(完整版)高中拋物線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)與練習(xí)題及答案

1、拋 物 線(xiàn)y2 2px(p 0)y(22pxp 0)x(y 1X.02 2py p 0)工xlx2(pyF2py)0)1定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)1的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，點(diǎn)F叫 做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)1叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)。 M |MF|=點(diǎn)M到直線(xiàn)1的距離范圍x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)隹占八、八、(少0)(l0)（。自(0,自焦點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上頂點(diǎn)0(0,0)離心率e=l準(zhǔn)線(xiàn) 方程x 2x號(hào)y號(hào)y 1準(zhǔn)線(xiàn)與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。頂點(diǎn)到準(zhǔn) 線(xiàn)的距離衛(wèi)2焦點(diǎn)到準(zhǔn) 線(xiàn)的距離P焦半徑A( xi, yi)AF x

2、12AFx1 衛(wèi)2AF y11AF %子焦點(diǎn)弦 長(zhǎng)|ab|(xi X2) p(Xi x2) p(yi y2)p(yi y2)p焦點(diǎn)弦|AB|的幾條性質(zhì)A(xi,yi)B(X22)oy彬，xj,y：以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線(xiàn)1相切若AB的傾斜角為 ，貝AB2p 2 sin若AB的傾斜角為 ，貝貝AB cos2P2X1X %丫2P411AF BFAB2AF BF AF ?BF AF ?BF p切線(xiàn) 方程yyp(x X0)yyp(x X。)X0Xp(y y。)xxp(y y)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系直線(xiàn)一-，拋物線(xiàn)廠(chǎng)-,y = & + 3y = 2px，消y得.kF *2廻-勿工+心0(1) 當(dāng)k=0時(shí)

3、，直線(xiàn)I與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，有一個(gè)交點(diǎn)；(2) 當(dāng) kM 0 時(shí)， 0,直線(xiàn)I與拋物線(xiàn)相交，兩個(gè)不同交點(diǎn)； =0,直線(xiàn)I與拋物線(xiàn)相切，一個(gè)切點(diǎn)； v 0，直線(xiàn)I與拋物線(xiàn)相離，無(wú)公共點(diǎn)。(3) 若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)必相切嗎？(不一定)二.關(guān)于直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題常用處理方法直線(xiàn)I : y kx b 拋物線(xiàn)-?，(p 0)聯(lián)立方程法：y kx b y2 2pxk2x2 2(kb p)x b20設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 Ad-yJ, BXm)，則有 0,以及，還可進(jìn)一步求出y1 y2 kxi b kx2 b k(x1 x2) 2b2 2yiy2 (kx-! b)(kx2 b) k

4、 x-|X2 kbx2) b在涉及弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，對(duì)稱(chēng),相交弦AB的弦長(zhǎng)面積等問(wèn)題時(shí)，常用此法，比如1.b.ABABi k2 i (Xi X2)2 4XiX2i k2 I9!X2 (yi中點(diǎn) M(Xo, y),yoi k2 yi22 Vy2)4yiy2-i kyiy22點(diǎn)差法:設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A（xn yi）,B（X22），代入拋物線(xiàn)方程，得2yi2 pxi(yi y2)(yi 財(cái) 2p(xiX2)2y22 px2將兩式相減，可得yiy 2pxiX2yiy2B 兩點(diǎn)，點(diǎn) M (Xo, yo)a.在涉及斜率問(wèn)題時(shí)，kAB是弦AB的中點(diǎn)，則有kABXiX22p2xo2pXopb.在涉及中點(diǎn)軌跡問(wèn)題時(shí)，設(shè)線(xiàn)

5、段AB的中yiy22p2ppXiX2yiy22 yoyo即kAB_p yoyi y2同理，對(duì)于拋物線(xiàn)X22 py（ p 0），若直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于A、點(diǎn)為 M（xo，yo），2）直線(xiàn)的斜率存（注意能用這個(gè)公式的條件：i）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn), 在，且不等于零）拋物線(xiàn)練習(xí)及答案1已知點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q (2, - 1)的距離與點(diǎn) P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為。(-，-1)22、已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)4P到點(diǎn)(0, 2)的距離與P到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和的最小值為17。 3、直線(xiàn)y x 3與拋物線(xiàn)y2 4x交于A, B兩點(diǎn)，

