曲線擬合的數(shù)值分析方法研究

1、曲線擬合的數(shù)值分析方法研究李雲(yún)(天津大學(xué)化工學(xué)院 1014207124)曲線的數(shù)據(jù)擬合，通常也被稱為離散數(shù)據(jù)的曲線擬合，是求近似函數(shù)的又一類數(shù)值分析方法，指的是給定函數(shù)y=u(t)的一組觀察值(t)(i=0,1,m) 選定一組簡(jiǎn)單函數(shù)？?(?)?(k=0,1,作為基函數(shù)，通過確定擬合模型?)? = ?(?)?+ ?(?+ ? + ?(?的待定參數(shù) Xk,使 f(t)與觀察值(ti,yi)(i=0,1,在總體上盡可能接近。它不要求近似擬合函數(shù)經(jīng)過所有的已知點(diǎn)， 只要求盡可能的反映出給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的基本走勢(shì)。 在某種意義下與實(shí)際問題最 逼近。這是用解析表達(dá)式逼近離散數(shù)據(jù)的一種求解方法。在幾何上，擬合是

2、 指在平面或空間中找到合適的曲線或曲面來最大限度地逼近已知的離散數(shù) 據(jù)點(diǎn)。曲線的數(shù)據(jù)擬合應(yīng)用非常廣泛。人們對(duì)某一未知領(lǐng)域的研究，為了探索 其內(nèi)在的規(guī)律，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型， 而模型中往往含有某些待定的參數(shù)， 要確定這些參數(shù)，就要用到數(shù)據(jù)擬合。因此數(shù)據(jù)擬合方法的全面研究對(duì)科學(xué) 計(jì)算具有積極的現(xiàn)實(shí)意義 1。1 數(shù)值磨光方法 2針對(duì)外形自動(dòng)設(shè)計(jì)提出的曲線擬合問題 數(shù)值磨光方法， 實(shí)現(xiàn)的步驟 大體上是：首先對(duì)原設(shè)計(jì)型值(離散數(shù)據(jù))進(jìn)行修改得到我們稱呼的 “盈虧 型值”再將盈虧型值點(diǎn)連成折線，然后對(duì)此折線以曲pline (樣條)函數(shù)為核進(jìn)行積分便得到擬合曲線的表達(dá)式，這時(shí)擬合曲線是一種樣條，樣條函數(shù)

3、的次數(shù)k是任意的，但我們主要針對(duì)實(shí)用上常用的k=2和3的情形討論。對(duì) 一般外形設(shè)計(jì)任務(wù)，往往提出三個(gè)要求：精確性、光滑性和凹凸性。但是精確性與凸性的要求，則常常顧此失彼，應(yīng)該保住凸性，在此基礎(chǔ)上再來改進(jìn)精度，從而滿足上述三點(diǎn)要求。對(duì)給定的型值點(diǎn)Ai，首先將它們聯(lián)成折線，利用一次樣條函數(shù)Qi(x),可將此折線統(tǒng)一表達(dá)為?=刀?(? ?)?=1磨光后的按段為k+2次的多項(xiàng)式曲線:?+i(?)=?1 o ? ? ?/ ?()刀臨仏二?=1oooo?1 o ? ? ? ?=?刀?/ ?(?v?) ?詆二?二)?-oo?=1? ?+11(?+ 2)!?S+ 1刀？ 刀(-1 )?( ?) ?=1 ?=0

4、 2最小二乘法實(shí)際中通過觀測(cè)所給的數(shù)據(jù)是有誤差的。如果要求近似函數(shù)通過全部的 離散點(diǎn)，相當(dāng)于保留了全部的實(shí)驗(yàn)誤差，這是不合理也是不準(zhǔn)確的。解決數(shù) 據(jù)擬合問題的常用方法是最小二乘法。最小二乘問題是：根據(jù)實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得 到量x與y的一組數(shù)據(jù)對(duì)(Xi,yi) (i=0,1,，其中Xi互不相同。從觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì) (Xi,yi) (i=0,1,中n找到自變量x與因變量y之間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式y(tǒng)=f(x,c), 作為擬合模型，使得求解得到的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和最小，來 逼近實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)。C=(Co,G,，代表一些待定系數(shù)。若C在近似函數(shù)表 達(dá)式中線性出現(xiàn)時(shí)，近似函數(shù)表達(dá)式f(x,c)稱為線性擬合，否則近

