八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)矩形

1、八年級(jí) 下冊(cè) 18.2.1 矩形 1理解矩形的概念，明確矩形與平行四邊形的區(qū)別 與聯(lián)系； 2探索并證明矩形的性質(zhì)，會(huì)用矩形的性質(zhì)解決簡(jiǎn) 單的問(wèn)題； 3探索并掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊 的一半”這個(gè)定理 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn) 1 重點(diǎn) 矩形的性質(zhì) 2 難點(diǎn) 矩形的性質(zhì)的靈活應(yīng)用 觀察思考 有一個(gè)角是直角 的平行四邊形叫做矩 形 小學(xué)中學(xué)習(xí)過(guò)的 長(zhǎng)方形是矩形嗎？正 方形是矩形嗎？ 常見(jiàn)的矩形有哪些？ 平行四邊形的性質(zhì)： B C D A O （1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等； （2）平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)； （3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分. 類比思考 探究性質(zhì) 猜想

2、： 1 四個(gè)角都是直角 2 對(duì)角線相等 類比思考 探究性質(zhì) 作為特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形所有 的性質(zhì)此外，矩形還有哪些一般平行四邊形沒(méi)有的特 殊性質(zhì)呢？ B C D A O O B C D A 已知：A=B=C=D=90 求證：四邊形求證：四邊形ABCD是矩形 D C B A 證明： A=B=C=D=90 AB/CD AD/BC 四邊形ABCD是平行四邊形 有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形 平行四邊形ABCD是矩形 類比思考類比思考 探究性質(zhì)探究性質(zhì) 已知：四邊形ABCD是矩形，求證： AC = BD A B C D 證明：在矩形ABCD中 有ABC = DAB = 90 BC

3、= AD 又AB = BA ABCBAD AC = BD 類比思考 探究性質(zhì) 邊 角 對(duì)角線 對(duì)稱性 平行四 邊形 矩形 對(duì)邊平行 且相等 對(duì)角相等 鄰角互補(bǔ) 對(duì)角線互 相平分 中心對(duì) 稱圖形 對(duì)邊平行 且相等 四個(gè)角 為直角 對(duì)角線互相 平分且相等 中心對(duì)稱圖形 軸對(duì)稱圖形 O 這是矩形所 特有的性質(zhì) 類比思考 探究性質(zhì) A B C D O 類比思考類比思考 探究性質(zhì)探究性質(zhì) 如圖，一張矩形紙片，沿著對(duì)角線剪去一半，你能得到如圖，一張矩形紙片，沿著對(duì)角線剪去一半，你能得到 什么結(jié)論？ B C O A RtABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長(zhǎng)度與斜是一條怎樣的線段？它的長(zhǎng)度與斜 邊邊AC有什

4、么關(guān)系？一般地，這個(gè)結(jié)論對(duì)所有直角三角形有什么關(guān)系？一般地，這個(gè)結(jié)論對(duì)所有直角三角形 都成立嗎？ 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 已知：在已知：在RtABC中，中，ABC=90 0， ，BO是是AC上的中線上的中線. 求證: BO = AC O C B A D 證明證明: 延長(zhǎng)延長(zhǎng)BO至至D,使使OD=BO, 連結(jié)連結(jié)AD、DC. AO=OC, BO=OD 四邊形ABCD是平行四邊形. ABC=90 0 ABCD 是矩形 AC=BD 1 2 1 2 BO= BD= AC 2 1 類比思考 探究性質(zhì) 類比思考 探究性質(zhì) 三位學(xué)生正在做投圈游戲，他們分別站

5、在一個(gè)直角三位學(xué)生正在做投圈游戲，他們分別站在一個(gè)直角 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處，目標(biāo)物放在斜邊的中點(diǎn)處三個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處，目標(biāo)物放在斜邊的中點(diǎn)處三個(gè) 人的位置對(duì)每個(gè)人公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由人的位置對(duì)每個(gè)人公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 A B C O 直角三角形斜邊上的 中線等于斜邊的一半 解：解：四邊形四邊形ABCD是矩形 AC AC與與BD相等且互相平 分 OA=OB. OA=OB. 又AOB=60， OAB是等邊三角形. OA=AB=4. OA=AB=4. 運(yùn)用性質(zhì) 解決問(wèn)題 例例1 如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) O， 且AOB=60，AB=4 cm求矩形對(duì)角線的長(zhǎng) A B

