二次曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)化方法初探畢業(yè)論文

1、二次曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)化方法初探摘要 通過(guò)坐標(biāo)變換和不變量法把二次曲線的一般方程化為簡(jiǎn)化方程，再根據(jù)二次曲線的幾何性質(zhì)，把簡(jiǎn)化方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程。在我們的生活中曲線處處可見(jiàn)，曲線可以看作是空間中的任意一個(gè)點(diǎn)按照一定方式運(yùn)動(dòng)的軌跡，也可以被看作是滿足一定條件的點(diǎn)的集合。而本文所研究的是曲線的一個(gè)小部分：二次曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)化。若將二次曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，就可以給出二次曲線的分類。也可以通過(guò)二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到二次曲線的幾何性質(zhì)、圖像性質(zhì)。這是由于選擇了好的坐標(biāo)系，此時(shí)坐標(biāo)軸是二次曲線的對(duì)稱軸，如果存在中心的話，坐標(biāo)原點(diǎn)是二次曲線的對(duì)稱中心，所以將二次曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)解決幾何問(wèn)題有很大的幫助。

2、關(guān)鍵詞 坐標(biāo)變換 不變量 標(biāo)準(zhǔn)方程abstract by the coordinate transformation and the invariant method to the general quadratic equation into simplified equations, quadratic curve according to the geometric nature of the simplified equations into the standard equation. in our lives everywhere curve, the curve can be r

3、egarded as an arbitrary point in space trajectory in a certain mode, it can be considered to meet certain conditions, a set of points. the research in this paper is a small part of the curve: the standardization of quadratic equations. if quadratic equations into the standard equation, we can give a

4、 quadratic curve segment. can also be a standard quadratic equation, quadratic geometric properties of the image properties. this is good because the coordinate system is selected, then the coordinate axis is the axis of symmetry of a quadratic curve, if there is, then the center of the coordinate o

5、rigin is the center of symmetry of a quadratic curve, so that the secondary curve equation to solve the geometric standard form issues of great help.keyword coordinate transformation invariant method the standard formula正文：本文在這里對(duì)兩種比較常用的方法加以討論。第一種是坐標(biāo)變換法：坐標(biāo)變換就是采用一定的數(shù)學(xué)方法，將一種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換為另一種坐標(biāo)系的坐標(biāo)的過(guò)程；第二種是不變

6、量法：通過(guò)簡(jiǎn)化方程化簡(jiǎn)二次曲線的過(guò)程，這種不變量往往在分析問(wèn)題時(shí)起到很大的作用。1用坐標(biāo)變換法化簡(jiǎn)二次曲線的方程設(shè)給定平面上二次曲線的方程為：現(xiàn)引進(jìn)記號(hào)如下：有 ，通過(guò)坐標(biāo)變換法化簡(jiǎn)二次曲線的方程得到標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要弄清楚坐標(biāo)變換，因?yàn)樽鴺?biāo)變換總可以看成是由移軸與轉(zhuǎn)軸組成，所以我們分別考察移軸與轉(zhuǎn)軸，對(duì)移軸和轉(zhuǎn)軸的考察必須弄清二次曲線方程的系數(shù)的變換規(guī)律。1.1在移軸下化簡(jiǎn)二次曲線方程將移軸公式代入二次曲線方程有： 化簡(jiǎn)整理得:也可寫(xiě)為 比較后知二次曲線系數(shù)的變換規(guī)律為：(1)在新方程中二次項(xiàng)系數(shù)不變；(2)一次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)楹停?3)常數(shù)項(xiàng)變?yōu)?若是這條二次曲線的對(duì)稱中心。那么，。所以，給定平面

7、二次曲線的方程可化為：.1.2在轉(zhuǎn)軸下化簡(jiǎn)二次曲線方程將轉(zhuǎn)軸公式：代入二次曲線方程得二次曲線方程系數(shù)的變換規(guī)律為：（1）一次項(xiàng)系數(shù)一般要改變。新方程的一次項(xiàng)系數(shù)僅與原方程的一次項(xiàng)系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角有關(guān)，與二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)。（2）二次項(xiàng)系數(shù)一般要改變。新方程的二次項(xiàng)系數(shù)僅與原方程的二次項(xiàng)系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角有關(guān)，而與一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)。（3）常數(shù)項(xiàng)不變。如果曲線方程中，我們使用轉(zhuǎn)軸使新方程中的.那么即,從而得二次曲線新方程不含交叉項(xiàng)，最終將原方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式。應(yīng)用舉例：例1：化二次曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程。解：因?yàn)?，所以曲線為中心二次曲線，解方程組得中心的坐標(biāo)為（0,2），?。?,2）為新原點(diǎn)，作移軸原

