凸函數(shù)的性質(zhì)及應用畢業(yè)論文

1、摘 要 本文首先提出了凸函數(shù)的幾種等價定義并說明凸函數(shù)的幾何意義， 接著探討了凸函數(shù)的幾條定理及其在經(jīng)濟學中的應用，比如最優(yōu)化 應用及風險態(tài)度應用，以及函數(shù)的凸性在有關經(jīng)濟學問題中發(fā)揮的 作用，并從數(shù)學的角度詳細說明了經(jīng)濟學教材中一些結論的來源， 如對經(jīng)濟曲線的分析. 關鍵字：凸函數(shù)；曲線分析；最優(yōu)化；風險態(tài)度 目 錄 1.引言.1 2.凸函數(shù)的定義及幾何意義.1 2.1 凸函數(shù)的幾種定義 .1 2.2 凸函數(shù)的幾何意義： .3 3.凸函數(shù)的判定定理.3 4.函數(shù)凸性在經(jīng)濟學中的應用.7 4.1 凸函數(shù)在經(jīng)濟函數(shù)曲線分析中的應用 .7 4.2 凸函數(shù)在經(jīng)濟優(yōu)化中的應用 .11 4.3 凸函數(shù)在

2、風險態(tài)度中的應用 .14 5.總結.17 參考文獻.18 1.引言 凸函數(shù)是一個十分重要的函數(shù)，它的定義最早是由jensen給出. 凸函數(shù)具有較好的幾何和代數(shù)性質(zhì), 它在判定函數(shù)的極值、研究函 數(shù)的圖像以及證明不等式等方面都有廣泛的應用. 利用函數(shù)凸性分析經(jīng)濟問題是在十九世紀五十年代以后隨著數(shù) 學規(guī)劃、最優(yōu)控制論、數(shù)理經(jīng)濟學等應用學科的興起而發(fā)展起來的. 經(jīng)濟學中所涉及的函數(shù)大多數(shù)都有一定的凸性，從而凸函數(shù)在經(jīng)濟 學中的最優(yōu)化問題的研究成為了當今的一大熱點. 人們經(jīng)常用它來 研究系統(tǒng)中人、財、物的組織管理、籌劃調(diào)度等問題，以發(fā)揮最大 的經(jīng)濟效益. 2.凸函數(shù)的定義及幾何意義 2.1 凸函數(shù)的幾

3、種定義 定義 1:設函數(shù)在區(qū)間 上有定 f x i 義，從幾何上來看，若的圖像上 yf x 任意兩點和之間的曲線 11 ,xf x 22 ,xf x 段總位于連接這兩點的線段之下（上） ， 則稱該函數(shù)是凸（凹）.參見圖 1. 1 定義 2：設函數(shù)在開區(qū)間 上有定義，若 f xi x y o y=f(x) 有 12 ,0,1x xi , 1212 11fxxf xf x 則稱在區(qū)間 是下凸函數(shù)或簡稱函數(shù)在區(qū)間 是凸的. f xi f xi 若記，則.由的凸性可知： 2 21 xx xx 12 1xxxf 1212 11f xfxxf xf x 21 12 2121 xxxx f xf x xxx

4、x 從而有 212112 xxf xxx f xxxf x 即 212112 xx f xxxf xxx f xxxf x ， 整理后可得 12 12 f xf xf xf x xxxx 這就是凸函數(shù)的另一種定義. 定義 3：在區(qū)間 上有定義且連續(xù)，稱為 上的凸函數(shù)， f xi f xi 如果,有 12 ,x xi 12 12 22 f xf xxx ff 將“ ”改為“ ” ，函數(shù)便成為嚴格凸函數(shù). 定義 4：在區(qū)間 上有定義且連續(xù),稱為 上的凸函數(shù)， f xi f xi 如果 ，有. 12 ,., n x xxi 12 12 . n n f xf xf xxxx ff nn 2.2 凸函數(shù)