6、 C D O 小結(jié):如果矩形兩對(duì)角 線的夾角是60或120, 則其中必有等邊三角形 . 運(yùn)用性質(zhì) 解決問(wèn)題 例例2 2 如圖，矩形如圖，矩形ABCD中，AB長(zhǎng)長(zhǎng)8cm，對(duì)角線比 AD邊長(zhǎng)4cm。求AD的長(zhǎng)及點(diǎn)的長(zhǎng)及點(diǎn)A到到BD的距離AE的長(zhǎng)的長(zhǎng) 解：設(shè)解：設(shè) AD=X AD=X cm,則對(duì)角線 長(zhǎng)（X+4）cm,在RtABD中， 由勾股定理，得 X X2+82=(X+4)2,2+82=(X+4)2,解得解得 X=6 X=6， 即AD=6cm.由 AE*DB=AD*AB, 解得 AE=4.8cm AE=4.8cm 分析：矩形的四個(gè)角都是直 角，直角三角形斜邊上的高， 面積公式 運(yùn)用性質(zhì) 解決問(wèn)題

7、 例例3 如圖，矩形ABCD中，中，E是是BC上一點(diǎn)， DFAE于于F，若AE=BC 。求證：CE=EF. 解：四邊形ABCD是矩形 B=90，且ADBC 1=2 DFAE ,AFD=90 B=AFD. 又 AD=BC=AE， ABE DFA(AAS) AF=BE. EF=EC. 分析： 方法1：證明 ABE DFA 方法2：連接DE 證明 DEF DEC 矩形具有而一般平行四邊形不 具有的性質(zhì)是 ( ) B.對(duì)邊相等 A.對(duì)角相等 C.對(duì)角線相等 D.對(duì)角線互相平分 C 練習(xí)1 1 已知:四邊形ABCD是矩形 1.若已知AB=8，AD=6， 則AC_ OB=_ 2.若已知 DOC=120，A

8、C8， 則AD= _cm AB= _cm 練習(xí)2 2 O D C B A 10 5 4 34 3.已知ABC是Rt，ABC=90 0， BD是斜邊AC上的中線 (1)若BD=3 則AC (2) 若C=30，AB5， 則AC ， BD . D C B A 6 10 5 練習(xí)3 3 練習(xí)4 如圖：O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)， AE平分 BAD，AOD=120 0 求AEO的度數(shù) 解：在矩形ABCD中 OA=BO=CO=DO,BAD =90， AOD=120AOB=60 AOB是等邊三角形. AB=OB.AE平分BAD BAE=45 BEA=45 BE=AB BO=BE 易得 OBE=30 BO

9、E=BEO=75, AEO=BEO-AEB=75-45=30 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 矩形是軸對(duì)稱圖形，連接對(duì)邊中點(diǎn)的直線是它的兩 條對(duì)稱軸 課堂小結(jié) 矩形 矩形的對(duì)邊平行且相等；矩形的對(duì)邊平行且相等； 矩形的四個(gè)角都是直角； 矩形的對(duì)角線相等且互相平分 矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形 矩形的判定矩形的判定 教學(xué)目標(biāo) 1掌握矩形的兩個(gè)判定定理，能根據(jù)不同掌握矩形的兩個(gè)判定定理，能根據(jù)不同 條件，選取適當(dāng)?shù)亩ɡ磉M(jìn)行推理計(jì)算； 2經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過(guò)程，經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過(guò)程， 滲透類比思想，體會(huì)類比學(xué)習(xí)和圖形判定 探究的一般思路探究的一般思路 重點(diǎn)難點(diǎn)

