一元二次方程降次法與含參數(shù)方程的解法

1、降次法與含參數(shù)方程的解法 知識點 基本要求 略高要求 較高要求 一元二次方程 了解一元二次方程的 槪念，會將一元二次方 程化為一般形式，并指 出各項系數(shù)；了解一元 二次方程的根的意5C 能由一元二次方程的概 念確定二次項系數(shù)中所 含字母的取值范國；會 由方程的根求方程中待 定系數(shù)的值 一元二次方程的 解法 理解配方法，會用直接 開平方法、配方法.公 式法、因式分解法解簡 單的數(shù)字系數(shù)的一元 二次方程，理解各種解 法的依據(jù) 能選擇恰當?shù)姆椒ń庖?元二次方程：會用方程 的根的判別式判別方程 根的悄況 能利用根的判別式說明含有字母系 數(shù)的一元二次方程根的情況及由方 程根的情況確定方程中待定系數(shù)的 取

2、值范團；會用配方法對代數(shù)式做 簡單的變形；會應用一元二次方程 解決簡單的實際問題 板塊一 一元二次方程的解法 因式分解法的根據(jù)：如果兩個因式的乘積等于0,那么這兩個因式至少有一個為0,反過來，如果兩個因 式中有一個因式為0，那么它們之枳為0，即貝Ij“ = o或b = 0或= b = 0 例如：(2x一lX3 人.)= 0,貝iJ2a一1=0或3-x = 0 兇武沁湃5S元宣廖2逝磁數(shù) 解一元二次方程的思想方法：降次 因式分解法的一般步驟： 將方程化為一元二次方程的一般形式 把方程的左邊分解為兩個一次因式的枳 令每個因式為0,得到兩個一元一次方程 解這兩個一元一次方程得原方程的解 【例1】例如

3、：對于方程3(x-2)2=27,張明的解法如下： 解：方程整理得3(x-2)2=-(x-2) 方程兩邊同時除以(X-2)得：3(x-2) = -1 去括號得：3a6=-1 移項并合并同類項得，3x = 5. Ax = - 3 你認為張明解方程的過程有錯誤么？如果有，請指出錯在哪一步？并說明錯誤的原因，并選擇合 適的方法解方程 【解析】略 【答案】有錯誤；第步出錯，當x-2 = 0時，方程兩邊不能同時除以X-2 解：方租整理得3(x-2F+(x-2) = 0 提取公因式得(x-2)3(x-2) + l = 0 , 整理得(x-2)Fro /. x = 2或X = - 3 【例2】用因式分解法解下

4、列方程 (32-6才一7 = 0： (1) (2a-1)+3(1-2x) = 0：(2)(1-3x)2 =16(2x + 3)2： 【解析】略 【答案】原方程變形為：(2-1)-3(2a-1) = 0,即(2x-l)(2x-l)-31 = 0 整理得(2x-l)(2x-4) = 0 ZvI = 0 或 2x4 = 0,斗=,壬=2 原方租變形為(l-3x)2 -4(2x + 3)F=0 (l-3x) + 4(2x + 3)(l-3x)-4(2 牙+ 3) = 0 整理得(5卄13)(-1吹 -11) = 0 , .5.v+13 = 0-l I.v-ll = 0,A- = -A=-l 5 (3)

5、原方程 T化為(x - 7)(x+1) = 0 X7 = 0 或x +1 = 0 X| = 7 , Xq =1 【例3】解關于X的方程：(4x-W-3(l-4x)-4 = 0 【解析】換元法 【答案】設4一1=則原方租町變形為“2+%-4 = 0 整理得(cf + 4Xcf-l) = 0 .+4 = 0或“ 1=0 . = 一4 或=1 當 d = 1 時，4x 1 = 1 , A = 【鞏固】采用因式分解法解下列方程 (2)(2.v-1)-+(1-2a)-6 = O (4)x/I(x-|)2 n (3-切+宀9 (3)(3a一l)2=4(l-x)2 【解析】略 【答案】整理得x-3x = 0