5、的幾何意義： 當時，點表示了區(qū)間0,1 12221 1xxxxxx 中的某一點，即.在下圖中弦的方程是： 12 ,x x 12 ,xx x 12 a a 12 1 21 f xf x yf x xx 將代入上式得： xx 323 1baf xf x 但因此不等式（1）在 4 baf x 幾何上表示為也就是說，曲線 34 baba 在弦下方，呈現(xiàn)為下凸的 yf x 12 a a 形狀，而上凸函數(shù)的圖象則呈現(xiàn)為上 凸的形狀.（圖 1） 凸函數(shù)除了上面的定義以外，還 可以給出連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 上為 f xi 凸函數(shù)的等價性定義.如下所示： 3.凸函數(shù)的判定定理 定理1 設函數(shù)在開區(qū)間上可導，函數(shù)在區(qū)間

6、 f x( , )a b f x 上是凸函數(shù)當且僅當.( , )a b 121212 ,x xa bxxfxfx, 且 x y o 1 a 2 a yf x f x 1 x 2 x x 12 1f xf x b 3 a 4 a 圖 1 證明： 根據(jù)中值定理對一切及必存在lagrange 1212 ,x xa bxx01t 使得： 1122 , tt x xx x和 12 12 1122 1221 1 1 1 (1)0 t tt tt f xtf xt f x tf xf xtf xf x tfxxt fxx ttffxx 又 12 ff 12 1 t f xtf xt f x 由凸函數(shù)定義得在

7、上是凸函數(shù). f x( , )a b 任取滿足.我們來證明： 12 ,x xa b 12 xx 及在區(qū)間上嚴格增加，設從中存 12 fxfx fx, a b, x 在數(shù)使得，根據(jù)的嚴格下凸條件得：01t 1 t xt f x 即上式表明 的函數(shù) 1ft f xtf ff xff x xx 在嚴格增加. ff x x 12 ,x x 由此可見記起并以此類推可得xx 11 xfx 22 xfx 在嚴格增加. . 12 fxfxfx, a b 定理2 設在開區(qū)間 上可導，則下述論斷相互等價： f xi 1）為 上凸函數(shù)； f xi 2）為 上的增函數(shù)； fxi 3）對 上的任意兩點，有i 12 ,x

8、 x 21121 f xf xfxxx （3） 證明:若在 是凸函數(shù)，則由定理 1 有在 上單調(diào)增加 f xi fxi 有 12 ,x xi 12 xx 2121121 f xf xfxxfxxx 12 xx 21121 f xf xfxxx 同理可證明當時也有 12 xx 21121 f xf xfxxx 若有 12 ,x xi 21121 f xf xfxxx 令 則 312 1xxx01 13122121 1,xxxxxxxx 對有： 13 ,x xi 13313 f xf xfxxx 3312 1f xfxxx 對有： 23 ,x xi 233233321 f xf xfxxxf xf

9、xxx 從而： 13312 23321 12312 1 111 11 f xf xf xxx f xf xfxxx f xf xf xfxx 即在 是凸函數(shù). f xi 定理3 如果函數(shù)在上有存在二階導函數(shù),若對 f x( , )a b fx ，有，則函數(shù)在上是一個凸函數(shù).,xa b 0fx f x( , )a b 證明：在區(qū)間內(nèi)任取兩點，令( , )a b 1212 ,x xxx 12 0120 20 2 xx xxxx 即 函數(shù)在的泰勒公式是 f x 0 x 2 0000 1 2 f xf xfxxxfcxx 0 cxx是與之間 當時： 1 xx 2 10010110 1 2 f xf x