10、重點(diǎn)難點(diǎn) 1 重點(diǎn) 矩形的判定 2 難點(diǎn) 矩形的判定定理及性質(zhì)的綜 合應(yīng)用 四邊形 平行 四邊形 一個(gè)角 是直角 矩形 平行四邊形 矩形 四邊形 課前熱身課前熱身 1、矩形的四個(gè)內(nèi)角都是_。 2、矩形的對(duì)角線_且 _。 直角 相等 互相平分 3、矩形是_對(duì)稱圖形。 軸對(duì)稱和中心 4、在直角三角形中，_角所對(duì)的直角 邊等于斜邊的_。 5、在直角三角形中，斜邊上的_等于 斜邊的_。 30 一半 中線 一半 測(cè)量？ 木工朋友在制作窗框后，需 木工朋友在制作窗框后，需 要檢測(cè)所制作的窗框是否是矩要檢測(cè)所制作的窗框是否是矩 形，那么他需要測(cè)量哪些數(shù)據(jù)，形，那么他需要測(cè)量哪些數(shù)據(jù)， 其根據(jù)又是什么呢？其根

11、據(jù)又是什么呢？ 矩形的判定方法1： 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形. 在 ABCD中 B=90 四邊形ABCD是矩形 A B C D 有一個(gè)角是直角 有兩個(gè)角是直角 有三個(gè)角是直角 的 四邊形是矩形嗎？ 李芳同學(xué)用“邊直角、 邊直角、邊直角、邊” 這樣四步，畫(huà)出了一個(gè)四邊形， 她說(shuō)這就是一個(gè)矩形。猜想她判 斷的依據(jù)？ 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 你能證明上述結(jié)論嗎？ A B D C 已知：在四邊形ABCD中， A=B=C=90 求證：四邊形ABCD是矩形。 A B C D 證明： A=B=90 A+B=180 ADBC 同理可證：ABCD 四邊形ABCD是平行四邊形 又 A=90 四邊形A

12、BCD是矩形 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 A B C D A=B=C=90 四邊形ABCD是矩形 符號(hào)表達(dá)式：符號(hào)表達(dá)式： 四邊形 ABCD是平行四邊形， AB=DC且ABCD ABC DCB（SSS） AB/CD 又 四邊形ABCD是 平行四邊形 ABCD是矩形 ABC=DCB 命題：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。 已知：在 ABCD，AC=BD 求證： ABCD是矩形 A B C D 證明: 又BC=CB, 且AC=DB ABC+DCB=180 ABC=DCB=90 A B C D O 四邊形ABCD是平行四邊形 且AC=BD 四邊形ABCD是矩形 對(duì)角線相等

13、的對(duì)角線相等的平行四邊形平行四邊形是矩形是矩形 符號(hào)表達(dá)式：符號(hào)表達(dá)式： 測(cè)量？ 現(xiàn)在你可以幫助木工朋友檢測(cè)所制作的 窗框是否是矩形了吧，你可以測(cè)量哪些數(shù) 據(jù)，有幾種方案，根據(jù)又是什么呢？ 分別測(cè)量出兩組對(duì)邊的長(zhǎng)度和一個(gè)內(nèi)角的 度數(shù)，如果兩組對(duì)邊的長(zhǎng)度分別相等，且 這個(gè)內(nèi)角是直角，則窗框符合規(guī)格 測(cè)量出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，如果三個(gè)內(nèi)角都 是直角，則窗框符合規(guī)格 分別測(cè)量出窗框四邊和兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度， 如果窗框兩組對(duì)邊長(zhǎng)度、兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度 分別相等，那么窗框符合規(guī)格 方案: 方案: 方案: 分別測(cè)量出兩組對(duì)邊的長(zhǎng)度和 一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，如果兩組對(duì)邊的 長(zhǎng)度分別相等，且這個(gè)內(nèi)角是直角， 則窗框符合規(guī)格