6、過(guò)A, B兩點(diǎn)向拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為P,Q，則梯形APQB的面積為 。 482uur4、 設(shè)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線(xiàn)y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)，A是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，F(xiàn)A與x軸正向的夾角為60，貝U 0A為。5、 拋物線(xiàn)y2 4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為I，經(jīng)過(guò)F且斜率為 3的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在 x軸上方的部 分相交于點(diǎn) A , AK丄l，垂足為K,則 AKF的面積是。 4.36、 已知拋物線(xiàn)C : / 8x的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為K ,點(diǎn)A在C上且AK J2|AF , 則AFK的面積為。 82 2x y7、 已知雙曲線(xiàn)1，則以雙曲線(xiàn)中心為焦點(diǎn)，以雙曲線(xiàn)左焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)方程45為。

7、8、在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，有一定點(diǎn) A(2,1),若線(xiàn)段OA的垂直平分線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)y2 2px(p 0)則該拋物線(xiàn)的方程是 。9、在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，已知拋物線(xiàn)關(guān)于 x軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)在原點(diǎn) O，且過(guò)點(diǎn)P(2, 4)，則該拋物線(xiàn)的方程是。y2 8x210、拋物線(xiàn)yx2上的點(diǎn)到直線(xiàn)4x 3y 8 0距離的最小值是11、已知拋物線(xiàn)y2=4x,過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A(x 1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，貝U y12+y22的最小值是。3212、若曲線(xiàn)y2 = |x|+ 1與直線(xiàn)y = kx + b沒(méi)有公共點(diǎn)，則k、b分別應(yīng)滿(mǎn)足的條件是 。k=0,-1 b113、 已知拋物線(xiàn)

8、y-x2+3上存在關(guān)于直線(xiàn) x+y=0對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn) A、B,則|AB|等于()CA.3B.4C.3 2D.4 214、已知拋物線(xiàn)y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P,%),卩2&2, y2),卩3&3, y3)在拋物線(xiàn)上，且2x2 x1X3 ,則有(A. FP1C . 2 FF2FP2FPiFP3FP315、已知點(diǎn) A(x, y1), B(x2, y2) (x-)x2uuu uuu向量OA ,OB滿(mǎn)足OA OBuuu uuuuuu0AB.D.FP1FP20)是拋物線(xiàn)FP2FP3FPi FP3y2 2 px(puuuOB .設(shè)圓C的方程為x0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，y2 (X1 X2)

9、x (y1y2)y 0。(2)當(dāng)圓C的圓心到直線(xiàn)x-2y=0uuu OB的距離的最小值為2藥時(shí)，求p的值。5解：(1)證明1: Quuu OAuuu uuu OA OBuuu,(OAuuu 2OB)2uuu (OAuuu OB)uuu 2uuu uuuuuu 2uuu2uuu uuuuuu2uuuuurOA2OA OBOBOA2OA OBOB,整理得OAOB(1)證明線(xiàn)段 ab是圓c的直徑;0，設(shè)M(x,y)是以線(xiàn)段2uuurAB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則MAx-i x2y1 y2 0，即(x xj(x X2)(y yJ(y y?) 0，2整理得:XuuurMB 0，(X1X2)X(y1 y2

10、)y故線(xiàn)段AB是圓C的直徑。uuuuuuuuuuuuOAOBOAOB證明2: Quuu,(OAuuu 2 uuuOB) (OAuuu 2 OB),uuu 2OAuuu2OAuuuOBuuu 2 uuu 2 uuuOB OA 2OAuuuOBuuu2OB，整理得:OAuuuULUTOBX1X2y1y20.(1)設(shè)(x,y)是以線(xiàn)段AB為直徑的圓上則即X x2y %X X11(x x1, X x2)，去分母得：(x xj(x X2) (y yj(y y?)點(diǎn)(X1, y1),(x1, y2),( X2,y1)(X2, y?)滿(mǎn)足上方程，展開(kāi)并將(1)代入得:2 2X y(X1 X2)X (y1y2

11、)y 0,故線(xiàn)段AB是圓C的直徑。uuu uuuuuu uuuuuuuuu 2 uuuuuu 2證明3:QOA OBOA OB,(OAOB)2 (OAOB)2,uuu 2uuu uuu uuu 2uuu2uuu uuuuuu2OA2OA OB OBOA2OA OBOB ,整理得uurr uuu:OA OB 0,X-I X2y y20(1)以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程為(X (yi2 y22) -(yi2 翟 2*% 嚴(yán)4 p4p4 p2)2 (y:你 x2)2(% y2)2,22422展開(kāi)并將 代入得:x y (Xi x2)x (yi y2)y 0,故線(xiàn)段AB是圓C的直徑 解法1:設(shè)圓C的圓心為