10、fxxxfcxx 10 xcx 當時 2 xx 2 20020220 1 2 f xf xfxxxfcxx 02 xcx 22 1200120110220 22 0110220 1 22 2 1 2 2 f xf xf xfxxxxfcxxfcxx f xfcxxfcxx 有,xa b 0fx 12 0,0,fcfc 即 22 110220 0fcxxfcxx 于是或，因此內(nèi) 12 2f xf xf x 12 0 2 f xf x f x ,fxa b在 是凸函數(shù). 定理4 （極值的第二充分條件）設在點的某鄰域 f x 0 x 內(nèi)一階可導，在處二階可導，且，. 0; u x 0 xx 0 0f

11、x 0 0fx 1）若，則在取得極大值. 0 0fx f x 0 x 2）若，則在取得極小值. 0 0fx f x 0 x 2 證明： 1） 由于 ， 000 0lim/fxfxfxxx 故存在一個的鄰域，在此鄰域內(nèi)有： 0 x 0; u x 00 /0fxfxxx 當時，有，則必須大于 0，即 0 xx 0 0 xx 0 fxfx 0 0fxfx 因此在的左鄰域內(nèi)單調(diào)遞增，即 f x 0 x 0 f xf x 當時，同理可知道在的右鄰域內(nèi)遞減，有 0 xx f x 0 x 0 f xf x 故當時，有在取得極大值. 0 0fx f x 0 x 同理可證 2）. 4.函數(shù)凸性在經(jīng)濟學中的應用

12、4.1 凸函數(shù)在經(jīng)濟函數(shù)曲線分析中的應用 4.1.1 無差異曲線的凸性分析 無差異曲線用來表示消費者偏好相同的兩種商品的所有組合.如 下圖所示，橫軸和縱軸分別表示商品1的數(shù)量 和商品2的數(shù)量 ，曲xy 線、分別表示兩條不同商品組合的無差異曲線. 1 l 2 l 曲線是連續(xù)的，并在 軸上的具有二階導數(shù)，二階導數(shù)又是大 1 lx 于零的，所以無差異曲線是凸函數(shù). 從上圖可以明顯地看出，無差異曲線的斜率為負值,而且無差異 曲線斜率的絕對值是遞減的.商品的邊際替代率遞減規(guī)律決定了無差 異曲線具有這樣的特征.下面介紹一下邊際替代率遞減規(guī)律. 商品1對商品2的邊際替代率的定義公式為： 2 12 1 x m

13、rs x 式中和分別表示為商品1和商品2的變化量. 1 x 2 x 當商品數(shù)量的變化趨于無窮小時，則商品的邊際替代率公式為： 1 22 12 0 11 lim x xdx mrs xdx 從上式可以看出，無差異曲線上某一點的邊際替代率就是無差異曲 線在該點上的斜率的絕對值. 利用上圖來具體說明商品的邊際替代率遞減規(guī)律和無差異曲線 形狀之間的關系.在圖中，當消費者沿著既定的無差異曲線由 點ua 運動到 點時，商品1的增加量為10，相應的商品2的減少量為20.這b 兩個變量的比值的絕對值為.在圖中，由于無差異曲線是凸 2 1 2 x x 函數(shù)，并且斜率是負的，這就保證了當商品1的數(shù)量一單位一單位地

14、 逐步增加時，即由點 經(jīng) 、 、 運動到 的過程中，每增加一單位abcde 的商品1所需放棄的商品2的數(shù)量是遞減的，也就是說兩個變量的比 值的絕對值是逐漸減小的. 這就是在兩商品的代替過程中普遍存在的邊際曲線代替率遞減 規(guī)律.隨著一種商品的消費數(shù)量的逐步增加，消費者想要獲得更多的 這種商品的愿望就會遞減，從而他為了多獲得一單位的這種商品而 愿意放棄的另一種商品的數(shù)量就會越來越少. 3 經(jīng)濟活動中，我們可以根據(jù)市場調(diào)查利用無差異曲線和預算線 等的關系來得到商品的需求曲線，廠商會根據(jù)需求曲線獲得最大的 利潤的生產(chǎn)組合，而消費者也可以得到最滿意的商品組合.所以利用 凸函數(shù)的性質(zhì)描繪無差異曲線在買賣雙

