三角形面積公式——之水平寬鉛垂高葉茂恒)

1、線, 的 其 /、 長(zhǎng) 于 三角形面積公式之水平寬鉛垂高 三角形的面積公式計(jì)算較多，而在平面直角 系中的三邊都不與坐標(biāo)軸平行的三角形面積一般 用割補(bǔ)形來求解，但有時(shí)采用水平寬鉛垂高面積 會(huì)更加的方便 公式呈現(xiàn) 如右圖所示，過 ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別作x軸的垂 中過A，C兩條垂線與x軸交于點(diǎn)E，F(xiàn),線段EF 度稱為 ABC的水平寬，而過B點(diǎn)的垂線與邊AC 1 點(diǎn)D,線段BD的長(zhǎng)度稱為鉛垂高，則Sbc=丄EFLBD，此即為三角形水平寬鉛垂高面積公式，其 2 中水平寬EF通常取最外兩條垂線的寬度，對(duì)應(yīng)鉛垂高取經(jīng)過夾在中間的頂點(diǎn)（B）與邊（AC交點(diǎn) （D）之間的距離. 公式推導(dǎo) 如右圖，過點(diǎn)A, C作鉛垂

2、高BD上的高 ag CH貝U有 11 Sa abc= Sabd+Sbcd= 2- -AG CH i BD = 1 EFLBD . 2 2 公式應(yīng)用1上下垂線 例1 （適合八年級(jí)）如圖，已知邊長(zhǎng)為 a的正方形 ABCD,E為AD的中點(diǎn), P為CE的中點(diǎn), F為BP的 則厶BFD的面積是（ A -a2 B.丄 a 8 16 E P 中占 I 八、， ). C.丄 a2 32 D.丄 a2 64 說明：本題可以連結(jié) 。匕由厶BCD的面積減去 BCF CDF的面積求解，也可以建立平面直角坐標(biāo)系, 水平寬鉛垂高面積公式求得 解析：不妨以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸 直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（a, 0

3、），點(diǎn)D坐標(biāo)為 1 E為AD的中點(diǎn)，.點(diǎn)E坐標(biāo)為（一a, a）, 2 3 P為CE的中點(diǎn)，.點(diǎn)P坐標(biāo)為（ a, 4 ia)， 利用 三角形 建立平面 E D (a, a), C O F為BP的中點(diǎn)，.點(diǎn)F坐標(biāo)為（3 a, 1a）. |a，又直線BD的解析式為點(diǎn)G的 84 過F點(diǎn)作BC的垂線交BD于點(diǎn)G,則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為 縱坐標(biāo)為3a , 8 BDF的鉛垂高 FG= 3a - a= !a , 848 SA BDF= 1 BCFG =1_1-a2. 2 2 8 16 公式應(yīng)用2左右垂線 例2 （適合八年級(jí)）如圖, 軸，y軸分別交于點(diǎn)A, B, 一象限內(nèi)作等腰直角 ABC 二象限內(nèi)有一點(diǎn)p計(jì), P

4、J B C O A 以線段AB為直角邊 且/ BAC=90 .如果 B P O A 二是將點(diǎn)C沿AB翻折到C位置，則 ABCS積 ABC面積相等，若厶ABP的面積與Rt ABC的 相等，則可得PC II AB,因此，可以由點(diǎn)A, C坐標(biāo)先 坐標(biāo)，再根據(jù)AB的斜率與點(diǎn)C坐標(biāo)求直線PC的解 C 面積 B 求C P 7 將點(diǎn)P縱坐標(biāo)代入，即可求a的值. 三是考慮水平寬鉛垂高公式來計(jì)算，但如果從 A, B, 析式, P三占 1八、 向X軸作垂線，較為復(fù)雜，不妨換個(gè)角度應(yīng)用公式，即從 A，B, P向y軸作垂線（即左右方向作垂 線）,仿公式求解現(xiàn)解析如下 解析：過A, B, P三點(diǎn)作y軸的垂線， 以看成公

5、式中的水平寬，而 PE可以 式中的鉛垂高，（不習(xí)慣的同學(xué)可以 或頭轉(zhuǎn)個(gè)90度）由AB的解析式可以 , O吐1,而P的縱坐標(biāo)為1，所 2 則OB可 看成公 將屏幕 得O心 AB的中點(diǎn), 所以PE-a+上3 , 2 11( 從而有一 2 21-a 2212 公式應(yīng)用3內(nèi)外垂線 從例2可以看到，三條垂線不一定作向 x軸，也可以作向y軸，仿公式用即可.一般地，水平 寬取的是最外的兩條直線的距離，但這個(gè)做法不是絕對(duì)的，有時(shí)根據(jù)需要也可以取任意兩條直線的 寬度，則公式可以變化為： Saabc=丄 EF|_CG . 2 簡(jiǎn)單推導(dǎo): 11_ D 鉛垂咼 G B 水平寬 條垂線 Saabc = Sa acg S

6、a bcg = 22- 1efcg . 2 將與第三邊(AB的延長(zhǎng)線相交，此時(shí)頂點(diǎn)(C) 說明：當(dāng)取相鄰兩條垂線距離為水平寬時(shí)，第三 (G)的距離為鉛垂高(CG . 為y =x2 4x3 , BD解析式為y - _x 3，由于問題中并未交待 P點(diǎn)在BD的上方或下方，故要分 類討論： 例3 (適合九年級(jí))如圖所示，直線I : y=3x+3 交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.把厶AOBft y軸翻折, 到點(diǎn)C,拋物線過點(diǎn)B，C和D (3, 0). (1)求直線BD和拋物線的解析式. (2)若BD與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn) M，點(diǎn)N在坐 點(diǎn)N, B，D為頂點(diǎn)的三角形與 MCD相似，求所有 點(diǎn)N的坐標(biāo). (3)在

7、拋物線上是否存在點(diǎn) P,使Sapbd=6?若存 F E 標(biāo)軸上，以 滿足條件的 在，求出點(diǎn) p的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. (4)點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在 BQ -CQ的值最大，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) Q 若不存在，請(qǐng)說明理由 B 點(diǎn)Q使得 的坐標(biāo); 解析：本題只解(3)，由已知條件可以得拋物 w x Ao cd、 l 線解析式 當(dāng)P在BD下方時(shí)，如右上圖，水平寬為 0亠3,鉛垂高為PE- x2 _4x V x_3 = x2_3x ; 當(dāng)P在BD上方時(shí)，P可能在左，也可以在右，但兩者本質(zhì)相同，如右下圖，此時(shí)依然取08 3為 水平寬，則鉛垂高 PE= -x 3 -x2 4x -3 = -X2 3x. 兩種情況合起來就是丄x3漢x2-3x=6，即J iy; 2y十 當(dāng)x2 -3-4時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，即 P在BD 能面積為6; 當(dāng) x -3x =4 時(shí)，解得 Xi - -1,X2 =4， 即當(dāng) P （- 1，8）或 P （4，3）時(shí)，Sapbe=6. 解后：從以上幾例可以看到，靈活