巧用質心和質心系求解競賽題

1、巧用質心和質心系求解競賽題 應用質心和質心系解答競賽題是一中重要的解題方法。特別是系統(tǒng)所受外力為零時，質心做勻速直線運動，抓住這個特點來求解有關力學問題往往能化難為易，化繁為簡。下面舉例說明。 例1、如圖，一水平放置的圓環(huán)形剛性套槽固定在桌面上。槽內嵌著三個大小相同的剛性小球，它們的質量分別為、，其中，小球與槽壁剛好接觸，而它們之間的摩擦可以忽略不計。開始時三球處在槽中I 、II、III的位置，彼此之間距離相等，、靜止。以初速度沿槽運動，R為圓環(huán)的內半徑和小球半徑之和。設各球間的碰撞皆為彈性碰撞。求此系統(tǒng)的運動周期T。 分析與解答： 此題的常規(guī)解法是逐一應用動量守恒，找出系統(tǒng)的運動規(guī)律。從而求

2、出周期。該方法比較麻煩。如果注意到三個小球在運動過程中在圓的切線方向不受力。故可以認為系統(tǒng)的質心作勻速圓周運動。系統(tǒng)運動一個周期，即質心運動一個圓周。設質心的速率為 ，所以周期 例2、在光滑水平面上有兩個質量均為m的物體A和B，B上有一勁度系為k的輕彈簧。物A以速度向靜止的物體B運動，并開始壓縮彈簧，求：從開始壓縮彈簧到最大壓縮量過程中物體B的位移。 分析與解答： 先求出彈簧的最大壓縮量。當兩物體速度相等時，彈簧壓縮量最大。此時兩物體速度為v設最大壓縮量為。由動量守恒和能量守恒得： （1） （2） 由（1）（2）得： 在運動過程中相對于地面來說。A、B兩物體都做復雜的變加速運動。現(xiàn)在以質心為參

3、考系來研究A、B兩物體的運動規(guī)律。注意到系統(tǒng)不受外力，質心做勻速直線運動。其中質心位于AB兩物體的中點處，質心速度。在質心系中，A、B兩物體相對質心C的初速度：，； 由于質心位于AB兩物體連線的中點處。故可以將彈簧等效為兩根一樣的彈簧串聯(lián)，勁度系數(shù)都為2k，AB兩物體在兩彈簧的作用下相對質心做對稱的簡諧運動，兩物體相對質心C的振動周期都為T，且。當彈簧壓縮量最大時，兩物體相對質心C運動的距離都是 由于兩物體振動的起始位置都是平衡位置，故運動的時間； 所以，B物體對地的位移： 例3用長為l=1m的不可伸長的彈性輕繩系上同樣的小球使它們靜止在光滑的水平面上，開始彈性輕繩松弛彼此相距0.5m，現(xiàn)使其

4、中一個小球沿垂直于兩球球心連線方向，以速度運動。求經(jīng)過3min時兩球的速度為多少？ 分析與解答： 系統(tǒng)不受外力，系統(tǒng)的質心做勻速直線運動，速度?，F(xiàn)以質心為參考系，兩球最初開始相對質心以速率向左和向右運動。經(jīng)過，彈性繩第一次拉直。拉直的瞬間，遵循彈性碰撞的規(guī)律，在垂直于彈性繩方向上的分速度不變。由于兩球質量相同，沿彈性繩方向分速度大小不變，方向反向。如此反復，這相當于小球在以繩長為直徑的“圓筒”中發(fā)生彈性碰撞，“碰撞”前后小球速度類似“光反射”定律。碰后兩球以沿各自方向勻速運動，到再次拉直，又“碰撞”，如次循環(huán)?？傻弥獌汕蜓剡呴L的正三角形邊勻速運動。 在質心系中，經(jīng)過，球1運動了的路程。由： 。可得經(jīng)過，兩球相對質心位置如圖所示，即和位置，速度方向如圖。球2對地的速度：，。方向與質心運動方向成角。故； 球1對地的速度：，方向與質心運動方向成，故 例4、質量為M的粒子A以速度運動，與質量為m的靜止B粒子發(fā)生彈性碰撞，設Mm。求A粒子在碰撞后，相對于原運動方向最大偏角。 分析與解： 選質心為參考系，質心速度，且質心速度不變。在質心系中，A的初動量；B粒子的初動量：； 在質心系中，碰后兩個粒子動量分別，。由動量守恒和能量守恒有： （1） （2） 得：；可知A粒子在質心系中速度大小保持