15、方的交易活動中起到很大的 作用. 4.1.2 生產(chǎn)函數(shù)曲線的凸性分析 短期生產(chǎn)函數(shù)表示在資本投入量固定時，由資本投入,qf l k 量變化所帶來的最大產(chǎn)量的變化.由該生產(chǎn)函數(shù)可以得到相應的資本 總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量相互之間的關系，它們的定義公式分 別為： , , kk kkk tpl ktpl k tpf l kapmp kk 或者 0 , lim kk k k tpl kdtpl k mp kdk 根據(jù)三者的定義，可以繪制下圖中的函數(shù)圖像來表示三者的關 系.圖中的橫軸表示可變要素勞動的投入量 ，縱軸表示產(chǎn)量， l q 、三條曲線順次表示勞動的總產(chǎn)量曲線、平均產(chǎn)量曲線tpapmp 和邊際

16、產(chǎn)量曲線. 由圖可以清楚地看到，對一種可變生產(chǎn)要素的生產(chǎn)函數(shù)來說， 邊際產(chǎn)量遞減規(guī)律決定了邊際產(chǎn)量表現(xiàn)出先上升而最終下降的特征. 根據(jù)邊際產(chǎn)量的定義公式可知，過曲線任何 , l l dtpl k mp dl l tp 一點的切線的斜率就是相應的值. l mp 曲線在的斜率大于零. 曲線的一階導數(shù)即為曲線 l mp 1 0l l mp l tp 的二階導數(shù).所以曲線在階段的二階導數(shù)大于零，即在 l tp 1 0l l tp 階段為凸函數(shù).也就是說，邊際產(chǎn)量曲線，在階段上升， 1 0l l mp 1 0l 達到最大值后，然后再下降.所以相應的總產(chǎn)量曲線的斜率先是 l tp 遞增的，在到達拐點，然后

17、再遞減. 1 l 通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)：根據(jù)在邊際報酬曲線遞減規(guī)律作用下 的邊際產(chǎn)量曲線先上升，最終下降的特征，可以先描繪出曲 l mp l mp 線.由總產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量之間的關系可以描繪出曲線的圖象.最后 l tp 由平均產(chǎn)量和總產(chǎn)量之間的關系描繪出曲線的圖象.凸函數(shù)在描 l ap 述三者關系中間發(fā)揮了很大的作用，利用函數(shù)凸性可以描繪出生產(chǎn) 函數(shù)圖象.估算和研究生產(chǎn)函數(shù)，對于經(jīng)濟理論實踐和生產(chǎn)實踐又是 前提. 以上兩種經(jīng)濟曲線的凸性分析，從數(shù)學的角度使我們對常見的 經(jīng)濟現(xiàn)象有了更加深入的理解.經(jīng)濟教材中復雜的經(jīng)濟曲線，通常具 有一定的凸性，所以掌握了這種分析方法，對以后的經(jīng)濟問題探索 有很大

18、的幫助. 4 4.2 凸函數(shù)在經(jīng)濟優(yōu)化中的應用 在經(jīng)濟生產(chǎn)過程中，為了提高經(jīng)濟資源配置效率，使用最少的 資源和能源，達到獲得最大的經(jīng)濟效益的目的.廠商會進行預算估計， 建立起利潤，成本和價格之間的關系函數(shù)，然后利用凸函數(shù)求極值 的方法來解決利潤最大、成本最小的問題.函數(shù)的極值是根據(jù)定理 4 極值的充分條件求得的.由定理 4 可知，可導函數(shù)的二階導數(shù)大于零 即為凸函數(shù)，則在穩(wěn)定點取得的函數(shù)值為極小值；可導函數(shù)的二階 導數(shù)小于零即為凹函數(shù)，則在穩(wěn)定點取得的函數(shù)值為極大值. 4.2.1 利潤最大問題 利潤最大化問題的求解取決于廠商的需求函數(shù)、成本函數(shù)以及 生產(chǎn)組合情況，它們之間存在一定的函數(shù)關系.這

