留數(shù)定理在定積分計算中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、留數(shù)定理在定積分計算中的應(yīng)用 引言在微積分或數(shù)學(xué)分析中，不少積分( 包括普通定積分與反常積分) 的計算用微積分教材里的知識很難解決或幾乎是無能為力 如果我們能結(jié)合其他數(shù)學(xué)分支的理論方法來討論解決這類問題，會達到化難為易、化繁為簡的效果本文主要利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理，將實積分轉(zhuǎn)換為復(fù)積分的方法，討論了幾類定積分的計算，首先我們來給出留數(shù)的定義及留數(shù)定理 1留數(shù)定義及留數(shù)定理1.1 留數(shù)的定義設(shè)函數(shù)以有限點為孤立點，即在點的某個去心鄰域內(nèi)解析，則積分為在點的留數(shù)，記為：1.2 留數(shù)的定理介紹留數(shù)定理之前，我們先來介紹復(fù)周線的柯西積分定理：設(shè)是由復(fù)周線所圍成的有界連通區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，

2、則定理1 （留數(shù)定理） 設(shè)在周線或復(fù)周線所在范圍的區(qū)域內(nèi)，除外解析，在閉域上除外連續(xù)，則 （1）證明:以為心，充分小的正數(shù)為半徑畫圓周（）使這些圓周及內(nèi)部均含于，并且彼此相互隔離，利用復(fù)周線的柯西定理得，由留數(shù)的定義，有特別地，由定義得 ，代入（1）式得 2留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用 利用留數(shù)計算定積分活反常積分沒有普遍的實用通法，我們只考慮幾種特殊類型的積分2.1形如型的積分表示的有理函數(shù)，且在上連續(xù)，解決此類積分要注意兩點，一：積分上下限之差為，這樣當(dāng)作定積分時從到，對應(yīng)的復(fù)變函數(shù)積分正好沿閉曲線繞行一周二：被積函數(shù)是以正弦和余弦函數(shù)為自變量。滿足這兩點之后，我們可以設(shè)，則，得 例1 計算解

3、: ，由于分母有兩個根，其中，因此 2.2 形如型的積分此類積分計算時要注意，首先分析其函數(shù)特點，函數(shù)必須滿足以下條件才能適用(1)，其中，均為關(guān)于的多項式，且分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高兩次；(2)在半平面上的極點為（1，2，3，），在實軸上的極點為（1，2，3，）則有例2 計算解:取，孤立點為，其中落在上半平面的為，故。例3 計算解:由于，且上半平面只有一個極點，因此 2.3 形如型的積分定理2 （若爾當(dāng)引理）設(shè)函數(shù)沿半徑圓周（）上連續(xù)，且在上一致成立，則證明:，使當(dāng)時，有 于是 （2）這里利用了 以及利用若爾當(dāng)不等式（）將（2）化為 即 例4 計算解:函數(shù)滿足若爾當(dāng)引理條件這里，函數(shù)有兩

4、個一階極點及，于是 2.4 形如和型積分定理3 設(shè)，其中和是互質(zhì)多項式，并且符合以下條件：（1）的次數(shù)比的次數(shù)高；（2）在實軸上；（3）則有 （3）將（3）式實虛部分開，就可用得到形如及的積分例5 計算解:利用以及若爾當(dāng)引理，且分母在上半圓只有兩個孤立奇點和，得 例6 計算（）解 被積函數(shù)為偶函數(shù)，所以，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，它共有四個一階極點，即（）得 （），因為，所以在上半面只有兩個一階極點及，于是 ，故 結(jié)束語上面舉例說明了常見的幾種可以用留數(shù)定理計算的定積分類型，計算比較簡捷，通過上面幾例，可以看出實積分中是定積分計算與利用留數(shù)定理計算之間既有區(qū)別，也有聯(lián)系解題時應(yīng)視具體情況而定，有使用實積分理論計算很困難甚至無法計算時，利用留數(shù)定理卻能夠得到很好的效果.待添加的隱藏文字內(nèi)容3參考文獻1鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論m高等教育出版社，2004.2蓋云英.復(fù)變函數(shù)與積分變換指導(dǎo)m科學(xué)出版社，2004.3王玉玉.復(fù)變函數(shù)論全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解m中國時代經(jīng)濟出版社，2008.4王瑞蘋.論留數(shù)與定積分的關(guān)系j菏澤學(xué)院學(xué)報,2005.5余家榮. 復(fù)變函數(shù)論m高等教育出版社，2004.6李紅,謝松發(fā).復(fù)變函數(shù)與積分變換m華中科技大學(xué),2003.致 謝感謝培養(yǎng)教育我的宿州學(xué)院，學(xué)院濃厚的學(xué)術(shù)氛圍，舒適的學(xué)習(xí)壞境我將終生難忘！祝母校蒸蒸日上，永創(chuàng)輝煌。 感謝對我傾