一：(丄2)5 = (- -)22 x 2 x5Ik1，通項公式Tkd =Cs22(- -)5J2 xG)5的通項公式為Tr.1二c5xx5I2一鋰 二c5x52丄2k5r令2 x 5-2r-k = 0，貝U k 2r =5，可得 k =1,r = 2 或 k=3,r =1 或 k=5, r = 0 。-15當k =1,r =2時，得展開式中項為C5C：222絃二叱 ;2當k=3,r=1時，得展開式中項為C2J2 2* =20 ;當k = 5,r =0時，得展開式中項為C54.2 =4遼綜上，(j x 2)5的展開式中整理后的常數(shù)項為呼勺4、2,3解法二：12)5 =(2 xx22 2x -

6、2)52x(2x)5(2x)5對于二=5。所項式(x ,2)10中，T, =G0x10*2)r，要得到常數(shù)項需10- 5，即r以，常數(shù)項為C10 丫2)二63：。25 2解法三： 1 2)5是5個三項式(-,2)相乘。常數(shù)項的產(chǎn)生有三2 x2 x種情況：在5個相乘的三項式(x x2)中，從其中一個取x，從另外4個三2 x2項式中選一個取1，從剩余的3個三項式中取常數(shù)項相乘，可得xc；丄c4 c3(J2)3 =20血；從其中兩個取-，從另外3個三項式中選兩個取-，5 2432x從剩余的1個三項式中取常數(shù)項相乘，可得 C；(；)2二J 2 ;從5個相乘的三項式(-.2)中取常數(shù)項相乘，可得C| c

7、35=4-、2。2 x綜上， 12)5的展開式中整理后的常數(shù)項為2 x20、2 空42=3。2 2評注：解法一、解法二的共同特點是：利用轉(zhuǎn)化思想，把三項式轉(zhuǎn)化為二項 式來解決。解法三是利用二項式定理的推導(dǎo)方法來解決問題，本質(zhì)上是利用加法原理和乘法原理，這種方法可以直接求展開式中的某特定項。五、(a b)m (a b)m； IH (a b)n(m, n N ,1 乞 m ： n)型例8在(1 x) (1 x) -(1 x)6的展開式中，x2項的系數(shù)是(用數(shù)字作答)解析：由題意得x2項的系數(shù)為C；=35。例9.在(1 x)5+ (1 -x)6+ (1 x)7+ (1 x)8的展開式中，含x3的項的

8、系數(shù)(A) 74(B) 121(C) 74(D)121解析： (1 X) +(1 X) +(1 X) +(18= (1_x)51 (1x)4 (1x)5 (1x)91(1X) 一x(1-X)5中 x4 的系數(shù)為 c5 =5 , -(1 -X)9 中 x4的系數(shù)為c9 -126 , 126+5= 121,故選Do評注：例8的解法是先求出各展開式中x2項的系數(shù)，然后再相加；例 9則 從整體出發(fā)，把原式看作首相為(1 x) 5，公比為(1 x)的等比數(shù)列的前4項和， 用等比數(shù)列求和公式減少項數(shù)，簡化了運算。例8和例9的解答方法是求(a +b)m +(a +b)mH1 +川+(a +b)n(m, n壬

9、N：1 Mme n)的展開式中某特定項系數(shù)的 兩種常規(guī)方法。六、求展開式中若干項系數(shù)的和或差例 10.若(1 - 2x)2004 =a a?x2 a2oo4X2004 (x R)，則(a。 a1) (a0 a?) ( a +a3)+(a + a 2004) = o(用數(shù)字作答)解析：在(1 -2x)2004 二 a - a1X a?x2 - . - a204X2004 中，令 x = 0，則 a。=1， 令 x =1，則 a。a1 a2 a 亠 a24 =(-1)2004 =1 故(a a1) (a a?) (a0，a3)-(a - a204)=2OO3a0 + a0 a1 a2 a3 亠 亠

10、 a2004 = 2004 o例 11. (2x 、.3)4=a0 qx a2x2a3x3a4x4，則(a0a2，a4)2 -(a1a3)2的值為()(A) 1(B) 1(C) 0(D) 2解析：在(2x 3)4 二 a0 a1x a2x2 x3 a4x4 中，令 x =1，可得 a0 a1 a2 a3 a ( 3)4，令 x - T，可得 a - a1 a2 - a3 a4 = (2 -、3)4所以，(a - a2 - a4)2 -a3)2 = (a0 a2 a4 a1 - a3)(a0 a2 a4 p -a3)= (a0 a1 a2 a3 a4)(a0 -aj a2 -a3 a4) = (2 , 3)4 (2 - 、3)4 =1,故選Ao 評注