19、個函數(shù)若是凸（凹） 函數(shù)的話，就滿足了凸（凹）函數(shù)的性質(zhì).可以用定理 4 中求極值的 充分條件，得到生產(chǎn)關系中利潤函數(shù)的最大值. 例 1 北京一家商場的某商品的需求函數(shù)為（p 的1200080qp 單位為元） ；該商品的總成本函數(shù)為;且每件商品需要2500050cq 納稅 2 元，求出使銷售利潤最大的產(chǎn)品單價和最大利潤額. 解 該商品的收入函數(shù)為 ， 12000802r ppp 將代入得出總成本函數(shù)1200080qp2500050cq 2500050 12000806250004000c ppp 則利潤函數(shù)為 l pr pc p 2 120008026250004000801616064900

20、0ppppp 由得,又因為，則 160161600l pp 101p 1600lp 時，根據(jù)定理 3，為凹函數(shù)，則在處取得極大值，101p l p101p 由于是唯一的極值點，所以是最大值，當單價為 101 元時，銷售利 潤取得最大，最大利潤為元.101167080l 在解決最大利潤問題時，先找到利潤和其它生產(chǎn)要素之間的函 數(shù)關系式，對利潤函數(shù)求一階導數(shù)，得到利潤函數(shù)的穩(wěn)定點.再求利 潤函數(shù)的二階導數(shù)，從而判斷利潤函數(shù)是否為凹函數(shù),根據(jù)推論求得 的利潤函數(shù)是凹函數(shù)，則在穩(wěn)定點的函數(shù)值即為極大值,即利潤最大 值.這樣就把經(jīng)濟問題轉(zhuǎn)化為了數(shù)學中常見的函數(shù)問題，經(jīng)濟中最優(yōu) 化問題看成簡單的凸函數(shù)求極

21、值的問題，這樣可以使問題簡單化， 便于理解. 4.2.2 成本最小問題 下面看一下成本最小問題. 例 2 要做一個容量為的圓柱形飲料罐，當罐子的底半徑 3 500cm 為多少時，才能最省材料. 解： 設飲料罐的高為 ，底半徑為 ，則表面積，hr 2 22srrh 由體積得，帶入可得 2 500vr h 2 500 h r ， 2 1000 2sr r 由得，又因為，可知 為凸函數(shù)， 2 1000 4sr r 4.3r 2000 40s r s 則當時， 取得極小值，只有一個極小值點，既是最大值.當4.3r s 底半徑為 4.3cm 時，用的材料最少. 求成本最小問題時，首先建立起函數(shù)關系式，根

22、據(jù)定理 4 極值 的第二充分條件，判斷函數(shù)關系式是凸函數(shù)，所以在穩(wěn)定點求的函 數(shù)值為極小值，即成本最小值.利用凸函數(shù)求極值來解決這類問題， 可以在經(jīng)濟活動中節(jié)省資源，避免浪費. 4.2.3 最佳庫存問題 在生產(chǎn)與銷售管理中，庫存量一定要適度，庫存太少，會造成 供不應求，失去時機；庫存太多，又會出現(xiàn)資金積壓或貨物過期等 狀況，生產(chǎn)廠家或銷售公司要想維持正常的生產(chǎn)和銷售,管理者必須 確定物資的庫存量，即何時補充庫存，應該補充多少等.可以把庫存 問題轉(zhuǎn)換化為函數(shù)關系表示，然后用凸函數(shù)求極值解決最佳庫存問 題. 例3 武漢某公司的a產(chǎn)品年銷售量為10萬件，假設這些產(chǎn)品分成 若干批生產(chǎn)，每批需生產(chǎn)準備費