8、方程變?yōu)?再轉(zhuǎn)軸消去項(xiàng)，得，從而可取，故轉(zhuǎn)軸公式為經(jīng)轉(zhuǎn)軸后曲線的方程化為最簡(jiǎn)形式：標(biāo)準(zhǔn)形式為：（這是一個(gè)橢圓）2用不變量法化簡(jiǎn)二次曲線的方程設(shè)二次曲線在任意給定的直角坐標(biāo)系中的方程為 在直角坐標(biāo)變換下，曲線方程左端變?yōu)閯t多項(xiàng)式也是二元二次多項(xiàng)式，它的每一個(gè)系數(shù)都可以用多項(xiàng)式的系數(shù)和坐標(biāo)變換的系數(shù)表出.定義：由的系數(shù)組成的一個(gè)非常數(shù)函數(shù)，如果經(jīng)過(guò)直角坐標(biāo)變換，變?yōu)闀r(shí)，有,那么這個(gè)函數(shù)叫做二次曲線在直角坐標(biāo)變換下的不變量. 如果這個(gè)函數(shù)的值，只是經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸變換不變，那么這個(gè)函數(shù)叫做二次曲線在直角坐標(biāo)變換下的半不變量.性質(zhì)：（）二次曲線在直角坐標(biāo)變換下，有三個(gè)不變量i1，i2與i3與一個(gè)半不變量k1：

9、（） 當(dāng)二次曲線為線心曲線時(shí)，在直角坐標(biāo)變換下，k1是不變量.二次曲線的簡(jiǎn)化方程：（1）如果二次曲線是中心曲線，則它的簡(jiǎn)化方程為 其中是二次曲線特征方程的兩個(gè)根.（2）如果二次曲線是無(wú)心曲線，則它的簡(jiǎn)化方程為 其中的正負(fù)號(hào)可以任意選取.（3）如果二次曲線是線心曲線，則它的簡(jiǎn)化方程為 例2：化二次曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程。解：因?yàn)槎敲捶匠炭偪梢曰癁槠渲杏商卣鞲呐袆e式得為兩個(gè)特征根，則由特征方程得則 那么原方程可化簡(jiǎn)為所以標(biāo)準(zhǔn)方程為：是橢圓.3小結(jié)本文通過(guò)對(duì)二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)化方法的探究，一是坐標(biāo)變換法，二是不變量法。通過(guò)對(duì)兩種方法的介紹，和對(duì)二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)化的求法，總結(jié)出了二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。而坐標(biāo)變

10、換法，一般需先求旋轉(zhuǎn)角，算出轉(zhuǎn)軸公式，再代入二次曲線方程，算出新方程的系數(shù)，然后再移軸，確定圖形位置，雖然方法簡(jiǎn)單，但計(jì)算量大，且靈活性較強(qiáng)，但能作出幾何圖形，所以在運(yùn)用坐標(biāo)變換法化簡(jiǎn)二次曲線時(shí)要細(xì)心。用不變量法化簡(jiǎn)二次曲線，可直接由公式得到化簡(jiǎn)方程，計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但要明確怎樣的簡(jiǎn)化方程對(duì)應(yīng)怎樣的一般方程，由于無(wú)法確定二次曲線在坐標(biāo)系中的確切位置，故還不能直接由此作出圖形，仍需要進(jìn)一步的確定計(jì)算。參考文獻(xiàn)：1 鄭文晶.二次曲線的化簡(jiǎn)與分類方法j.內(nèi)蒙古：呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào),2009.4:69-71.2 范樹(shù)功.二次曲線方程化簡(jiǎn)的理論根據(jù)j.山東：濰坊教育學(xué)院學(xué)報(bào),1988.1:3-6.3 朱玉清，劉靜.二次曲線方程的化簡(jiǎn)j.河南：南陽(yáng)理工學(xué)院學(xué)報(bào),2009.11:67-71.4 曹永林，陳貞波，孫維軍.二次曲線方程的化簡(jiǎn)和位置的確定j.山東：淄博學(xué)院學(xué)報(bào),2001.9:5-