12、C(x,y),則yiy22 2Q yi 2pxi,y2 2px2(p 0)，2xi X2yiy2，yi y?yi y24p2，Q Xi X20,yi y20，yi y24p2，Xi X2i / 22、x-(yiy2 )i , 2(yi2y22yy2)yy2丄(y22p2)，24p4p4pp2 2yi yx2盯，又因 Xi X2 yi y2 0，4p2 2所以圓心的軌跡方程為y2px 2p2，設(shè)圓心C到直線(xiàn)x-2y=0的距離為d,則|x 2y|5li(y222p ) 2y|52 2|y 2py 2p |苗pl(y_P?2_P2l75p2、55p 2.當(dāng)y=p時(shí),d有最小值 p ,由題設(shè)得-匕V5

13、45解法2:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則x-ix2x2yiy222Qyi22pxi,y22px2(p 0)，xix22yi y24p2，又因xiX2yi y20，x! X2yi y2，yiy2yiy2yi y24p2，XiX2i 22-(y 2p )，p所以圓心的軌跡方程為 y2 px 2p2,2x/5設(shè)直線(xiàn)x-2y+m=0到直線(xiàn)x-2y=0的距離為，則m 2，因?yàn)閤-2y+2=0與y2 px5所以當(dāng)x-2y-2=0與y2px 2 p2僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)到直線(xiàn)x-2y=0的距離最小值為2p2無(wú)公2、55x 2y 2 0L 2 2y px 2p L 將代入得y2 2py2p22p4 p24

14、(2 p22p)0，Q02.解法3:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則XiX22yiy22圓心C到直線(xiàn)x-2y=0的距離為d,則(Yi 2) I.5 2Q yi22pxi, y22px2(p 0)，x1x22 2yi y，又因Xi X24pyi y20，xi X2yi y，yi2 2yi y2y2廠(chǎng)，Q xi X20,4pi 22石 yiy2) (yi y2)|yiy2|yi2(yiy2 2p)2 4p24 5p20， yi y2 4p，2 2y2 2y2 4p(yi y?) 8p |4i 5p當(dāng)yi y 2 p時(shí),d有最小值-p_ ,由題設(shè)得pV5V5255P 2.2xi6、已知橢圓C仁一43匚

15、i拋物線(xiàn)C2：(y m)22px(p0),且 Ci、C2的公共弦AB過(guò)橢圓Ci的右焦點(diǎn).(i)當(dāng)AB丄X軸時(shí)，求m、p的值，并判斷拋物線(xiàn) C2的焦點(diǎn)是否在直線(xiàn) AB上;(2)是否存在m、p的值，使拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)恰在直線(xiàn) AB上？若存在，求出符合條件的 m、p的 值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)當(dāng)AB丄x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以 m= 0,直線(xiàn)AB的方程為x=1，從而點(diǎn)A3399的坐標(biāo)為(1 ,一)或(1, -) 因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線(xiàn)上，所以一2 p，即p一 .此時(shí)C2的焦2248點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),該焦點(diǎn)不在直線(xiàn) AB上.16(2)解法一 當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由(I)知直線(xiàn)AB的斜率存

16、在，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y k(x 1).y k(x 1)由 X2 y2 消去 y 得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 120 . -y 143設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(X1,y1) ,(X2,y2)則X1,X2是方程的兩根,x1 + X2 =8k23 4k2因?yàn)锳B既是過(guò)C1的右焦點(diǎn)的弦，又是過(guò) C2的焦點(diǎn)的弦,所以1AB (2 -X1)(2 1、1x2) 4 (X1X2)，且222AB(X1 p2(X22X-|X2p 從而x1x2p4X2) 2所以X1，即8k23 4k2解得k26,即k -.6 .因?yàn)镃2的焦點(diǎn)F (2 ,m)在直線(xiàn)y k(x 1)上，所以m - k .33即-66即m或m