6、 入(X 3) = 0 , x = 0 或X3 = 0, x = 0 或v = 3 (2)設2x-l = ,則原方程町變形為：a-a-6 = O 整理得 a-3)a+2)=o d = 3 或=2 2v1=3 或 2v1 = 2 x=2 或 x = 2 移項得(3x-1)2-4(1-x)2=0 (3x-l) + 2(l-x)(3x-l)-2(l-x) = O 整理得(x +l)(5x-3) = 0 x = -l 或 x = 2 Q)移項得72(x-1)2 -(l-x) = O 提取公因式得(x-iM(a-1) + 1 = 0 二 X-1 = 0或履x-l) + lO 也 2 【鞏周】采用恰當?shù)姆?/p>

7、法解下列方程 工 +(i + 273)x + 3 + 5/3=0 (2) a-3|a|-4 = 0 (3) (x-3)- + U + 4)-U-5/ = 17a + 24 【解析】 【答案】 略 (Dxj ,兀: (2)召=4 p A, =-4 ： (3)x, =一3 ,=8 11 板塊二 可轉化為一元二次方程的分式方程 23 =4： + f+ v + 2 X -4 2-a- 4a-2 5 _ 5/105 X,= 8 【例4】解方程竺三+丄=5 2x A 【解析】把分式方程化為一元二次方程，然后解答 【答案】等式兩邊同時乘以2r得：-v(3.v-2)+ 2 = !0 x 整理得：7?+2x-2

8、 = O 解得：x=T士皿 7 經(jīng)檢驗：“T士皿是原方程的解 7 .原方程的解為=土返 或*=土返 27 【鞏周】解下列分式方程 X5 (I) +=4+ 2x-33-2xA + 1 x-1 【解析】注意檢驗根 【答案】整理得：W-13x + 5 = O,解得占=1, 經(jīng)檢驗：X嚴1, X,=-是原方程的解 8 原方程的解為A-, = 1 , X,=- 8 (2) 整理得：4.v-5x-5 = 0,解得斗=5 +屈 8 經(jīng)檢驗得：西=5 +茫,x = 5-們是原方程的解 b Z厶合丄5 + -/1055 - y/ 05 原萬租的解為X=, 兀= 8 8 (3) 整理得：F-3x + 2 = O,

9、解得A；=l , A, =2 經(jīng)檢臉得：a = 2不是原方程的解，舍 原方程的解為x = 【例5】解分式方程: 4 +鳴7 X+1 疋+1 【解析】換元法 A-+1 設=初， X + 【答案】 則原方程町變形為2a + - = l a 整理得：亦-九+ 6 = 0,解得如=2 2 經(jīng)檢驗得或“ =2均為方租2+- = 7的解 2a 當 a = l 吋，則二1 = 2,整理得：2a-3x-1 = O 2x+12 解w呼,呼 經(jīng)檢驗，州=廿半7,兀=上1均為原方程的解 上 + I 當=2吋，則 一=2,整理得：x-2a-1 = 0 x+1 解得：=1+71, =1-矩 經(jīng)檢驗，3 = 1 + 72

10、 ,兀= i-J5均為原方程的解 原方程的解為再= 3+f, =2zZ,為=1 +竝，x, = -42 【鞏固】 【解析】 X3f C C -；+ 2 = 0 A- +2a + 1 A- + 1 略 【答案】 解：原方程叮整理為（）-3+ 2 = 0 x+i x+i V 令=,則原方程變形為一 + 2 = 0 JC+1 解得“ =1或4 = 2 、 當=2吋，則 =2 ,整理得?-2x-2 = 0 x+i 解得A- =1 + 7? , 經(jīng)檢驗Xj=1 + 73 , X,=-yl3是原方程的解 y- 當d = l時，則=1,整理得jr-x- = 0 x+ 解得X嚴半X嚴呼 經(jīng)檢驗：兀=上字，兀=

11、號色是原方程的解 原方程的解為壬=1 +苗，JC, = 1 - 7?,屯=+的,*4 = 2 2 【例6】如果關匕的方程-令=1有-個增根是5,則“的值是多少？此時它的根是多少? 【解析】略 【答案】解：整理彳尋：x=-3% + -40 = 0 .原方程有一個增根是5 x=5 是方程A-3.Y + tr-40 = 0的解 因此#a- = 3代入得/=30 I d = 5/5 .方程宀3卄/-40 = 0 為 x-3x-i0 = 0 解得*=5,召=-2 經(jīng)檢驗：a=5不是原方程的解，舍 原方程的解為a-=-2 板塊三簡單的無理方程 1無理方程的定義：根號內含有未知數(shù)的方程 2有理方程和無理方程