5、似函數(shù)表達(dá)式為非線性擬合。一般情況下，通過求解線性方程組可以得到線性擬合的 結(jié)果，通過求解非線性方程組或數(shù)值優(yōu)化法求解非線性擬合?；谧钚《?意義的數(shù)據(jù)擬合包括多項(xiàng)式擬合，最小二乘擬合。2.1多項(xiàng)式擬合對(duì)給定的數(shù)據(jù)組(X)(i=0,1,，假設(shè)有多項(xiàng)式構(gòu)成的函數(shù)類 ，并且函數(shù)次數(shù)均不超過 m(mc n)。求多項(xiàng)式?(?=馬?=0? ?使得? ?刀(?(?- ?2 =刀(刀?- ?2?=0?=0 ?=0誤差的平方和達(dá)到最小，則稱fm(x)為多項(xiàng)式擬合函數(shù)多項(xiàng)式擬合方法一般可以歸納為以下幾個(gè)步驟：(1) 擬合出求解函數(shù)的近似曲線或曲面，選用恰當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式表達(dá)形式。 一般可以通過描點(diǎn)觀察或經(jīng)驗(yàn)估計(jì)得到

6、。(2) 列表計(jì)算馬?=0?和 馬?=0?巫?= 0,1,2?(3) 寫出正規(guī)的方程組，求出系數(shù) a。,，ai,，an。(4) 寫出擬合多項(xiàng)式?(?=馬?=0?。當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)較多時(shí)，只采用一種多項(xiàng)式曲線函數(shù)擬合所有數(shù)據(jù)點(diǎn)難以取得較好的擬合效果。為解決以上問題，一般采用分段曲線擬合，得到了三次曲 線擬合表達(dá)式為Wt = (3X+4X1- X2)+t + 0 一 2X1 + 昵)122.2最小二乘擬合最小二乘法又稱最小平方法，是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它的基本思想是通 過最小化誤差的平方和，尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。這種求擬合函數(shù)的方法 稱為最小二乘擬合法。利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知數(shù)據(jù)，并使得這 些求

7、解得到的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)誤差的平方和最小。 最佳的匹配函數(shù)稱為已知 數(shù)據(jù)的最小二乘擬合函數(shù)。 最小二乘擬合可分為線性最小二乘擬合和非線性 最小二乘擬合。1.線性最小二乘擬合設(shè)給定的離散數(shù)據(jù)組(x)(i=0,1,；,W0(x), wi(x),，wn(x)為已知的一組a,b上線性無關(guān)的函數(shù)，選取近似函數(shù)為?( ?) = ?0?0 ( ?) + ?1 ?1 ( ?) + ?2 ?2 ( ?) + ? + ? ?( ?)使得：?刀？?？?- ?2 =刀?刀？?(？?- ?2 = ?2? ?0?) - ?2?=1?=1?=0?=1取得最小。其中 y0 (i=1,2,.,n)為權(quán)系數(shù)，？?為wo(x), w

8、i(x)，Wn(X)的線性組合的全體，這就是線性最小二乘擬合方法的一般形式。特別的取Wk(x)=xk(k=0,1,(時(shí))，這時(shí)的最小二乘擬合為多項(xiàng)式擬合。2.非線性最小二乘擬合 非線性最小二乘擬合是待定系數(shù)的非線性函數(shù)，其求解過程比較復(fù)雜。與線性最小二乘法求解相比， 它不能用求多元函數(shù)極值的方法來得到參數(shù)估 計(jì)值，而需要采用復(fù)雜的優(yōu)化算法來求解。主要的求解算法有兩類，一類是 搜索算法，另一類是迭代算法。常用的搜索方法有單純形搜索法、復(fù)合形搜 索法、隨機(jī)搜索法等。常用的迭代算法有牛頓 -拉夫森法、高斯迭代算法、 麥夸特算法、變尺度法等。參考文獻(xiàn)1 鄭文模型數(shù)據(jù)的擬合J.重慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2005, 14(4):143-144.2 齊東旭，田自賢，張玉心，等.曲線擬合的數(shù)值磨