17、.336 -當(dāng)m 時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y 、6(x 1);3當(dāng)m6時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y 6(x 1).3解法二 當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由(I)知直線(xiàn) AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn) AB的方程 為 y k(x 1). .2 8由(y m)3X消去 y 得(kx k m)2 8 x.3y k(x 1)2因?yàn)镃2的焦點(diǎn)F(,m)在直線(xiàn)y k(x 1) 上,3所以m k(2 1)，即m - k .代入有(kx 2k)2 - x.3333即 k2x2-(k22)x 也 0.39設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(X1,y1) , (X2,y2),則Xi,X2是方程的兩根,X1 + X2 =24(k22)3k2y k(x

18、1)由 x2 y2 消去 丫 得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0 . T V 1由于X1,X2也是方程的兩根，所以8k2X1 + X2=2 .3 4k從而2 24(k22) _ 8k23k2因?yàn)镃2的焦點(diǎn)2 解得k23 4k22F (,m)在直線(xiàn)y76 可.k(x 1)上，所以、6十或m3時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y、6(x3-時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y . 6(x 31)；1).解法三 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(X1,y1),(X2,y2)因?yàn)锳B既過(guò)C1的右焦點(diǎn)F(1,0)，又是過(guò)C2的焦點(diǎn)(|,m),所以AB (x12) (X2 2)x1x2p(2品)(2 J.即 X1 X222(4P)

19、169由(I)知X1X2，于是直線(xiàn)AB的斜率y2y1X2X13m ,1且直線(xiàn)AB的方程是y 3m(x 1),所以y1 y23m(x1 x2 2)2mV3X2又因?yàn)?X13x；24y122 ，所以 3(X1 X2)4y2 124( y1y2)y1X2X10.將、代入得m2 2，即m-6m 時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y 3當(dāng)m時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y3、6(x 1)；17、如圖，傾斜角為 a的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn) y2 8x的焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)交于 A、B兩點(diǎn)。8。答(21)圖(2)解法一：如圖(21)圖作AC丄I, BD丄I，垂足為記A、B的橫坐標(biāo)分別為Xxxz,則 |FA|= |AC| = xxp| FA

20、| cosa 2| FA | cosa 4 解得2(1) 求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線(xiàn)I的方程；(2) 若a為銳角，作線(xiàn)段 AB的垂直平分線(xiàn) m交x軸于點(diǎn)P,證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此 定值。(1)解：設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 2 px，則2 p 8，從而p 4.因此焦點(diǎn)F( ,0)的坐標(biāo)為(2，20).又準(zhǔn)線(xiàn)方程的一般式為 x P。從而所求準(zhǔn)線(xiàn)I的方程為x 2。2C、D，則由拋物線(xiàn)的定義知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.類(lèi)似地有 | FB | 4 | FB|cosa，解得| FB |4一1 cosa記直線(xiàn)m與AB的交點(diǎn)為|FE| |FA| |AE| |FA|E,則

21、|FA | |FB |1(| FA| 2|FB I)1 cosa所以|FP|嗟爲(wèi)。故|FP| FP | cos2 acos2a)1 cosa24 -2sin asin2 a解法二：設(shè)A(Xa，yA)，B(Xbb)，直線(xiàn)AB的斜率為ktan a，則直線(xiàn)方程為將此式代入y28x,得 k2x24(k22)x 4k20 ,故 XaXbk(k22)4 cosa.2， sin ay k(x 2)。記直線(xiàn)m與AB的交點(diǎn)為E(Xe , yE)，則xxXAXB 2(kI 22)E 22k24令y=0,得P的橫坐標(biāo)xP從而 |FP| |FP|cos2a2k244廠(chǎng)(1 cos 2a) sin a2，站4(k21)

22、44故|FP | Xpk sin a4習(xí)a 8為定值。sin a18、已知正三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)2y 2x上，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓C是OAB的內(nèi)接圓(點(diǎn)C為圓心)(1)求圓C的方程；,yEk(xE 2)-，故直線(xiàn)m的方程為y -kk(2)設(shè)圓M的方程為(x 4 7cos )2(y7cos )222cX1 y1 X2 y2 又因?yàn)?y1 2x1 ,1，過(guò)圓M上任意一點(diǎn)P分別作圓C的uuu uuu兩條切線(xiàn)PE, PF，切點(diǎn)為E, F，求CE,CF的最大值和最小值.(1)解法一：設(shè) A B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為22y1 , V1,2 22 2y1y22 2 2*Y22 2(y1 y2)2 .B