12、統(tǒng)稱為代數(shù)方程整式方程與分式方程又統(tǒng)稱為有理方程，我們在初中階段常見的 整式方程有：一元一次方程，二元一次方程，一元二次方程。 3. 無理方程的解法思路與步驟： 去根號：解有理方程：檢驗根：寫出原方程的根 【例7】判斷下列方程是否為無理方程 (1)x- + 272x-I=0;+!= 1； (3)x-Jx-l =3;如-4 + 1 =厶 + 5 75-1 A-2 【解析】 【答案】 略 無理方程有：(S). 【例8】 解下列無理方程：會用平方法去根號解無理方程并會驗根 (157+3-x = 0;(2)747+2 + 5/47 = 4：(3)松+72 =尤; 【解析】略 【答案】(U整理得：= x

13、 兩邊平方得：2x + 3 = x- 整理得：x-2x-3 = 0 ,解得X, =-1 ,兀=3 經(jīng)檢驗舛=_1不是原方程的解，舍 原方程的解為% = 3 整理得 y/4x + 2=4-y/4x 兩邊平方，整理彳尋：2/4 = 3 17 兩邊平方得4(4x-2) = 9,解得x = 16 17 經(jīng)檢臉：x =/7贏=1有一個增根x=4,求fl的值.求方程的根 【解析】類似問題需矣注意的是，不能將x=4代入方程75口-/7肓=1,因為x = 4是它的增根，所以 必須死將無理方租轉化為整式方程，然后再將a- = 4代入整式方程中 【答案】整理得厲刁=1+5/7匸7 兩邊平方得：2%-4 = 1 +

14、 2y/x + / +x+a 整理得：x-5- = 2y/x + a 兩邊平方得：(X-5-初)2 =4(x + a) 將x=4代入方程，整理得/-勿一15 = 0 解得“1=5, t/, =-3 經(jīng)檢臉：當=-3吋，x=4是原方程的根，不符合題意，舍 6/ = 5 將“ =5代入方租，整理得：a:-24.v + 80 = 0 解得A-=20,力=4 經(jīng)檢驗K = 20是原方程的根 原方租的根為x = 20 【例10】解無理方程（換元法） 2x+3x-572+3x + 9+3 = O 【解析】略 【答案】令血+39 =初,則 2十+3x+9 = /, /. 2x-+3x = a-9 則原方程變

15、形為“2-9-5么+ 3 = 0,整理得cf-5“一6 = 0 解得U| =-1 , 6=6 /（2.1 + 3x + 9 = d 0/. t/ = 6 才 Q 則 y/2x-+3x + 9=6 ,整理得2F+3x-27 = 0,解得禹=3, x,=- 9 經(jīng)檢驗州=3, A =-均為原方程的解 9 原方程的解為X, = 3 ,=- 【鞏固】解無理方程：2F-6x-1-57?-3x-1=4 【解析】略 【答案】設 、 2 若 W#0,則 mx -(3F + 2)x + 6rn = 0(mx-2)(x3m) = 0 ,故州=,x, = 3w m 【例12】 【解析】 【答案】 已知關于X的方程(

16、a-)x2x-a-= 0的根都是整數(shù)，那么符合條件的務數(shù)a有幾個? 對二次項系數(shù)進行分類討論 當“-1=0時，/ = 1,解得A- = I ,符合題意矣求。 當一1工0 時，則Hl,整理得(“一l)x + cf + l(x-l) = o 解得r, X,=l,因為原方程的兩個根均為整數(shù) “一1 /. %,=-= -1 也為整數(shù)，因此a-l = l 或“-1 = 2 / 1 “ 一 1 = 0或2或3或I 綜上所述，整數(shù)a的值有5個，分別為-1, 0, I, 2, 3 【例13】解關于才的方程:/5 , JCj = -y/s . 的數(shù)學思想: （1）填空：由原方程得到的丘程中，利用法達到降次的目的，體現(xiàn)了 （2）解方程（+-才-4（疋7）一12 = 0 【解析】（1） 【答案】 換元，轉化： 設F X = V ,原方程可化為 4$ -12 = 0 , /-）= 6,兒=2 當 y = 6 3寸，X - A - 6 = 0 ,解得 JT = 3 , A, = -