23、100元；并假設產(chǎn)品的平均庫存量為 批量的一半，且每件產(chǎn)品庫存一年需庫存費005元.現(xiàn)想要使每年 生產(chǎn)所需的生產(chǎn)準備費與庫存費之和為最小，則每批的生產(chǎn)量是多 少最合適. 解： 設每年的生產(chǎn)準備費與庫存費之和為，批量為 ，則wx ， 7 10000010 1000.05 240 xx w x xx 由得，又因為，可知 7 3 2 10 0wx x 4 2 10 x 7 3 2 10 0wx x 是凸函數(shù).所以當時去的極小值，且是唯一的極 w x 4 2 10 x w x 小值，即為最小值,所以當每批生產(chǎn)2萬件時最合適,使得每年生產(chǎn)所 需的生產(chǎn)準備費與庫存費之和為最小. 解決經(jīng)濟學中的優(yōu)化問題，可

24、以歸結為求某個函數(shù)的最值問題. 步驟為： （1）分析經(jīng)濟問題，列出目標函數(shù)關系式； （2）對函數(shù)關系式求一階導數(shù)，并令其為零，求出穩(wěn)定點； （3）對函數(shù)關系式求二階導數(shù)，判斷函數(shù)是否是凸函數(shù).若為凸 函數(shù)，則在穩(wěn)定點求的函數(shù)值為極小值；若為凹函數(shù)，則在穩(wěn)定點 求的函數(shù)值為極大值. （4）當確定該問題存在最大值或最小值時，判定所求的極值點 若是唯一的，則函數(shù)在該駐點處取得最值.最終求得經(jīng)濟中的利潤最 大，成本最小問題. 5 4.3 凸函數(shù)在風險態(tài)度中的應用 期望效用函數(shù)是商家們很關心的一個指標，所謂期望效益函數(shù) 就是用來刻畫經(jīng)濟活動者在不確定環(huán)境下決策的函數(shù)，它在一般情 況下是凹函數(shù). 設某經(jīng)濟

25、活動者的期望效益函數(shù)為單變量函數(shù).不妨設這里( )u x 自變量的含義就是收入.假設為兩種可能的收入；得到 的概,0 x y x 率為，而得到 的概率為.記這樣的事件為，那么由期py(1)p( , , )x y p 望效用函數(shù)的定義，可得到這一事件的效用為： ( , , )( )(1) ( )u x y ppu xp u y 此經(jīng)濟活動者對這一事件中所包含的風險的態(tài)度可由( , , )x y p 與的比較來刻畫.若，( , , )u x y p(1) )u pxp y(1) )( , , )u pxp yu x y p 則稱該經(jīng)濟活動者為風險中性者.如果，那(1) )( , , )u pxp

26、yu x y p 么稱該經(jīng)濟活動者為風險厭惡者.如果，那(1) )( , , )u pxp yu x y p 么稱該經(jīng)濟活動者為風險愛好者. 與以上的分析相對應，消費者的風險態(tài)度也可以根據(jù)消費者的 效用函數(shù)的特征來判斷.一個人是風險厭惡的充要條件是他的效用函 數(shù)為凹函數(shù).因此，判斷一個人是不是風險厭惡者，只需要驗證其效 用函數(shù)是不是凹函數(shù).在判斷一個人是不是風險愛好者，只需要驗證 其效用函數(shù)是不是凸函數(shù).消費者對待風險的態(tài)度，影響著消費者在 不確定情況下的行為決策.如下圖所示 圖中效用曲線上的任意兩點間的弧都高于這兩點間的弦.由函數(shù) 的凹凸性判斷，該函數(shù)是凹函數(shù)，且斜率大于零.根據(jù)消費者的效用 曲線，消費者在無風險條件下持有一筆確定的貨幣財富量的效 u x 用相當于的高度，而擁有一張具有風險的期望效用1u pxp ya 相當于圖中的高度.顯然點高于點.所以，圖 1pu xp u ybab 中的效用函數(shù)滿足風險回避者的判斷條件.如果從函數(shù)的圖像來 u x