14、 方案1: 先用兩組對(duì)邊相等判定是平行四邊再用 定義判定是矩形 測(cè)量出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，如果三 個(gè)內(nèi)角都是直角，則窗框符合規(guī)格 方案2: 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 分別測(cè)量出窗框四邊和兩條對(duì)角 線的長(zhǎng)度，如果窗框兩組對(duì)邊長(zhǎng)度、 兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度分別相等，那么窗 框符合規(guī)格 方案3: 先用兩組對(duì)邊相等判定是平行四邊再用 對(duì)角線相等判定是矩形 分別測(cè)量出一組對(duì)邊的長(zhǎng)度和 這組同旁內(nèi)角的度數(shù)，如果這組對(duì) 邊的長(zhǎng)度相等，且這兩個(gè)內(nèi)角都是 直角，則窗框符合規(guī)格 方案4: 先用一組對(duì)邊平行且相等判定是平行四 邊再用定義判定是矩形 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 。 （對(duì)

15、角線互相平分且相等的四邊形是矩形。） 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 。 方法1： 方法2： 方法3： 1、下列各句判定矩形的說(shuō)法是否正確？、下列各句判定矩形的說(shuō)法是否正確？ （1）有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（）有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（ ） （2）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形；）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形； （ ） （4）對(duì)角線相等的四邊形是矩形；）對(duì)角線相等的四邊形是矩形； （ ） （5）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形（）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形（ ） （3）四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形。（）四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形。（ ） （6）兩組對(duì)邊分別平行，且對(duì)角線相等的四

16、）兩組對(duì)邊分別平行，且對(duì)角線相等的四 邊形是矩形邊形是矩形 ( ) 運(yùn)用性質(zhì) 解決問(wèn)題 2、已知如圖四邊形ABCD 中，ABBC， ADBC，AD=BC ， 試說(shuō)明四邊形ABCD 是矩形。 證明： AD=CB ADCB 四邊形ABCD是平行四邊形 ABBC B=90 ABCD是矩形 A B C D 3、如圖，平行四邊形ABCD中，AB= 6， BC= 8，AC= 10 ， 求證 : 四邊形ABCD是矩形。 D B C A 證明： AB=6,BC=8,AC=10 AB 2+BC2=62+82=100=102=AC2 B=90 又 四邊形ABCD是平行四邊形 ABCD是矩形 4、BD、BE分別是A

17、BC與它的鄰補(bǔ)角的 平分線，AEBE，ADBD， 求證：四邊形AEBD是矩形。 證明： AEBE，ADBD E=90, D=90 BD，BE分別是ABC與它 的鄰補(bǔ)角CBP的平分線 2 1 2 1 1= ABC,2= ABP AEBD是矩形 C B A D E P 1 2 1+2= (ABC+ABP)= 180=90 2 1 2 1 即DBE=90 A O B D C 5、已知如圖四邊形ABCD 中 AO=BO=CO=DO ， 試說(shuō)明四邊形ABCD 是矩形。 證明： AO=BO=CO=DO AO=CO， BO=DO 四邊形EFGH是平行四邊形 即AC=BD 四邊形ABCD是矩形 又AO+CO=

18、BO+DO A B C D E F G H O 6、已知： 矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交 于O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、 DO上的一點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH。 求證：四邊形EFGH是矩形。 證明： 四邊形ABCD是矩形 AO=BO=CO=DO 又 AE=BF=CG=DH OE=OF=OG=OH 四邊形EFGH 是平行四邊形 又EO+OG=FO+OH 即EG=FH 四邊形EFGH是矩形 A B D C H E F G 四邊形ABCD是平行四邊形 DAB+ABC=180 7、如圖， ABCD 四個(gè)內(nèi)角的平分線圍成四邊形 EFGH，猜想四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由 證明： 同理：EFG=90、FGH=90 四邊形EFGH是矩形 AE、BE分別平分DAB、ABC EAB+EBA=90 即AEB=90 HEF=90 A B D C H E F G 8、如圖， ABCD四個(gè)內(nèi)角的平分線圍成四邊形 EFGH，猜想四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由 證明： M P N Q 四邊形ABCD是平行四邊形 ABC=ADC 又AN、DM是ABC、ADC的平分線 ABQ=QBC=ADM=CDM 又ADBC AQB QBC= = ADM