23、(6,解得 y： y； 12,所以 A(6 , 2、3)23)或 A(6, 23)，B(6,2s/3).2設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(r,0)，則r -32 2所以圓C的方程為(x 4) y 16 .解法二：設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(洛,(X2, y2)，由題設(shè)知2y22 22x2，可得 x1 2x1 x2 2x2 .即(x1 x2)(x-ix2 2)0 .由 X|X20 ,可知x1X2，故A, B兩點(diǎn)關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng),所以圓心C在X軸上.設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(r ,0)33r, r2 2解得r 4，所以圓C的方程為(x4)2y2 16.uuuuuu(2)解：設(shè) ECF 2a，貝y CEgCFmu umr|CE

24、|gCF |gcos2 16cos 232cos216.在 RtA PCE 中，cos|pc| |pc| ,由圓的幾何性質(zhì)得|PC | |MC | 17 16 ,1 所以一 cos28.19、若A、B是拋物線(xiàn)uuu uiur16 uuu uuu由此可得 8 CEgCF 2時(shí)，點(diǎn)P (x,0)存在無(wú)窮多條 相關(guān)弦”給定 X02.(1) 證明：點(diǎn)P (X0,0)的所有 相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；(2) 試問(wèn)：點(diǎn)P (X0,0)的相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用X0表示)： 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(i)設(shè)AB為點(diǎn)P (X0,0)的任意一條(Xi X2),則 y2i=4xi

25、,2=4x2，兩式相減得(相關(guān)弦”且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是.因?yàn)閄iyi+y2)(yi-y2)=4 (xi_X2)(Xi,yi)、(X2,y2)X2,所以 yi+y20.設(shè)直線(xiàn)AB的斜率是k，弦AB的中點(diǎn)是 M(xm, y ；),貝卩 k=從而AB的垂直平分線(xiàn)l的方程為ymX1x2yiy2y；又點(diǎn)P (X0,0)在直線(xiàn)I上，所以y；如(X X；).2(x0 x；).2而y；0,于是x；X02.故點(diǎn)P(xo,O)的所有 相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是xo-2.由知，弦AB所在直線(xiàn)的方程是2y； k(x x；)，代入 y 4x 中,2 2整理得 k x2k(y； kx；) 2x(ymkx；)20.則Xi

26、、X2是方程()的兩個(gè)實(shí)根，且XiX2(y； kx；)設(shè)點(diǎn)P的 相關(guān)弦” AB的弦長(zhǎng)為I，則I2(XiX2)2(yiy2)2(i k2)(XiX2)2(ik2)(xiX2)24/24(i k2)(x；2X1X2)4(1即X；2、2x；)y；42y；y；)y； 4y；(x；24(X0(y；y；)(4x；2 24(x； i)y； 2(x； i)(41)i)216x；y；22(X0 3).因?yàn)?0 y； 3,則 2(xo-3)(0, 4x0-8),所以當(dāng) t=2(x0-3),即y；=2(x0-3)時(shí),l有最大值 2(X0-i).若 2X03時(shí)，點(diǎn)P2 X0 3 時(shí)，點(diǎn) P ( X0,0)的(0, 4

27、 X0-8)上是減函數(shù)，所以0I20)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為I，經(jīng)過(guò)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于 A B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于C點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，AK1I，垂足為K,若|Bq二2|BF，且| A”=4,則AAKF的面積是（）A. 4B. 3 3 C . 4 3 D . 8A B,交其準(zhǔn)線(xiàn)I于點(diǎn)C,例4、過(guò)拋物線(xiàn)y2 = 2px( p0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)若|Bq二2|BF，且|AF二3則此拋物線(xiàn)的方程為()A. yB. y2= 9xC . y2=|xy2= 3x三、拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題例5、(2011 江西高考)已知過(guò)拋物線(xiàn)y2= 2px( p0)的焦點(diǎn)，斜率為2 2的直線(xiàn)交拋 物線(xiàn)于 A(X1, y” ,

28、 B(X2, y2)( X1VX2)兩點(diǎn)，且 | AB = 9.(1) 求該拋物線(xiàn)的方程；uuu uuu uuu(2) 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，c為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若 OC = OA +入OB,求入的值.例6 (2011 湖南高考)(13分)已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸 的距離的差等于1.(1) 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2) 過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線(xiàn) 丨1, I2,設(shè)丨1與軌跡C相交于點(diǎn)A, B,uuu uuuI2與軌跡C相交于點(diǎn)D, E,求 AD EB 的最小值例7、已知點(diǎn)M1 , y)在拋物線(xiàn)C： y2 = 2px(p0)上，M點(diǎn)到拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F的距離1為2,直

29、線(xiàn)I : y二2X + b與拋物線(xiàn)C交于A, B兩點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)C的方程； 若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程.例題答案解析一、拋物線(xiàn)的定義及其應(yīng)用例1、(1)如圖，易知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線(xiàn)是x= 1.由拋物線(xiàn)的定義知：點(diǎn)P到直線(xiàn)x二一1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離.于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在曲線(xiàn)上求一點(diǎn) P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A 1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0) 的距離之和最小.顯然，連結(jié) AF交曲線(xiàn)于P點(diǎn)，則所求的最小值為| AF，即為寸5. 如圖，自點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線(xiàn)于Q,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P1,則|P1Q二| P1F|.則有|PB|+ |PF | P1B| + |P1Q = |B

30、Q = 4.即 |PB + |PF| 的最小值為 4.例2、解析：圓心到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 p,即p= 4,根據(jù)已 知只要|FM4即可.根據(jù)拋物線(xiàn)定| FM = y0+ 2由y0 + 24,解得y02,故y0的取值范圍是(2 ,).二、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)例3、設(shè)點(diǎn)A(X1,yd，其中y10.由點(diǎn)B作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為B1.則有| BF| BB| 1n=| BB| ;又 | CB = 2| FB，因此有 | CB = 2| BB| , cos/ CBB = 口“ =;,/ CBB=;.| BC 23-nip-n即直線(xiàn)AB與x軸的夾角為.又| AF| = | Aq = Xi + 2

31、= 4,因此yi = 4sin-3 = 2寸3,因1i此AAKF的面積等于ql AK yi = 2 4X 2寸3= 3例4分別過(guò)點(diǎn)A、B作AA、BB垂直于I，且垂足分別為Al、B,由已知條件| Bq =2|BF 得| Bq = 2|BB| ,/ BCB= 30，又 | AA| = | AF| = 3 ,二 | Aq = 2| AA| = 6 , | CF| = | Aq | AF| = 6 3= 3, F 為線(xiàn)段 AC的中點(diǎn).故點(diǎn) F13到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為p=q|AA|= 2 ,故拋物線(xiàn)的方程為y 因?yàn)樨?丄I 2 ,所以I 2的斜率為一.= 3x.三、拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題例5、 直線(xiàn)AB的方程是y

32、= 2 2(x P),與y2= 2px聯(lián)立,從而有4x2 5px+ p2 = 0 , 所以：Xi + X2= ,由拋物線(xiàn)定義得：| AB = Xi + X2+ p= 9 , 所以p= 4,從而拋物線(xiàn)方程是y2= 8x.由 p = 4,4 X 5px+ p = 0 可簡(jiǎn)化為 x 5x+ 4= 0,從而 Xi = 1 , X2= 4 , yi = 2 2 , y2 = 4 ；2 ,從而 A(1 , 2 ，B(4,4 ;uuu設(shè) OC =(X3 , ya) = (1 , 2/2) + 入(4,4 慣)=(4 入+ 1,4承入2/2).又 y3= 8x3 ,即2 ：2(2 入1) 2= 8(4 入 +

33、 1).2即(2入1) = 4入+ 1.解得X = 0 ,或入=2.例& (1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x , y),由題意有x 1 2+ y2 | x| = 1.化簡(jiǎn)得y2= 2x + 2| x|. 當(dāng) x0 時(shí),y2 = 4x；當(dāng) x0)和y= 0(X0)的準(zhǔn)線(xiàn)為x = 2,由拋物線(xiàn)定義和已知條件可知ppIMF 二 1 ( 2)二 1 + 2二 2,解得p= 2,故所求拋物線(xiàn)C的方程為y2= 4x.1y =；x+ b,聯(lián)立2y2= 4x消去X并化簡(jiǎn)整理得y2 + 8y 8b= 0.依題意應(yīng)有= 64 + 32b0,解得 b 2.設(shè) A(X1, y1), B(X2,討2 ,則 yy2= 8,y$2

34、= 8b,設(shè)圓心 Qxo, yo)，則應(yīng)用 Xo 2X1+ X2y1 + y2=,yo=2 = 4.因?yàn)橐訟B為直徑的圓與X軸相切，所以圓的半徑為r = |y| = 4.又| AB = ； X1 X2 2+ y1 y2 2= ； 1 + 4屮一y2 2=；5 屮 + y 2 4丫1丫2】=,5 64+ 32b 8所以| AE| = 2r = ,5 64+ 32b= 8,解得 b= 5.548 所以 X1 + X2=2b 2y1+ 2b 2y?=4b + 16=一 2424 22則圓心Q的坐標(biāo)為(三,4).故所求圓的方程為(X -5)+ (y+ 4) = 16.555練習(xí)題1已知拋物線(xiàn)X2= a

35、y的焦點(diǎn)恰好為雙曲線(xiàn)y2 x2 = 2的上焦點(diǎn)，則a等于 （A. 1B. 4D. 162 .拋物線(xiàn)y = 4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是（17A屁15B -花C.15D.屁3 . （2011 遼寧高考）已知F是拋物線(xiàn)y2= x的焦點(diǎn)，A, B是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，| AF|7+ | BF二3,則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（）4 .已知拋物線(xiàn)y2= 2px,以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的位置關(guān)系是( )A.相離B .相交C.相切D .不確定5 .（2012 宜賓檢測(cè)）已知F為拋物線(xiàn)y2 = 8x的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A 、B 兩點(diǎn)，貝 U| fa | f

36、bi的值等于()A . 4 2B. 8C.8 2D. 16A.4B. 1C.46 .在y = 2x2上有一點(diǎn)P,它到A（1,3）的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A. ( 2,1)B . (1,2) C. (2,1)D. ( 1,2)7. 設(shè)拋物線(xiàn)y2= 8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為I ， P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，PAL l，A為垂足.如果直線(xiàn)AF的斜率為也，那么| PF二 （.16x= 2，則拋物線(xiàn)的方程A . 4 3 B . 8 C . 8 3（2011 陜西高考）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為A . y2= 8xB . y2 = 8xC . y2= 4x D . y2 = 4x9

37、. （2012 永州模擬）以?huà)佄锞€(xiàn)x2= 16y的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的10 .已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，拋物線(xiàn)上一點(diǎn) q 3，m）到焦點(diǎn)的距離是5,則拋物線(xiàn)的方程為.11 .已知拋物線(xiàn)y2= 4x與直線(xiàn)2x + y 4= 0相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,那uuuuuu么 I FA | + | FB | =.12. 過(guò)拋物線(xiàn)y2= 4x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 A(x1, y1), B(x2, y 2)兩點(diǎn)，若x1+ x2= 6,那么| AB等于13. 根據(jù)下列條件求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程： 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是雙曲線(xiàn)16 x 的定乂，可知 16 yo= 1? yo= 9y

38、2= 144的左頂點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)P(2 , 4).14. 已知點(diǎn)A 1,0) , B(1 , 1)，拋物線(xiàn)C： y2 = 4x, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直uuun uuu線(xiàn)I交拋物線(xiàn)C于M P兩點(diǎn)，直線(xiàn)MB交拋物線(xiàn)C于另一點(diǎn)Q若向量OM與OP的夾n角為丁，求 POM勺面積.4練習(xí)題：1 .解析：根據(jù)拋物線(xiàn)方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0 , a)，雙曲線(xiàn)的上焦點(diǎn)為(0,2)，依題a意則有4= 2解得a = 8.2 y11516.2. 解析：拋物線(xiàn)方程可化為x = 4,其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=喬設(shè)M, y。)，則由拋物線(xiàn)13. 解析：根據(jù)拋物線(xiàn)定義與梯形中位線(xiàn)定理，得線(xiàn)段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：2(l AF|“13 15+|BF) - 4二 2-曠 44. 解析：設(shè)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦為AB,中點(diǎn)為M準(zhǔn)線(xiàn)I , A、Bi分別為A B在直線(xiàn)I上的1 1射影，則| AA| = I AF , I BB|=丨BF，于是M到I的距離d=別AA| + | BB|)二空(1 AF1+1 BF) = 2l AB二半徑，故相切.，消去y得x25. 解析：依題意F(2,o)，所以直線(xiàn)